最全圓錐曲線知識點總結(jié)

1、高中數(shù)學(xué)橢圓的知識總結(jié)1. 橢圓的定義 ：平面內(nèi)一個動點P 到兩個定點 F1 , F2 的距離之和等于常數(shù)（PFPF2aFF ），這1212個動點 P 的軌跡叫做橢圓 .這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距.注意： 若 PF1PF2F1F2 ，則動點 P 的軌跡為線段 F1F2 ；若 PF1PF2F1F2 ，則動點 P 的軌跡無圖形 .（ 1）橢圓 ：焦點在 x 軸上時 x2y2 1（ a2b2c2 ）xa cos（參數(shù)方程，其中a2b2yb sin為參數(shù)），焦點在 y 軸上時 y2x 2 1（ a b0）。a2b 22. 橢圓的幾何性質(zhì) ：（ 1）橢圓 （以 x 2y 21（

2、 ab0）為例）：范圍：a xa, byb ；焦點：a 2b2兩個焦點 (c,0) ；對稱性：兩條對稱軸x0, y0 ，一個對稱中心（0,0 ），四個頂點( a,0),(0,b) ，其中長軸長為2 a ，短軸長為2 b ； 離心率： ec0 e 1 ， e，橢圓e 越大，橢圓越扁。a越小，橢圓越圓；（ 2） .點與 橢圓的位置關(guān)系 ：點P( x0 , y0 ) 在橢圓外x02y021；a2b2x02y02點 P(x0 , y0 ) 在橢圓上x02y021a22 1；點 P( x0 , y0 ) 在橢圓內(nèi)22bab3直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：（ 1）相交：0直線與橢圓相交； （ 2）相切：0直線

3、與橢圓相切；（ 3）相離：0直線與橢圓相離；如 : 直線 y kx 1=0 與橢圓 x2y21恒有公共點，則m 的取值范圍是 _；5 m4. 焦點三角形 （橢圓上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形）5. 弦長公式 ：若直線y kx b 與圓錐曲線相交于兩點A 、 B，且 x1, x2 分別為 A 、 B 的橫坐標，則 AB 1 k 2 xx，若 y1, y2 分別為 A 、B 的縱坐標，則AB 11yy2，若弦12k 21AB 所在直線方程設(shè)為xky b ，則 AB 1k 2y1y2 。6. 圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解。在 橢圓x2y21中，以P(x0 ,

4、y0 ) 為中點的弦所在直線的斜率k=b2 x0；a 2b2a2 y0如（ 1）如果橢圓 x2y21弦被點 A （ 4， 2）平分，那么這條弦所在的直線方程是；369（ 2）已知直線 y= x+1 與橢圓 x2y2 1(a b0) 相交于 A、 B 兩點，且線段AB 的中點在a2b2直線 L ：x 2y=0 上，則此橢圓的離心率為_；（ 3）試確定 m 的取值范圍，使得橢圓x2y2y 4x m 對稱；41上有不同的兩點關(guān)于直線3特別提醒 ：因為0 是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故在求解有關(guān)弦長、對稱問題時，務(wù)必別忘了檢驗0 ！橢圓知識點的應(yīng)用1. 如何確定橢圓的標準方程？任何橢圓都有一

5、個對稱中心，兩條對稱軸。當且僅當橢圓的對稱中心在坐標原點，對稱軸是坐標軸，橢圓的方程才是標準方程形式。此時，橢圓焦點在坐標軸上。確定一個橢圓的標準方程需要三個條件：兩個定形條件a, b；一個定位條件焦點坐標，由焦點坐標的形式確定標準方程的類型。2. 橢圓標準方程中的三個量a, b, c 的幾何意義橢圓標準方程中，a,b, c 三個量的大小與坐標系無關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的。分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關(guān)系為：(ab0) ， (ac0) ，且 ( a2b2c2 ) 。可借助右圖理解記憶：a, b, c 恰構(gòu)成一個直角三角形的三條邊，其中a 是斜邊

6、， b、c 為兩條直角邊。3如何由橢圓標準方程判斷焦點位置橢圓的焦點總在長軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看 x 2 ， y2 的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標軸上。4方程 Ax2By 2C ( A, B, C均不為零） 是表示橢圓的條件方程 Ax 2By 2C 可化為 Ax 2By 21，即 x2By 21，所以只有 A、 B、 C同號，CCCCAB且 AB 時，方程表示橢圓。 當 CC 時，橢圓的焦點在x 軸上；當 CC 時，橢圓的焦點在 yABAB軸上。5求橢圓標準方程的常用方法：待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點的位置，從而確定橢圓方程的類型，設(shè)出標準方程，再由條件

7、確定方程中的參數(shù)a,b, c 的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；定義法：由已知條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。6共焦點的橢圓標準方程形式上的差異共 焦 點 ， 則 c相 同 。 與 橢 圓 x 2y 21 (a b 0) 共 焦 點 的 橢 圓 方 程 可 設(shè) 為a 2b 2x 2m b2y 21 (mb2 ) ，此類問題常用待定系數(shù)法求解。a 2m7判斷曲線關(guān)于 x 軸、 y 軸、原點對稱的依據(jù)： 若把曲線方程中的x 換成x ，方程不變，則曲線關(guān)于y 軸對稱； 若把曲線方程中的y 換成y ，方程不變，則曲線關(guān)于x 軸對稱； 若把曲線方程中的x 、 y 同時換成 x

8、 、 y ，方程不變，則曲線關(guān)于原點對稱。8如何求解與焦點三角形PF1F2（ P 為橢圓上的點）有關(guān)的計算問題？思路分析：與焦點三角形PF1F2 有關(guān)的計算問題時，?？紤]到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式S PF1F21 PF1PF2sin F1 PF2 相結(jié)合的方法進行計算解題。2將有關(guān)線段 PF1 、PF2 、F1 F2 ，有關(guān)角F1 PF2(F1PF2F1BF 2 ) 結(jié)合起來，建立PF1PF2 、 PF1PF2 之間的關(guān)系 .9如何計算橢圓的扁圓程度與離心率的關(guān)系？長軸與 短軸的 長短 關(guān)系決定橢圓形狀 的變 化 。 離心率 ec (0 e 1) ，因為ac 2a

9、2b2 ， a c0 ，用 a、b 表示為 e1( b )2 (0e 1) 。a顯然：當 b 越小時， e(0 e 1) 越大，橢圓形狀越扁；當b 越大， e(0 e 1) 越小，aa橢圓形狀越趨近于圓。題型 1:橢圓定義的運用x 2y 2F1 的直線交橢圓于例 1.已知 F1, F 為橢圓1 的兩個焦點，過A 、B 兩點若259F2 A F2 B 12，則 AB_.例 2.如果方程 x2ky22 表示焦點在 x 軸的橢圓，那么實數(shù) k 的取值范圍是 _.例 3.已知 P 為橢圓 x 2y 21 上的一點， M , N 分別為圓 ( x3)2y21 和圓2516(x3)2y24 上的點，則PM

10、PN 的最小值為題型 2： 求橢圓的標準方程例 1、求滿足下列各條件的橢圓的標準方程.(1)經(jīng)過兩點 A( 3, 2), B( 23,1) ；(2)經(jīng)過點 (2， 3)且與橢圓 9x24 y236 具有共同的焦點；(3)一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，且此焦點與長軸上較近的端點距離為424.題型 3:求橢圓的離心率1ABC中，A30,AB2, SV ABC3,若以 A, B 為焦點的橢圓經(jīng)過點C，則橢圓的例 、o離心率為.例 2、過橢圓的一個焦點F2 作橢圓長軸的垂線交橢圓于P，若F1 PF2 為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為題型 4:橢圓的其他幾何性質(zhì)的運用（范圍、對稱性等）例 1.已

11、知實數(shù) x, y 滿足 x2y 21 ,則 x2y2x的范圍為422y2uuuruuur例 2.已知點 A, B 是橢圓 x1 （m0, n0）上兩點 且 AOBO 則=m2n2,題型 5：焦點三角形問題例 1.已知 F1, F2 為橢圓x2y21 的兩個焦點， p 為橢圓上的一點，已知P, F1 , F2 為一個直角三94角形的三個頂點，且PF1PF2,求 PF1的值 .PF2例 2.已知 F1x2y2的兩個焦點，在C 上滿足 PF1PF2 的點的個數(shù)為., F2 為橢圓 C:418例 3.已知橢圓的焦點是F1(0,1),F2(0,1),且離心率 e1 求橢圓的方程 ; 設(shè)點 P 在橢圓2P

12、F2 1,求 cos F1PF2 .上 ,且 PF1題型 6: 三角代換的應(yīng)用例 1.橢圓 x2y21上的點到直線 l: x y 90 的距離的最小值為 _16 9例 2.橢圓 x2 y2 1的內(nèi)接矩形的面積的最大值為16 9題型 7：直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷例 1.當 m 為何值時，直線yxm與橢圓 x2y21相交？相切？相離？169例 2.若直線 ykx1(kR) 與橢圓 x 2y 21恒有公共點，求實數(shù) m 的取值范圍；5m題型 8：弦長問題例 1.求直線 y2x4 被橢圓4x2y21所截得的弦長 .99例 2.已知橢圓 x2y21的左右焦點分別為F1,F2，若過點 P（ 0，-2）及

13、 F1 的直線交橢圓于 A,B2兩點，求 ABF 2 的面積；題型 9：中點弦問題例 1. 求以橢圓 x2y 21 內(nèi)的點 A （ 2， -1）為中點的弦所在的直線方程。85例 2.中心在原點，一個焦點為 F1 (0,50) 的橢圓截直線 y 3x 2 所得弦的中點橫坐標為1 ，2求橢圓的方程例 3.橢圓 mx2ny21與直線 x y1 相交于 A、B 兩點，點 C 是 AB的中點若 AB 22 ，OC的斜率為2（O為原點），求橢圓的方程2鞏固訓(xùn)練1. 如圖 ,橢圓中心在原點 ,F 是左焦點 ,直線 AB1 與 BF 交于 D,且 BDB1 =90 o ,則橢圓的離心率為2.設(shè) F1 , F2

14、 為橢圓 x2y2uuuruuur1的兩焦點， P 在橢圓上，當F1PF2 面積為 1 時， PF1PF2 的值為43.橢圓 x2y21 的一條弦被 A 4,2平分 ,那么這條弦所在的直線方程是3694. 若 F1, F2 為橢圓的兩個焦點 ,P為橢圓上一點 ,若PF1F2 :PF2 F1 :F1PF2 1: 2 : 3 , 則此橢圓的離心率為5.x2y21(ab 0)的焦距為2c，以O(shè)為圓心， a 為半徑的圓，在平面直角坐標系中，橢圓a2b2過點 (a2,0) 作圓的兩切線互相垂直，則離心率e =c雙曲線基本知識點標準方程（焦點在x 軸）標準方程（焦點在y 軸）雙曲線x2y2y2x21( a

15、0,b0)1(a0,b 0)a 2b2a2b2定義：平面內(nèi)與兩個定點F1 ， F2 的距離的差的絕對值是常數(shù)（小于F1F2 ）的點的軌跡叫雙曲線。這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫焦距。M MF1 MF22a 2a F1F2定義yPyy yxxF2F1F2xxPF1范圍x a ， y Ry a ， x R對稱軸x 軸 ， y 軸；實軸長為2a , 虛軸長為 2b對稱中心原點 O(0,0)焦點坐標F1(c,0)F2 (c,0)F1 (0,c)F2 (0, c)焦點在實軸上， c222ca b；焦距： F1 F2頂點坐標（a ,0 ） ( a ,0)(0,a ,)(0 ， a )2離心率e

16、c1 b2 ,( e1)aa漸近線ybxyaax方程b共漸近線x2y2k （ k0y2x2k （ k0 ）的雙曲線a 2b 2a2b2系方程雙曲線 x2y21與直線 y kxb 的位置關(guān)系：a2b2直線和雙x2y21轉(zhuǎn)化為一元二次方程用判別式確定。利用a2b2曲線的位ykx b置二次方程二次項系數(shù)為零直線與漸近線平行。相交弦 AB的弦長 AB1k 2 (x1x2 )24x1 x2補充知識點：2222 xy1xy1916169x2y21(y 3)x2y21(y 3)169169同步練習(xí)一 : 如果雙曲線的漸近線方程為y3 x ，則離心率為（）4 5 55或53343422例 2、已知雙曲線xy1

17、的離心率為 e2 ，則 k 的范圍為（）4k12k1 k05k012k0x22同步練習(xí)二 : 雙曲線y1的兩條漸近線互相垂直，則雙曲線的離心率為a222b2例 3、設(shè) P 是雙曲線 xy1上一點，雙曲線的一條漸近線方程為3x2 y 0 ， F1， F2 分別是a29雙曲線的左、右焦點，若PF1 3 ，則 PF2的值為同步練習(xí)三 : 若雙曲線的兩個焦點分別為(0， 2)，(0，2) ，且經(jīng)過點 (2，15)，則雙曲線的標準方程為。例 4、下列各對曲線中，即有相同的離心率又有相同漸近線的是（）(A)x 22=1和y2-x 2(B)x2-y22x2-y93=13=1 和 y -=133等軸雙曲線的主

18、要性質(zhì)有：(C)y2 x 22y2=1(D)x22=1和x2y2-=1 和 x -33-y-=1（ 1）半 實軸 長 =半虛軸長（一般而言是a=b，但有些地區(qū)教材版本不同，不一定用的是a,b 這兩393個字母）；（ 2）其標準方程為x2y2C，其中 C 0；同步練習(xí)四 : 已知雙曲線的中心在原點，兩個焦點F1， F2 分別為 ( 5，0) 和 (5，0) ，點 P 在雙曲線上且 PF1PF2 ，且 PF1F2 的面積為1，則雙曲線的方程為（）（ 3）離心率 e2 ；2212212y 1 x21 xy xy xy22（ 4）漸近線 ：兩條漸近線y=±x 互相垂直；233244例題分析：

19、例 5、與雙曲線 x2y21 有共同的漸近線，且經(jīng)過點A( 3,23 的雙曲線的一個焦點到一條例 1、動點 P 與點 F1(0，5) 與點 F2 (0， 5) 滿足 PF1PF2 6 ，則點 P916漸近線的距離是（）的軌跡方程為（）（A）8（B） 4（ C）2（ D）1同步練習(xí)五 : 以 y3x 為漸近線，一個焦點是F（0， 2）的雙曲線方程為 _.例 6、下列方程中，以x±2y=0 為漸近線的雙曲線方程是(A) x 2y 21( B) x 2y 21(C ) x 2y 21(D )x 2y2116441622同步練習(xí)六 : 雙曲線 8kx 2-ky 2=8的一個焦點是 (0 ，

20、3) ，那么 k 的值是2例 7、經(jīng)過雙曲線x2y1 的右焦點 F2 作傾斜角為30°的弦 AB，3（ 1）求 |AB|.（ 2） F1 是雙曲線的左焦點，求 F1AB 的周長同步練習(xí)七過點（0， 3）的直線l 與雙曲線x2y21只有一個公共點，求直線l 的方程。43高考真題分析1.【 2012 高考新課標文10】等軸雙曲線 C 的中心在原點， 焦點在 x 軸上， C 與拋物線 y 216x的準線交于 A, B 兩點， AB 4 3 ；則 C 的實軸長為（）(A) 2(B)22(C )(D )2. 【 2012高考山東文11】已知雙曲線x2y21(a0,b0) 的離心率為C1 ： a

21、2b22. 若拋物線22 py( p 0)的焦點到雙曲線C1 的漸近線的距離為2，則拋物線 C2 的方程為C2 : x(A)x28 3y(B)x2 16 3y(C) x28 y(D) x216y333. 【 2012高考全國文10】已知 F1 、 F2 為雙曲線 C : x2y22 的左、右焦點，點P在C上，|PF1 |2 | PF2 |，則 cos F1 PF2（A） 1（B） 3（C） 3（D） 445454. （ 2011年高考湖南卷文科 6) 設(shè)雙曲線 x2y21(a 0) 的漸近線方程為3x2 y 0, 則 a 的a29值為（）A4B3C2 D15.【 2012 高考江蘇8】（ 5

22、分）在平面直角坐標系xOy 中，若雙曲線 x2y 21的離心率為5 ，mm24則 m 的值為拋物線y 22 pxy22 pxx 22 pyx22 py( p0)( p0)( p0)( p0)拋yyyyll物lO線FxO FxFOxOxFl平面內(nèi)與一個定點 F 和一條定直線 l 的距離相等的點的軌跡叫做拋物線， 點 F 叫做拋物線的焦點，直線 l 叫做拋物線的準線。定義 M MF =點 M到直線 l 的距離 范圍x 0, y Rx 0, y Rx R, y 0x R, y 0對稱性關(guān)于 x 軸對稱關(guān)于 y 軸對稱焦點( p ,0)(p ,0)(0, p )(0,p )2222焦點在對稱軸上頂點O

23、 (0,0)離心率e=1pppyp準線xxy2方程222準線與焦點位于頂點兩側(cè)且到頂點的距離相等。頂點到準p線的距離2焦點到準p線的距離焦半徑ppppAFAFAFAFA(x1, y1 )x1x1y1y12222焦 點弦長 AB( x1x2 ) p( x1x2 ) p( y1y2 ) p( y1y2 ) pyA x1 , y1oFx焦點弦Bx2 , y2AB 的幾條性質(zhì)以 AB 為直徑的圓必與準線 l 相切A( x1 , y1 )，則 AB2 p若 AB 的傾斜角為，則 AB2 p若 AB 的傾斜角為22B( x2 , y2 )sincosx1 x2p2y yp241211AFBFAB2AFBFAF ?BFAF ?BFp切線y0 yp(xx0 )x0 xp( yy0 )x0 xp( yy0 )y0 y p(x x0 )方程1、直線與拋物線的位置關(guān)系直 線 l : ykx b ， 拋 物 線 C : y22px ， 由ykxby2， 消 y 得 ：2 px（ 1）當 k=0 時，直線 l 與拋物線的對稱軸平行，有一個交點；（ 2）當 k0 時， 0，直線 l 與拋物線相交，兩個不同交點；=0， 直線 l 與拋物線相切，一個切點； 0，直線 l 與拋物線相離，無公共點。（