橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載橢 圓1 | PF1 | PF2 |2a22xy2標(biāo)準(zhǔn)方程：a2 b2 1| PF1|3e 1d1在點(diǎn) P 處的外角 .4點(diǎn) P 處的切線 PT 平分 PF F12PT 上的射影 H 點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，5PT 平分 PF F 在點(diǎn) P 處的外角，則焦點(diǎn)在直線除12去長軸的兩個端點(diǎn) .6以焦點(diǎn)弦 PQ 為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相離 .7以焦點(diǎn)半徑 PF 為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切.8設(shè) A、A1PF F 在邊 PF （或 PF ）上的旁切圓，必與AA1為橢圓的左、右頂點(diǎn)，則所在的直線2122112切于 A 2（或 A1）.9橢圓x2y21（ a b o）的兩個頂

2、點(diǎn)為A1(a,0), A2 (a,0) ，與 y 軸平行的直線交橢圓于P1、a2b2x2y21.P2 時 A 1P1 與 A 2P2 交點(diǎn)的軌跡方程是b2a210若 P0 ( x0 , y0 ) 在橢圓11若 P0 (x0 , y0 ) 在橢圓的直線方程是 x0 xy0 ya2b2x2y212AB 是橢圓b2a2x2y21上，則過x0 xy0 y1.a2b2P0 的橢圓的切線方程是b2a2x2y21外 ，則過 Po 作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P1、 P2，則切點(diǎn)弦a2b21 .1的不平行于對稱軸且過原點(diǎn)的弦，M 為 AB 的中點(diǎn)，則kOMkABP1P22b13若 P0 ( x0x2y21內(nèi)，則被

3、Po 所平分的中點(diǎn)弦的方程是x0 x y0 y x0 2, y0 ) 在橢圓b2ab2a2a22x2y2x2y2x0 x y0 y14若 P0 ( x0, y0 ) 在橢圓 a2b21內(nèi)，則過 Po 的弦中點(diǎn)的軌跡方程是a2b2a2b215若 PQx2y21 （ a b 0 ） 上 對 中 心 張 直 角 的 弦是 橢 圓2b2a2y0b2.， 則1111| OP |, r2 | OQ |) .2222 (r1r1r2ab16若橢圓x2y21（ a b 0）上中心張直角的弦L 所在直線方程為AxBy1 ( AB 0) ,則(1)a2b211A2B2 ;(2)L2a4 A2b4 B2.a2b2a

4、2 A2b2 B217給定橢圓 C12x22y2a22C2 ： b2x22y2a2b2ab)2： bab （ ab 0）,a(2b2,則 (i) 對 C1上任a2222意給定的點(diǎn) P0 ( x0 , y0 ) ,它的任一直角弦必須經(jīng)過C 2 上一定點(diǎn) M( ( a2b2 x0 ,a2b2 y0 ) .上任一點(diǎn) P'(x0' , y0' ) 在 C1 上存在唯一的點(diǎn)abab' 點(diǎn) .(ii) 對 C20M ' ,使得 M ' 的任一直角弦都經(jīng)過P0學(xué)習(xí)好資料歡迎下載18設(shè) P0 (x0x2y21(a 0,. b 0)上一點(diǎn)， P1P2為曲線 C 的

5、動弦 ,且弦 P0P1, y0 ) 為橢圓（或圓） C:b2a2P0P2斜 率 存 在 ， 記 為 k1 ,k2,則直線 P1P2通 過 定 點(diǎn) M (mx0 ,my0 )(m 1) 的 充 要 條 件 是k1 k21mb21ma2 .x2y21(a 0, b 0)上任一點(diǎn) A(x0 , y0 ) 任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于19過橢圓 a2b2B,C兩點(diǎn)，則直線BC 有定向且 kBCb2 x0 （常數(shù)） .a2 y0x2y21 (ab 0)的左右焦點(diǎn)分別為F1， F 2，點(diǎn) P 為橢圓上任意一點(diǎn)F1PF2，則20橢圓2b2a橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為SFPF2b2 tan， P( ac2b

6、2 tan 2, b2tan) .12c2c2x2y21（ a b 0 ）上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1,F2是焦點(diǎn),PF1F2,21若 P 為橢圓2b2aPF2F1actanco t .，則c2a2x2y21（ a b 0）的焦半徑公式：22橢圓2b2a|MF1|aex0 ,| MF2 |aex0 ( F1 (c,0), F2 (c,0)M (x0 , y0 ) ).23若橢圓x2y 21（ a b0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、 F2，左準(zhǔn)線為 L ，則當(dāng)a2b20 e21 時，可在橢圓上求一點(diǎn)P，使得 PF是 P 到對應(yīng)準(zhǔn)線距離d 與 PF 的比例中項(xiàng) .12x2y21 （ a b 0 ） 上

7、 任 一 點(diǎn)1 224 P 為 橢 圓 a2b2,F,F 為二焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則2a|AF2 | |PA|PF1|2a| AF1 | ,當(dāng)且僅當(dāng) A, F2 , P 三點(diǎn)共線時，等號成立 .25橢圓x2y21 （ a b 0 ） 上 存 在 兩 點(diǎn) 關(guān) 于 直 線 l ： y k ( xx0 ) 對 稱 的 充 要 條件 是a2b22( a2b2 ) 2x0a22k2 .b26過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直 .27過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.28P 是橢圓xa co

8、s （ a b 0）上一點(diǎn)，則點(diǎn) P 對橢圓兩焦點(diǎn)張直角的充要條件是e211.yb sinsin 229設(shè) A,B為橢圓x2y2k(k0, k1) 上兩點(diǎn)，其直線 AB 與橢圓x2y21相交于 P,Q ,則a2b2a2b2APBQ .x2y21( x2y2)30在橢圓1中，定長為2m（ o m a）的弦中點(diǎn)軌跡方程為2a2b2,其中a2b2mcos2sin2a2b2學(xué)習(xí)好資料歡迎下載tanb2 x20時,90o.a2y2 ,當(dāng) yx2y 21（ a b0）的通徑， 定長線段 L 的兩端點(diǎn) A,B 在橢圓上移動， 記 |AB|= l ，31設(shè) S 為橢圓b2a2M (x0 , y0 ) 是 AB

9、中點(diǎn)，則當(dāng) lS 時，有 ( x0 )maxa2l222c); 當(dāng) lS 時，有c(cab , eaa2e( x0 )max4b2l 2, ( x0 )min0 .2bx2y21與直線 AxByC0 有公共點(diǎn)的充要條件是2a22b2C2.32橢圓b2ABa233橢圓( x x0 )2( y y0 )21 與 直 線 Ax ByC 0有公共點(diǎn)的充要條件是a2b2A2 a2B 2b2( Ax0By 0C)2.34設(shè)橢圓x2y21（ a b 0）的兩個焦點(diǎn)為F1 、 F2,P（異于長軸端點(diǎn)）為橢圓上任意一點(diǎn)，在a2b2sinc PF1F2 中，記F1 PF2,PF1F2,F1F2 P，則有e .si

10、nsina35經(jīng)過橢圓 b2 x2a2 y2a2b2 （ a b 0）的長軸的兩端點(diǎn)A 1和 A2 的切線，與橢圓上任一點(diǎn)的切線相交于P1 和 P2，則 | PA1 |PA2|b2.36已知橢圓x2y 21（ a b 0）， O為坐標(biāo)原點(diǎn)， P、 Q為橢圓上兩動點(diǎn)，且OPOQ .（1）a2b211114a2b2a2b22 .22a2b2 ;（ 2） |OP|2+|OQ|2 的最大值為a2b2 ;（3） S OPQ的最小值是a2b|OP | |OQ |37MN 是經(jīng)過橢圓 b2 x2a2 y2a2b2 （ a b 0）過焦點(diǎn)的任一弦，若AB 是經(jīng)過橢圓中心O 且平行于 MN 的弦，則 | AB

11、|22a | MN | .38MN 是經(jīng)過橢圓b2x2a2y2a22O 的半弦 OPMN ，b（ a b 0）焦點(diǎn)的任一弦， 若過橢圓中心則2111a | MN |OP |2a2b2 .39設(shè)橢圓x2y21（ ab 0）,M(m,o)或 (o, m)為其對稱軸上除中心，頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過M 引a2b2)的交點(diǎn) N 在直線 l ：一條直線與橢圓相交于P、 Q 兩點(diǎn)，則直線A 1P、 A 2Q(A1 ,A2為對稱軸上的兩頂點(diǎn)xa2(或 yb2m)上 .m40設(shè)過橢圓焦點(diǎn)F 作直線與橢圓相交P、 Q 兩點(diǎn)， A 為橢圓長軸上一個頂點(diǎn)，連結(jié)AP 和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F 的橢圓準(zhǔn)線于M 、N 兩點(diǎn)，則

12、 MF NF.AP和 A Q交于點(diǎn)41過橢圓一個焦點(diǎn)F 的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q, A、A為橢圓長軸上的頂點(diǎn)，1212M，A2P 和 A1Q 交于點(diǎn) N，則 MFNF.42設(shè)橢圓方程x2y21 ,則斜率為 k(k 0) 的平行弦的中點(diǎn)必在直線l ： ykx 的共軛直線 y k ' xa2b22上 ,而且 kk 'b2 .ax2y243設(shè) A 、B 、C、 D 為橢圓1上四點(diǎn) ,AB 、CD 所在直線的傾斜角分別為,，直線 AB 與a2b2學(xué)習(xí)好資料歡迎下載|PA|PB|b2 cos2a2 sin 2.CD 相交于 P,且 P 不在橢圓上 ,則|PD |b2 cos2a2 si

13、n 2|PC |44已知橢圓x2y21（ a b 0） ,點(diǎn) P 為其上一點(diǎn) F1, F 2 為橢圓的焦點(diǎn)，F(xiàn)1 PF2 的外（內(nèi)）角a2b2平分線為l ，作F1、 F2 分別垂直l 于 R 、 S，當(dāng)P 跑遍整個橢圓時，R 、 S 形成的軌跡方程是x2y 2a2( b2 y2( ace)( xc)2 ( x2y2cx)2 ce( xc)2).45設(shè) ABC 內(nèi)接于橢圓，且AB為的直徑， l為 AB 的共軛直徑所在的直線，l 分別交直線 AC、BC 于 E 和 F，又 D 為 l上一點(diǎn)，則 CD 與橢圓相切的充要條件是D為 EF的中點(diǎn) .x2y21（ a b 0）的右焦點(diǎn) F 作直線交該橢圓右

14、支于M,N 兩點(diǎn)，弦 MN 的垂直平分46過橢圓2b2a線交 x 軸于 P，則 | PF |e .|MN |211x2y21（a b 0）上任一點(diǎn)，過 A 作一條斜率為b2 x147設(shè) A （ x,y）是橢圓 a2b2a2 y1的直線 L ，又設(shè) d 是原點(diǎn)到直線L的距離,r1, r2 分別是 A 到橢圓兩焦點(diǎn)的距離，則rrdab .1 248已知橢圓x2y21（ ab 0）和x2y 2（ 01），一直線順次與它們相交于A 、a2b2a2b2B 、C、D 四點(diǎn)，則 AB =|CD .49已知橢圓x2y21（ ab 0） ,A 、 B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與 x 軸相a2b2交于

15、點(diǎn) P(x0 ,0) ,則a2b2x0a2b2.aa50設(shè) P 點(diǎn)是橢圓x2y21（ a b 0）上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2 為其焦點(diǎn)記F1 PF2，a2b2則 (1) | PF1 | PF2 |2b2.(2) SPF Fb2tan .1cos12251設(shè)過橢圓的長軸上一點(diǎn)B（ m,o）作直線與橢圓相交于P、Q 兩點(diǎn)， A 為橢圓長軸的左頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分 別 交 相 應(yīng) 于 過 B 點(diǎn) 的 直 線 MN ： xn于 M，N兩點(diǎn),則MBN90oamb2a22 .am(n a)52L 是經(jīng)過橢圓x2y21（ ab 0）長軸頂點(diǎn) A 且與長軸垂直的直線，E、F 是橢圓兩個焦點(diǎn)，a2b2

16、abe 是離心率 ,點(diǎn) PL ，若EPF，則是銳角且 sine或arc sin e（當(dāng)且僅當(dāng) | PH |時取等號） .cx2y21（ ab 0）的準(zhǔn)線， A、 B 是橢圓的長軸兩頂點(diǎn),點(diǎn) PL ， e 是離心率，53 L 是橢圓 a2b2EPF， H 是 L 與 X 軸的交點(diǎn) c 是半焦距，則是銳角且 sine 或arc sin e （當(dāng)且僅當(dāng)|PH |ab時取等號） .cx2y254L 是橢圓1（ a b 0）的準(zhǔn)線， E、 F 是兩個焦點(diǎn)， H 是 L 與 x 軸的交點(diǎn)，點(diǎn) PL ，a2b2e2arc sin e2 （ 當(dāng) 且 僅當(dāng)EPF,離心率為e， 半焦 距為c ，則為 銳 角且 s

17、in或?qū)W習(xí)好資料歡迎下載| PH | ba2c2時取等號） .cx2y255已知橢圓1（ ab0），直線 L 通過其右焦點(diǎn)2a2b2F ,且與橢圓相交于 A 、 B 兩點(diǎn)，將 A 、| F1 A | | F1B | (2 a2b2 ) 2B 與橢圓左焦點(diǎn)F1連結(jié)起來，則 b2（當(dāng)且僅當(dāng) AB x 軸時右邊不等式a2取等號，當(dāng)且僅當(dāng)A、 F1、 B 三點(diǎn)共線時左邊不等式取等號）.56設(shè) A 、Bx2y21（ a b 0）的長軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，PAB,是橢圓2b2a2ab2PBA,BPA， c、 e| cos|分別 是橢圓 的半 焦距離 心率， 則有 (1) | PA |c2co s2.

18、(2)a2tantan12S PAB2a2 b2e.(3)2a2 cot .x2y 2b57設(shè) A 、B 是橢圓1（ a b 0）長軸上分別位于橢圓內(nèi)（異于原點(diǎn)）、外部的兩點(diǎn)， 且 xA 、a2b2xBAP QPBAQBA2的橫坐標(biāo)xABa21點(diǎn)引直線與這橢圓相交于兩點(diǎn)，則x，（ ）若過、；（ ）若過 B 引直線與這橢圓相交于P、 Q 兩點(diǎn)，則PBAQBA 180o .x2y21（ a b 0）長軸上分別位于橢圓內(nèi)（異于原點(diǎn)），外部的兩點(diǎn)， （ 1）58設(shè) A 、B 是橢圓b2a2若過 A 點(diǎn)引直線與這橢圓相交于P、 Q 兩點(diǎn)，（若 B P 交橢圓于兩點(diǎn)，則 P、 Q 不關(guān)于 x 軸對稱），且

19、PBAQBA ，則點(diǎn) A 、B 的橫坐標(biāo) xA 、 xB 滿足 xAxBa2 ；（2）若過 B 點(diǎn)引直線與這橢圓相交于 P、Q 兩點(diǎn)，且PBAQBA180 o ,則點(diǎn) A 、 B 的橫坐標(biāo)滿足 xA xB a2.'是橢圓x2y2''垂直的弦，則直線 AQ''的交59設(shè) A, Aa2b21 的長軸的兩個端點(diǎn)， QQ是與 AA與 AQ點(diǎn) P 的軌跡是雙曲線x2y21.a2b260過橢圓x2y21 （ a b 0 ） 的 左 焦 點(diǎn) F 作 互 相 垂 直 的 兩 條 弦 AB 、 CD 則a2b28ab22(a2b2 )|AB|CD |.a2b2a61到橢圓

20、 x2y21（ a b 0）兩焦點(diǎn)的距離之比等于ac （ c 為半焦距）的動點(diǎn)M 的軌跡是a2b2b姊妹圓 (xa)2y2b2.62到橢圓x2y21（ a b 0）的長軸兩端點(diǎn)的距離之比等于a c （ c 為半焦距）的動點(diǎn)M 的a2b2b軌跡是姊妹圓 ( xa)2y2( b )2 .ee63到橢圓x2y 21（ a b 0）的兩準(zhǔn)線和aca2b2x 軸的交點(diǎn)的距離之比為（ c 為半焦距）的動b點(diǎn)的軌跡是姊妹圓( x64已知P 是橢圓a2 )2y2( b2 )2 （ e 為離心率） .eex2y21（',A 是它長軸的兩個端點(diǎn),且a2b2a b 0 ） 上 一 個 動 點(diǎn) ， A學(xué)習(xí)好資料歡迎下載''x2b2 y21.AQ AP,AQAP ，則 Q 點(diǎn)的軌跡方程是2a4a65橢圓的一條直徑(過中心的弦 )的長，為通過一個焦點(diǎn)且與此直徑平行的弦長和長軸之長的比例中項(xiàng) .66設(shè)橢圓 x2y21（ a b 0）長軸的端點(diǎn)為A, A' , P( x1 , y1 ) 是橢圓上的點(diǎn)過 P 作斜率為b2 x1a2b2a2 y1的直線l，過A, A'分別作垂直于長軸的直線交l于M , M',則（1）| AM|A'M '|b2.（ 2）四邊形 MAA' M ' 面積的最小值是 2ab .67已知橢圓x2