第一講線性空間與算子

1、2022-2-221矩陣論及其應(yīng)用矩陣論及其應(yīng)用 計算機科學與技術(shù)系 趙金熙趙金熙89686058(O） 主要參考書主要參考書2022-2-2221.戴華，戴華， 矩陣論，科學出版社，矩陣論，科學出版社，20012.方保熔等，矩陣論，清華大學出版方保熔等，矩陣論，清華大學出版社，社，20042022-2-223第一講第一講 線性空間與線性算子線性空間與線性算子2022-2-224線性空間與線性算子是矩陣論中的基本概念和基本理論.這些概念是通常幾何空間概念的推廣和抽象.在近代數(shù)學發(fā)展中，這些概念和理論也已經(jīng)滲透到數(shù)學的各個分支.這些基本內(nèi)容也是我們學習現(xiàn)代數(shù)學的基礎(chǔ).1. 線性空間線性空間202

2、2-2-2251.1.,Z.00.1.1ZZZ 義 數(shù)環(huán)與數(shù)域 每一個數(shù)學概念都有其適用范圍，線性空間的概念與在什么范圍內(nèi)取值有直接的關(guān)系，首先引入數(shù)環(huán)的概念設(shè) 為非空數(shù)集且其中任何兩個數(shù)的和、差與積仍屬于則稱 是一個數(shù)環(huán)只含一個 的數(shù)集顯然是個數(shù)環(huán)定0),.()1 2),.FabbFFRC義如果 是至少含有兩個互異數(shù)的數(shù)環(huán)，并且其中任意兩個數(shù) 與 之商（仍屬于則說 是一個數(shù)域 常用的數(shù)域有實數(shù)域復數(shù)域（定2022-2-226333333,.Ra babRRRRaRaR 我們知道，幾何空間中的任意兩個向量可以相加，其和仍然是中的向量，即對于加法運算是封閉的;同樣對于數(shù)量與向量的乘法也是封閉的，

3、即有也就是說這種加法具有 交換律、結(jié)合律，數(shù)乘具有結(jié)合律與分配率等性質(zhì)再看一個例子：1.2線性空間的定義線性空間的定義2022-2-22711 1122121 1222211 11221000nnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xa x右端項為零的齊次線性方程組2022-2-22812“”,0;Tnxx xx這種方程組總有 平凡解 ，12121122 , ,TTnnTnncc ccdd ddcdcd cdcd都是該方程組的解，則也是該方程組的解；12, ,.Tncccc對如何實數(shù) ，也是該方程組的解.加法具有交換律、結(jié)合律，數(shù)乘具有結(jié)合律與分配率等將齊次線性方程組的解可其

4、推廣到一般集合上就以相加，也可以乘上一個線性空間得到的概念數(shù)2022-2-229().,12()()F RCVx yVxyVxyyxxyzxyz數(shù)域或上的集合 中定義了下列兩種數(shù)學運算第一種運算是加法，記作且對定義且滿足：（）交換律 （ ）結(jié)合律 300(4)-(- )-0 xxxxx x（ ）存在唯一的零元素，記作 加法的逆運算，記作 2022-2-2210,5;6()() ;7();()811kF xVkxkxVkxkxk xykxkyab xaxbyFxx 第二種是數(shù)乘運算，對定義滿足（ ）（ ）結(jié)合律（ ）分配律（ ） 中存在單位元（記成 ），滿足3.1.VF定義了加法和數(shù)乘兩種運算，

5、并滿足以上性質(zhì)的集合 稱為數(shù)域 上的線定性空間義2022-2-2211,1,1.,ka bRkRababkaaabRkaR 及定義加法為數(shù)乘為顯然例且(1);(2)()()()()();(3)1,11,1;111(4)1(;ababbabaabcabcab cabcabcRaaaRaaaaaa 存在中的元素 使得故 是的零元素因為零元素），故 有負元素2022-2-2212(5)()()()(6)()()()()();k lklklkkkkkklaaa aaakalakabkababa babkakb1(7)()();(8)1.llkklklakaaaklaaaaR因此，對于上述定義的加法和數(shù)

6、乘運算是一個線性空間2022-2-22南京大學計算機科學與技術(shù)系1312,).1.2ninnRR 線性空間的例子還有很多：所有具有 個分量的行向量（所構(gòu)成的集合，加法和數(shù)乘都依分量定義，這個空間常記成例1.31.4( )RnRf x全體系數(shù)取自 上的次數(shù) 的多項式所構(gòu)成的集合.全體定義在實數(shù)軸 上的所有實值函數(shù)所構(gòu)成的集合.例 例 2022-2-2214121 1221212.,(1,2, ).,()(,1.4.ninnnnVFx xxVF inVxxxxx xxlinear combinationxx xx線性空間中的元素往往稱為向量設(shè) 是數(shù)域 上的線性空間是 的向量，稱 的元定義線性組素是

7、向量系的 ，也稱向量 元素） 可由線性表示出來合1.3線性空間中向量的關(guān)系線性空間中向量的關(guān)系31231231 12 23 3(,)(1,0,0) ,(0,1,0) ,(0,0,1).TTTTRxa a aeeexa ea ea e例如中任一向量都可表示成向量系的線性組合2022-2-2215121212121212,.5.1rsrssrVFV 設(shè) 是數(shù)域 上的線性空間和是 中的兩組向量系，如果中的每個向量都可由向量系線性表示；而中的每個向量也可以由向量系線性表示，則稱這兩組向量系是等價的顯然向量系的這種等價性具有自反性、對稱性義和傳遞性定12121122,1)0,0,.6 1rrrrVFrV

8、k kkFkkk 設(shè) 是數(shù)域 上的線性空間（是 中的一組向量，如果存在一組不全為 的數(shù)使得 系義則稱向量定2022-2-2216121212121111,();().,0,0.rrrrrrlinearly dependentlinearly independentVkkkkkk 是的 反之就是的 這就是說，中一組向量系線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個向量是其余向量的線性組合；如果向量系線性無關(guān)線性相關(guān)線性無關(guān)僅，這就意味著，時 才有當有成立2 21121122210000100,001000501.1.RREEEE實數(shù)域 上的線性空間的一組向量（矩陣）容易看出這一組向量是線性無關(guān)的例2022

9、-2-2217121212121,.1,1,.,1rsrssijijjVrsrsair 設(shè)，是線性空間 中的一組線性無關(guān)的向量系 并且可由向量系，線性表示，則必有采用反證法 假設(shè)因為向量系，線性無關(guān)，并由，線性表證示，即作明線性組合定理2022-2-22181122111111 1122121 122221 122()000rsrrijijijsrjiijjirrrrsssrrkkkkkkkkkkkkkk （）考慮齊次線性方程組2022-2-2219121212112212,.,0,.rrrrrrk kkrsk kkk kkkkkrs 因為上述齊次線性方程組的未知數(shù)，的個數(shù) 大于方程的個數(shù) 因

10、此該齊次線性方程組一定有非零解，也就是我們可以找到不全為零的數(shù)，使得，因此向量系，是線性相關(guān)的，這與假設(shè)矛盾，于是 一定有兩個等價的線性無關(guān)的向量系必定含有相同個論數(shù)的向量推2022-2-222012121212,.,1.2,rrrrV 設(shè)線性空間 中向量系，線性無關(guān) 而向量系，線性相關(guān)，則 可由，線性表示，并且表示是唯一的因為，線性相以證關(guān)，所存在定理明121112211120,+=0,0,.rrrrrrrk kk kkkkkk 不全為 的數(shù)，使得且，否則向量系線性相關(guān)，這與條件矛盾2022-2-2221121211112=-,.rrrrrnkkkkkk 從而即 可由線性表示12112211

11、2211122212.,- )(- )(- )=0,-0,(1: ),.rrrrrrrrriikkklllk lk lk liklir 下面證明表示的唯一性 假設(shè) 可由表示為則有（由于向量系線性無關(guān)，從而對所有 只能有唯一性得證2022-2-22221212121212121212,(1, =1: ),=1.7rrrsiiijsiiiiiisssVris jrr 設(shè)，是線性空間 中的一組向量，如果這一組向量系中存在 個線性無關(guān)的向量，并且，中任一向量都可以由向量系，唯一地線性表示出來，則稱向量組，是，的，稱 為向量系，的秩，記為rank，義極大線性無關(guān)組定. r一般說來，向量系的極大線性無關(guān)組

12、不唯一，但其所含向量的個數(shù)是唯一的。2022-2-22231.4 基底、維數(shù)與坐標基底、維數(shù)與坐標0.1.線性空間是滿足一定條件的集合,線性空間的向量都有無窮多個（零空間除外） 于是就提出兩個問題：在無窮多個向量中能否找到有限個具有代表性的向量,使得該線性空間中的任何一個向量都可以用這有限個向量來表示？122.,),na aa線性空間中的向量是抽象的,是否可以把這抽象的向量和具體的數(shù)組向量（相對應(yīng) 把抽象的線性空間的線性運算轉(zhuǎn)化為數(shù)組向量的線性運算？*2022-2-22242-1(dim).,1dim( );.( ),1, ,1.8,.nensionVnnVVnVVFP xnnx xx線性空間

13、的維數(shù)是線性空間的一個重要的屬性線性空間 中若存在有 個線性無關(guān)的向量 而任何個向量都是線性相關(guān)的，則稱 是記為如果在 中可以找到任意多個線性無關(guān)的向量，則稱 是無限維的例如數(shù)域 上的一元多項式的全體組成的線性空間是無限維的因為對于任意的正整數(shù) ，都是線性義維的無關(guān)的定1111,dim( ).1.3nnVnVVn 如果線性空間 中有 個線性無關(guān)的向量，并且 中任一向量都可由，線性表示，則定理2022-2-2225.為了研究向量的性質(zhì)，引入坐標是一個重要的步驟在有限維線性空間中，坐標同樣是一個有力的工具121212,().1.9nnnVFnVVVbasisVnnV 設(shè) 是數(shù)域 上的 維線性空間

14、則 中一定存在一組線性無關(guān)的向量系，使得 中任一向量都可以唯一地表示成的線性組合則稱為 的一組也就是說，如果 是由 個向量的所有線性組合所構(gòu)成,且這 個向量線性無關(guān)，則稱它們?yōu)?的一義基底種基底定2022-2-222612112212121212,nnnnnTnnVVxxxx xxx xxx xx 若是 的一組基底，則可以唯一地表示成其中稱為 在基下的，記為（）或者（標）坐.12112212=+=(,).nnnnxxxxxx 這時 可以表示為2022-2-22271212112,.,.,dim( ),dim( )1.4.rnrnVVrnVrnVVrVn 在 維線性空間 中 任意一個線性無關(guān)的向

15、量系都可以擴充成 的一組基如果則是 的一組基下面設(shè)此時 中至少有一個向量不能由線性表示；否證則這與矛明盾因此定理121121212112121212,.1,1,.rrrrrprnVrnVrpn 線性無關(guān)如果則，是 的一組基，否則則 中至少有一向量不能有，線性表示，從而有，線性無關(guān).依次下去,可得一組線性無關(guān)的向量組，其中2022-2-222812111 122121212100010001( ,)=+=( ,),),.1.6)nnnTnnTnnnnTnnFFxx xxFx xxxx xxx xxx 在 維線性空間中， ，是的一組基，對任一向量都有（所以（就是向量 在這組基下的坐標例2022-2

16、-22292-1012-101-101-1-101-101-1( )=1,= ,=,=,( ),dim( ),( ).( ),1.7)nnnnnnnnnnTnpxxxxpxnFnpxnpxf xaa xa xa aa 在線性空間中，是中 個線性無關(guān)的向量，并且數(shù)域 上的任一次數(shù)小于 的多項式都可有線性表示，因此并且是的一組基在這組基下，的坐標為（例1.5線性空間的子空間線性空間的子空間2022-2-2230,+,1.10).SVVS kFSkSSVsubspace 定義子空間設(shè)是線性空間 的一個子集，如果對都有則稱 是 的一個（子空間的例子：221(0,0),2nninSRRSRS （）則 是

17、的一個子空間; （ ） 是所有實系數(shù)偶次多項式構(gòu)成的全體，則其是實系數(shù)多項式空間的子空間.2022-2-2231121 1221212121 122.,|,(), ,|.nnninnnnnix xxVWk xk xk xkFWx xxspanned subspacex xxWspan x xxk xk xk xkF生成的線下面我們討論子空間的生成問題設(shè)是線性空間 中的元素，令則性子空間稱集合是由向量系也稱線性包.向量系的記為1.5.1向量系的生成子空間向量系的生成子空間(線性包）線性包）2022-2-22321234143397,254143.aaaR 試求向量系所生成的的子空間的基例 .8

18、和維數(shù)11 12233123123123123043039702540430k ak ak akkkkkkkkkkkk設(shè)解 即2022-2-223321311231231223131231223132 ,3230,2dim ,2,.kkkkaaaa a aaaaaaaSpan a a aaaaaaa 解此線性方程組得于是有故線性相關(guān)，又顯見 與 （或 與或與 ）線性無關(guān)，因此所論子空間維數(shù)是 ，即基底由 與 （或 與或 與 ）所組成2022-2-22341212121212121212,(intersection) |.,.()|W WVWWWWxWWxWxWxW WsumWWWW 假設(shè)是 的

19、子空間，令：且所謂元素就是且，即是的公共元素：間，交空間和空121212121., ,WWWWVx yWWFx yW x yWxyW 可以證明與是 的子空間事實上，設(shè)則故，1.5.2 線性空間的交空間、和空間線性空間的交空間、和空間2022-2-2235212121231211212.-0.xyWxyWWWWVWWVRVxyVVVVVV，所以是 的子空間.同樣可以證明是 的子空間例在三維幾何空間中，用 表示過坐標原點的平面，表示一個通過坐標原點并且垂直的直線，那么，是整個三維幾何空間2022-2-223612121212 |.WWWWx xWxWWWV如果我們將集合，的并集定義為或則就不是 的

20、子空間1112221212212 |( ,0), |(0,),.Wx xxxR Wx xxxRx yWWxyWWWWR比如設(shè)則對就有可能對于通常定義的加法不具有封閉性所以不是的子空間2022-2-22371111221121211=(2 , +1)|,.=(2 , +1), =(2,+1),+ =(2+),1().2,9+ ).Vk kkRk kVk kVkkkkVV 設(shè)不經(jīng)過坐標原點的直線為試驗證它不是二維幾何空間的子空間 事實上，設(shè)則（所以 不是二維幾何空間的子空間例().trivialsubspace容易看出,每個線性空間至少有兩個子空間,一個是它自身,另一個是僅有零元素組成的子空間稱為

21、為零子空間，這兩個子空間稱為平凡子空間.,0( ).( ) |0,.m nnnnAFAxxFFN AN Ax AxxFA下面介紹兩個重要的子空間設(shè)則滿足的所有構(gòu)成了上的的零子空間，稱為，記為即 空間1.5.3 A的零空間和像空間的零空間和像空間12121212,( ), ()=0( ).nFN Ak kF A kkk Ak AkkN A 顯然這是上的子空間，因為若則對2022-2-2239,( )|,( ).m nmnAFR AyFyAxxFR AA 另一方面，因的為定義，為像空間1212.( ,( ) ,.nnAAAAa aaR ASpan a aa由定義可以看出, 的像空間就是由 的列向量

22、的所有線性組合組成空間設(shè) 表示成)，則1212112212112211221 1221122.,( ),()( )( ).mnFy yR Ax xFyAx yAxk kFk yk yk Axk AxA k xk xR Ak yk yR A這是的一個子空間因為設(shè)則存在使得故對有2022-2-22411212121122,V VVVVVV設(shè)是線性空間 的子空間，若中的任一元素 有分解式，1.5.4 直接和空間直接和空間12312.(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0).VSpanVSpanVVR但是一般地說，這種分解是不唯一例如取顯然 和都是的子空間2022-2-224231212(1,2

23、,0),(1,2,0)(1,2,0)(0,0,0),1,2,0), (0,0,0);zRzVVVV則對于向量可以分別分解成（121212(1,2,0)(0,1,0)(1,1,0)(0,1,0), (1,1,0).zzVVVVVV也可以由另一種分解，所以中的同一個向量分解是不唯一的.2022-2-224312121212.,.VVVVVVVV針對這種現(xiàn)象，我們要找一種特殊的和子空間，要將該和子空間中的任一元素能唯一地表示成兩個子空間中元素的和如果中的任一向量只能唯一地表示為子空間 的一個向量與子空間的一個向量的和，則稱為直和（或）定義1.11和記為直接12121212,0.VVVVVVVV為直接

24、和的充要條件是: 與之交為定零空間 即理1.52022-2-224412121212112212121122121212121211221212.,-0(-0(-,-,0.VVzVVVVx xV y yVxxyyzxyzxyxxyywxxyyxxVyyVwVVVV充分性用反證法設(shè)為零子空間，若不能唯一地表示成 與 的向量的和，則必有且，使得及兩式相減得（）（），則取向量） （），而）（）故從而，明與假設(shè)矛盾證.必要性仍可用反證法證明2022-2-2245121212121211221212121.11.2dim()dimdim,.rkrkVVVVVVVVx xxVy yyVx xxy yyVV

25、這樣可得下列推論和定理：為直接和的充要條件為設(shè)為直接和，若是的一組基，是的一組基，推論則，是的推一組基論12121.6,.VnVVVVVV設(shè) 是 維線性空間 的一個子空間，則一定存在 的一個子空間使得定理2022-2-2246121212121221122.,-,(),().12,3XYx xXxxYx xcongruentmodulo Yxxmod YYxxxxxXxxxYxx下面給出一個概念，就是，這是矩陣論研究的一個非常有用的工具設(shè) 為一線性空間， 為其子空間，是 中的兩個向量，如果則稱 記作模 同余關(guān)系是一種等價關(guān)系，也就是滿足：（）對稱性：若，則；（ ）自反性：對任意有；（ ）傳遞性

26、模子空間同余定義模 同若，且余：313.xxx，則；模子空間同余、商空間2022-2-2247., . XYxxxxzxzk xkxxzxz依照同余關(guān)系，我們可以將 中的元素劃分為模 的（或稱） 向量 所在的同余類由全體與 同余的向量構(gòu)成 記成證明兩個同余類或者相等，或者不交全體同余類構(gòu)成的集合可以作成線性空間，其加法和數(shù)乘運算分別定義為：也就是， 所在的同余類與 所在的同余類之和為所在的同余類，數(shù)乘運算的同余類陪集練習結(jié)果也類似.2022-2-2248123),(mod),/.,)0,0,).nnXYquotient spaceXYX YXna aaYaaY同余類按照上述定義所成的線性空間稱為 模 的（ 記作或者下面的例子很具啟發(fā)性：設(shè) 為含 個分量的全體行向量（所構(gòu)成的線性空間， 為前兩個分量為零的全體向量（所構(gòu)成的子空間則兩向量模同余當且僅當它們前兩個分量對應(yīng)相等因此，每個等價類都可以用一個僅含兩個分量的向量來表示，這兩個分量恰商空間好就是該.等價類中全體向量的前兩個公共分量2022-2-2249這個例子表明，構(gòu)造商空間的過程中丟棄了與Y密切相關(guān)的那些分量所包含的信息.所以,當我們無需關(guān)注這些信息時，構(gòu)造商空間就成了簡化問題的一個好方法.2022-2-2250