第二章 模糊集基礎

1、第二章 模糊集基礎第一節(jié) 模糊集及其集運算第二節(jié) 模糊集運算的推廣第三節(jié) 模糊集的分解（分解定理）第四節(jié) 模糊集數(shù)學表現(xiàn)（表現(xiàn)定理）第五節(jié) 模糊模式識別第六節(jié) 隸屬函數(shù)的確定,1 , 0 :XAAxxA完全屬于 1)(AxxA完全不屬于 0)(AxxA部分屬于 1)(0稱為隸屬函數(shù)變化時，)(xAxXx)(xAA1第一節(jié)第一節(jié) 模糊集及其集運算模糊集及其集運算是論域，設X.上模糊集是則稱XA1.模糊集合的定義模糊集合的定義. 1 , 0)(,的隸屬度屬于稱為AxxAXx),(XFX上全體模糊集記為.1 , 0 :|)(XAAXF例1,100 , 0XO年老，規(guī)定為： 1 , 0:XO10050

2、55015000)(12xxxxO增大增加，隨著)(xOx18 . 050 6090985. 0)90(O , 0)50(O8 . 0)60( O類似，年輕，Y規(guī)定為： 1 , 0:XY100255251251)(12xxxxY減小增加，隨著)(xYx102. 0)60(Y , 1)25(Y5 . 0)30( Y25 305 . 060注記：注記： 普通集合是模糊集的特例，特征函數(shù)即為隸屬函數(shù) 空集的隸屬函數(shù)為0)(x 全集X的隸屬函數(shù)為1)(xX 模糊集的定義與上下文有關(ii) 論域有限時表出方法如下：(i) 論域無限時由隸屬函數(shù)表出; 表示法例如：10, 2 , 1 XS幾個，10/09

3、/6 . 08/7 . 07/8 . 0 6/9 . 0 5/14/13/12/6 . 01/2 . 0S去掉0/109/6 . 08/7 . 07/8 . 0 6/9 . 0 5/14/13/12/6 . 01/2 . 0S 1 , 0: ,21XAxxxXn可表示為：nnxxAxxAxxAA/ )(/ )(/ )(22112. 模糊集的集運算模糊集的集運算，設)(,XFBA分別定義為：、交它們的并BABA)()()(),(max()(xBxAxBxAxBA)()()(),(min()(xBxAxBxAxBA)(1)(xAxAcA的余定義為：BABA且表示BABA或表示AAc表示非例子10,

4、 2 , 1XBA大，小，5/2 . 04/4 . 03/6 . 02/8 . 01/1A10/19/18/17/8 . 06/6 . 05/4 . 04/2 . 0BccccBABA不小也不大不大不小,6 . 0)4( , 4 . 0)3( , 2 . 0)2( , 0) 1 (1) 1 (ccccAAAAA1)10()9()8( )7( )6( , 8 . 0)5(ccccccAAAAAA10/19/18/17/16/15/8 . 04/6 . 03/4 . 02/2 . 0cA7/2 . 06/4 . 05/6 . 04/8 . 03/12/11/1cB7/2 . 06/4 . 05/6

5、 . 04/6 . 03/4 . 02/2 . 0ccBA .,BABABAABA記為記為于于真包含真包含則稱則稱且且若若)()(, xBxAXxBA)()(, xBxAXxBAABBABA 且且顯顯然然 )()(,且且時，時，xBxAXxBAA).()(, xBxAXx(1) 冪等律(idempotence)AAAAA(2) 交換律(commutativity)ABBAABBA (3) 結合律(associativity)()( )()(CBACBACBACBA3.模糊集運算性質模糊集運算性質定理定理2.1.),),(是一個軟代數(shù)是一個軟代數(shù)cXF即模糊集滿足即模糊集滿足下列運算律：下列運算

6、律：)(,(XFCBA(4) 吸收律(absorption laws)ABAAABAA)( )(5) 分配律(distributivity)()()( ) ()()(CABACBACABACBA(6) 存在 0-1元AXAXXAAAA XA (7) 復原律(involution)AAcc)(8) De Morgan 律（對偶律）ccccccBABABABA)( )(證明：我們僅證吸收律： )(ABAA及De Morgan律：cccBABA)( )(ABAA先證： )(),(min()( ,xBAxAxBAAXx )(),(max(),(min(xBxAxA)(xA)(1)()( ,xBAxBA

7、Xxc)()(1xBxA)(1 ()(1 (xBxA)()(xBxAcc)(xBAcccccBABA)(故cccBABA)( 再證：中，中，在軟代數(shù)在軟代數(shù)),),(cXF,為 ,),inf(BABA)(inf)( :)(sup)( :xAxAAxAxAAtTttTttTttTttTttTt推廣推廣，到任意指標集到任意指標集T ,BBABA)()( ,xBxBAx)()()( ,xBxBxAx)()( ,xBxAxBA ,),sup(BABA最小元最小元最大元最大元,X.),),(不是布爾代數(shù)不是布爾代數(shù)cXFA5 . 05 . 0)( xAAc類似可得：類似可得：均不成立。均不成立。與與cc

8、AAXAA定義模糊集定義模糊集A為為: :. 5 . 0)(,xAx. 5 . 0 )()()(xAxAxAAcc則則. 0)( , 1)(xxX而而. ,ccAAXAA所以所以 2 . 2定理定理.),),(是一個優(yōu)軟代數(shù)是一個優(yōu)軟代數(shù)cXF證明證明：我我們們證證明明稠稠密密性性則則且且設設,BABA)()(,)()( ,000 xBxAxxBxAx且且)()()(21xBxAxC令令)()()( ,xBxCxAx則則)()()(000 xBxCxA且且.BCABCA且且即即幾個概念：)(XFA支集0)(|)(psupxAxA高度)(sup)(xAAhgtXx核1)(|)ker(xAxA正規(guī)

9、模糊集：)ker(A例如：4 , 3)ker( , 1)(hgt ,5 , 4 , 3 , 2 , 1)(psupAAAX1)ker(A)(psupA)(Ahgt5/3 . 04/13/12/7 . 01/3 . 0A第二節(jié)第二節(jié) 模糊集運算的推廣模糊集運算的推廣)(),(min()(xxxBABA)()()(xxxBABA)(),(min()(xBxAxBA)(,XPBA)(,XFBA)0 , 1)()(max()(xxxBABA模糊集的交有無其它定義方法？模糊集的并也存在同樣問題.BAxxBA1)(BxAx且1)(1)(xxBA且1)()(xxBA事實上，1. t-模模(t-norm)定義

10、：,1 , 0 1 , 0 1 , 0 :T設滿足：若T);,(),( ) 1 (xyTyxT對稱性：);),(),(,( )2(zyxTTzyTxT結合律：);,(),( ,)3(22112121yxTyxTyyxx時，單調(diào)性：.), 1 ( )4(xxT邊界條件：.模是一個則稱tT常見的t-模：;),min(),() 1 (minyxyxyxT);1, 0max(),( )2(yxyxTL其它011),( )3(0 xyyxyxT.),( )4(xyyxT規(guī)定：規(guī)定：).,( ),( ,1 , 0,yxTyxTyxTTmin0 TTTTL則則命題命題 2.1. min0TTTTt，模對任意

11、證明：.), 1 () 1 ,(),( ,xxTxTyxTyxyyxT),(類似可證：.minTT 即),(),( , 110yxTyxTyx 或若).,(0),(0yxTyxT否則).,(),(0yxTyxT總之.0TT 即).,(),(minyxTyxyxT從而：命題命題2.2,),(,1 , 0 xxxTxTt滿足冪等律，滿足冪等律，模模如果如果證明：證明：),(,1 , 0,yxyxTyxyx).,(),(minyxTyxyxT即即.minTT 則則),(minyxT),(yxT. yx2. t-余模余模(t-conorm)定義：,1 , 0 1 , 0 1 , 0 :S設滿足：若S)

12、;,(),( ) 1 (xySyxS對稱性：);),(),(,( )2(zyxSSzySxS結合律：);,(),( , )3(22112121yxSyxSyyxx時，單調(diào)性：.), 0(S )4(xx 邊界條件：則稱S是一個t-余模。常見的t-余模：;),max(),() 1 (maxyxyxyxS);, 1min(),( )2(yxyxSL其它100),( )3(0 xyyxyxS.),( )4(xyyxyxS規(guī)定：).,( ),( ,1 , 0,yxSyxSyxSSt-余模的有關結果：max0 ) 1 (SSSSL. )2(max0SSSSt，余模對任意. ,),(S )3(maxSSxx

13、xSt則滿足冪等律，余模若(4) 若T是t-模，),1 ,1 (1),(yxTyxS則S是t-余模。證明：),()1 ,1 (1)1 ,1 (1),(xySxyTyxTyxS稱為對偶模稱為對偶模與與ST時，當yxyxTyxT),(),(min)1 ,1 (1),(yxTyxS)1 (11yx）（),(maxyxSyx時，當)0 , 1max(),(),(yxyxTyxTL)1 ,1 (1),(yxTyxS)0 ,1max(1yx),() 1 ,min(yxSyxL類似可得：為對偶模與TS為對偶模與00TS命題命題2.3余模，模及分別為、設ttST滿足吸收律：與若ST ) 1 (滿足吸收律：與若

14、ST)2(證明: (1),),(,0滿足冪等律即得令TxxxTy由命題2.2即得結論。.1)2(可得令 y,),( ,xxyxTSyx.maxSS 則,),( ,xxyxSTyx.minTT 則命題命題2.4余模，模及分別為、設ttST滿足分配律：與若ST) 1 (滿足分配律：與若ST)2(證明: (1),),(0 xxyxSTz 得令由命題2.3(1)即得結論。.1)2(可得令 z),(),(),(,( ,zxSyxSTzyTxSzyx，.minTT 則),(),(),(,( ,zxTyxTSzySxTzyx，.maxSS 則,滿足吸收律即T3.模并與模交模并與模交設T與S是對偶模，),(,

15、XFBA定義為：、模交它們的模并BABATS)(),()( ,xBxASxBAXxS)(),()( ,xBxATxBAXxT, ,maxminSSTT, ,LLSSTT定義)(),(max()(),()(maxxBxAxBxASxBAS)(),(min()(),()(minxBxAxBxATxBAT) 1)()(, 0max()(xBxAxBAT)()(, 1min()(xBxAxBAS命題命題2.5具有下列性質：),),(cXFTSABBAABBATTSS ) 1 ()()( )()( )2(CBACBACBACBATTTTSSSScSccTcTccSBABABABA)( )( )3(證明：

16、 )(1)()( )3(xBAxBAScS )(),(1xBxAS )(),(xBxATcc )(1),(1 (1 xBxAScc )( )(xBAcTc第三節(jié)第三節(jié) 模糊集的分解（分解定理）模糊集的分解（分解定理）cut)-(- . 1截集引例：東漢西漢秦戰(zhàn)國春秋西周商夏奴隸社會/1 . 0/3 . 0/4 . 0/5 . 0/7 . 0/9 . 0/1/1若要求至少應達到0.5 水平，則有夏、商、西周、春秋、戰(zhàn)國若要求至少應達到0.7 水平，則有夏、商、西周、春秋定義：定義：,1 , 0),(XFAX是論域，設截集；的稱為AxAxA)(|截集；的強稱為AxAxA)(|例如：5 . 0,奴隸

17、社會A5 . 0戰(zhàn)國夏，商，西周，春秋， AA5 . 0夏，商，西周，春秋AA . AA 顯然， AX.)ker(),ker()(|)(|11 kernel)11AAAAxAxxAxA 即記為的核稱為 00,)(|XxAxA 特殊截集與強截集：特殊截集與強截集：, 01 )(|xAxA.)(),()(| 00supp suppsupport)0AAAAxAxA即記為的支集稱為其它0,)( cbxcbcxbaxabaxxA A定義為：已知A.A求,y解：由abaxy)(abax得,y由cbcxy)(cbcx得)(,)(cbcabaA性質性質1 )( ,)(BABABABA )( ,)(BABAB

18、ABA證明：)(BAx.)( BABA所以，)(xBA)()(xBxA)()(xBxA或BxAx或BAx性質性質2 )()( ,)()(tTttTttTttTtAAAA )()( ,)()(tTttTttTttTtAAAA)(tTtAx )(supxAtTt所以 .)()(tTttTtAA 證明：)( ,tAxt)(tTtAx)(xAt)(xAtTt注：注： )()(不成立tTttTtAA 例如：5 . 0 ,115 . 0)( , 3 , 2 , 1取nxAxTn, xn及則對任意)(sup)(, 2, 11xAxAnnnn但（5 . 0)( 5 . 0)( nnAxxA故5 . 015 .

19、 0)()(nnnAA，即從而, 5 . 0)115 . 0(sup, 2, 1nn,) ,5 . 01nnAxx（所以XAnn5 . 01) 即（性質性質3 ,1221AA時，性質性質4)()( ,tTtttTttAAAATtTt證明：ttAxTtAxTt,tTtxA)(,)(AAA特別地AAA)(txATt)( ,)(tTtAx ,12AA12 AA以上推理可逆。性質性質5ccAA)()(1證明：)()(xAAxcc以上推理可逆。注：注：ccAA)()(ccAA)()(1類似可證：)(1xA1)(xA1AxcAx)(12.分解定理分解定理(decomposition theorems)定義

20、),( 10XFA，設定義為：設)(XFA)()( ,xAxAXx當A為普通集時，AxAxxA0)( 性質：性質：; )(2121AAi2121 )(AAAAii事實上，)()( 1121xAxA)()(22xAxA)()()(xAxAxAAA AAX上的模糊集對任意AA1 , 0證明：)(1 , 0 xAAxxA)(1 , 0)()(xAxA所以，AA1 , 0分解定理分解定理I)(1 , 0 xAX AAA返回37頁分解定理分解定理IIAX上的模糊集對任意AA1 , 0推論：;,)(BABAi.,)(BABAii證明：;,)(顯然時，BABAi時，BA,BBAA1 , 01 , 0要證明兩

21、個模糊集相等，可證它們的任意截集相等.公式：AxAxxA)(35頁例子,54321xxxxxX 17 . 07 . 06 . 0,6 . 05 . 0,5 . 02 . 0,2 . 003315315321xxxxxxxxxxXA.A求AxxA1)(17 . 05 . 0)(2xA1)(3xA2 . 0)(4xA6 . 0)(5xA54321/6 . 0/2 . 0/1/5 . 0/7 . 0 xxxxxA分解定理分解定理III滿足：如果)( 1 , 0 :XPH),(1 , 0HA則);()( )(2121HHi證明：),( )(HAii ,)( ,AHA且有:).(HAAA1 , 0).(

22、1 , 0HA即)(1 , 0HA1 , 0A1)( )(121AHi(ii) 一方面,時，AAH)().(HA 故另一方面,.)(AAH綜合即得:).(HA 2A);(2H.)(的證明類似HA第四節(jié)第四節(jié) 表現(xiàn)定理表現(xiàn)定理(Representation Theorems)1. 集合套集合套 (a nest of sets) 及其運算及其運算定義定義),( 1 , 0 :XPH設若H滿足:),()(1221HH時，則稱H是X上的一個集合套.X上的集合套的全體記為U(X).),( )( )(XFAAHi令則H是一個集合套；分解定理III. )(為集合套中的分解定理HIIIii運算運算:)(,21

23、XUHHH設)()()(2121HHHH)()()(2121HHHHccHH)1 ()(確為集合套、cHHHHH2121),()(112121HH時，),()(1222HH)()()(2221221HHHH)()()(1211211HHHH.),),(是一個軟代數(shù)cXU證明：命題命題2.6.證 De Morgan 律：cccHHHH2121)(ccHHHH)1)()()( ,1 , 02121cHH)1 ()1 (21ccHH)1 ()1 (21)()(21ccHH)(21ccHH )()(,2121HHHHXXX)(，為：最大元)(，為：最小元2. 表現(xiàn)定理表現(xiàn)定理),()(:XFXUT設定

24、義為：),()( ),(1 , 0HHTXUH,),),(),),(的滿同態(tài)映射到是則cXFcXUT且滿足：;)( )()( ,1 , 0 ) 1 ( HTHHT);()( ,1 , 0 )2(HHT).()( ,1 , 0 )3(HHT證明：證明：(i)證T是滿射；),(XFA,)(AH令).(XUH 則AAHHT1 , 01 , 0)()( (ii)證T滿足(1)(2)(3);),(Hx若),)()( 1 , 0 xHxHT則)()(1 , 01 , 0 xHxH,)(xH,)(HTx從而.)()(HTH所以，),(Hx若)( xHT則)(1 , 0 xH,)(xH)(HTx從而)(Hx

25、時，則);()( HHT下證).()( HHT所以，(2)(3)由(1)及分解定理III立得。分解定理III(iii)證明T保持運算)()(2121HHHHT保并：)()()(2121HTHTHHT保交:)()(21HH)()(21HH)()(21HTHT)()(21HTHT)()(2121HHHHT)()(21HH)()(21HH)()(21HTHT)()(21HTHT)()(ccHHT 保余cH)1 (cH)1 (,1令cH)(1cHT)(1)(cHT第五節(jié)第五節(jié) 模糊模式識別模糊模式識別一、什么是模糊模式識別一、什么是模糊模式識別二、個體模糊模式識別二、個體模糊模式識別三、群體模糊模式識

26、別三、群體模糊模式識別Fuzzy Pattern Recognition一、什么是模糊模式識別一、什么是模糊模式識別 模式模式(pattern):(pattern): 供模仿用的標本供模仿用的標本 模式識別模式識別: 判定給定的事物與哪個標本相同或相近判定給定的事物與哪個標本相同或相近聲音識別聲音識別文字識別文字識別圖象識別圖象識別景物識別等景物識別等 模糊模式識別模糊模式識別: : 標本或待識別的事物具有模糊性時，利用標本或待識別的事物具有模糊性時，利用模糊數(shù)學方法處理模式識別問題模糊數(shù)學方法處理模式識別問題二、個體模糊模式識別二、個體模糊模式識別?, 00應相對屬于哪個模式應相對屬于哪個模

27、式問問是待識別對象是待識別對象xXx . ), 2 , 1(0kAxni相對隸屬于相對隸屬于稱稱問題：問題：最大隸屬原則：最大隸屬原則：);(,),(),(00201xAxAxAn計算計算)()(00 xAxAik若,21個模式（標本）個模式（標本）個模糊集，代表個模糊集，代表上的上的是是nnXAAAn例1,100 , 0X1005055015000)(12xxxxO100255251251)(12xxxxY年老，O年輕，Y，中年ccOYM35歲應相對屬于中年人8 . 0)35( , 2 . 0)35( , 0)35(MYO例2三角形識別（用于識別染色體及白血球分類）180,| ),(CBAC

28、BACBAxX近似直角三角形:|90|9011),()(ACBARxR近似等腰三角形:)(),min(6011)(CBBAxI近似等邊三角形:)(18011),()(CACBAExE非典型三角形：cccEIRT)45,55,80(),(0CBAx81. 0)( ,83. 0)( ,87. 0)(00 xExIxR13. 0)(1 ()(1 ()(1 ()(0000 xExIxRxT直角三角形應為近似0 x閾值原則：.,210kiiiAAAx相對隸屬于稱);(,),(),(00201xAxAxAn計算,)(01xAi若，（給定閾值 10,)(02xAi,)(0 xAki)45,50,85(),(

29、0CBAx若87. 0)( ,91. 0)( ,95. 0)(000 xExIxR05. 0)(1 ()(1 ()(1 ()(0000 xExIxRxT形應為近似等腰直角三角由閾值原則0 , x,2:中在例例如, 9 . 0取三、群體模式識別問題：.上的模糊集也是待識別對象XA1. 貼近度貼近度.),(的貼近度、為則稱BABAN定義滿足：若設NXFXFN,1 , 0)()(:; 0),( , 1),( ) 1 (XNAAN);,(),( )2(ABNBAN),(),(),(, )3(CBNBANCANCBA時,21個模式（標本）個模糊集，代表上的是nnXAAAnI 距離貼近度海明（Hammin

30、g） 距離)(, ,21XFBAxxxXn若niiiHxBxAnBAN1| )()(|11),()(, ,XFBAbaX若baHdxxBxAabBAN| )()(|11),(歐氏（Euclid） 距離)(, ,21XFBAxxxXn若niiiExBxAnBAN1212)()(11),()(, ,XFBAbaX若baEdxxBxAabBAN212)()(11),(II 測度貼近度)(, ,21XFBAxxxXn若niiiniiiMxBxAxBxABAN11)()()()(),(1)(, ,XFBAbaX若babaMdxxBxAdxxBxABAN)()()()(),(1niiiniiiMxBxAx

31、BxABAN11)()()()(2),(2babaMdxxBxAdxxBxABAN)()()()(2),(2)()(xBxABAXx)()(xBxABAXxIII 格貼近度內(nèi)積外積)( ),()(xAAAhgtxAAXxXx令內(nèi)外積性質：性質1aac1,ABBA.ABBA證明： 由定義立得.性質2cccBABA)(cccBABA)(證明：)()(1)(xBxABAXxc)(1 ()(1(xBxAXx)()(xBxAccXxccBA 性質3BABABABA ,證明：)()(xBxABAXxAxAXx)(同理 ,BBA.BABA故BABA 類似可得:性質4AAAAAA ,5 . 0 , 5 . 0

32、ccAAAA證明：)()(xAxAAAXxAxAXx)()()(xAxAAAcXxc5 . 0)(1)(xAxAXxAAA .5 . 0 類似可證及cAA解釋:;,值越大越靠近來說對內(nèi)積ABBA. 5 . 0,值低于時達最大值時cABAAB;,值越小越靠近來說對外積ABBA. 5 . 0,值高于時達最小值時cABAAB)1 ()(),(BABABANL稱為A,B的格貼近度.)0,()( )(21222211 axaxexBexA設定義),(,XFBA設)()(1 ()()(),(xBxAxBxABANXxXxL由定義知:例例:).,(BANL求1a2a*a解: 由圖知:. 0 BA*).(*)

33、(aBaABA.,*21之間介于其中aaa:*)(*)(解得由aBaA211221*aaa)(122112舍去或aa)1 ()(),(BABABANL*)(aABA 22112aae 2*11aae. 1),(21BANaaL時，當LN只注重兩模糊集的峰值點位置 ),(22112aaLeBAN格貼近度性質：AAAANXNLL),( ; 0),( ) 1 (),(),( )2(ABNBANLL),(),(),(, )3(CBNBANCANCBALLL時證明： 我們僅證(3).,時CBA)()()(xAxBxABAXxXx)()()(xBxBxABAXxXx類似可得:)(xACAXx)(xCCAXx),(),(BANCANLL從而，同理),(),(CBNCANLL所以, (3)成立嚴格來說, 格貼近度不符合貼近度的公理化定義,但該指標由于在衡量兩個模糊集的相對位置時具有獨特的優(yōu)勢而被保留下來.2. 擇近原則擇近原則), 2 , 1)(,(,n