異面直線(xiàn)及其所成的角

1、異面直線(xiàn)及其所成的角1. 掌握空間兩直線(xiàn)的位置關(guān)系，掌握異面直線(xiàn)的概念，會(huì)用反證法和異面直線(xiàn)的 判定定理證明兩直線(xiàn)異面.2. 掌握異面直線(xiàn)所成角的概念及異面直線(xiàn)垂直的概念，能求出一些較特殊的異面直線(xiàn)所成的角.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：異面直線(xiàn)的概念、判定及計(jì)算它們所成的角.教學(xué)過(guò)程：、復(fù)習(xí)1. 公理4及等角定理.2. 同一平面內(nèi)兩直線(xiàn)的位置關(guān)系，觀(guān)察空間兩直線(xiàn)的位置關(guān)系.二、新課講解1. 異面直線(xiàn)：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)叫異面直線(xiàn).2. 異面直線(xiàn)定理：連結(jié)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線(xiàn)，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)此點(diǎn)的直線(xiàn)是異面直線(xiàn)I AB與I是異面直線(xiàn).推理模式：A ,B ,l ,B 證明：假設(shè)直線(xiàn)AB

2、與I共面，- B ,l ,B I ,點(diǎn)B和I確定的平面為直線(xiàn)AB與I共面于 ， A ，與A 矛盾， 所以，AB與I是異面直線(xiàn).3. 異面直線(xiàn)的畫(huà)法:例1.如圖，已知不共面的直線(xiàn) a,b,c相交于0點(diǎn)，M,P是直線(xiàn)a上的兩點(diǎn)，N,Q分別是 b, c上的一點(diǎn).求證：MN和PQ是異面直線(xiàn).證（法一）：假設(shè)MN和PQ不是異面直線(xiàn)，則 MN與PQ在同一平面內(nèi)，設(shè)為， a/ N b同理c 與已知a/ M , P a,M ,P ,，又 o a，二 o ,O b, N b , a,b,c共面于 b,c不共面相矛盾，所以，MN和PQ是異面直線(xiàn)。（法二）： ale O ,直線(xiàn)a,c確定一平面設(shè)為， P a,Q c

3、， P ,Q , PQ 且 M ,M PQ , 又a, b,c不共面，N b , N所以，MN與PQ為異面直線(xiàn).4 異面直線(xiàn)所成的角：已知兩條異面直線(xiàn) a,b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn) 0作直線(xiàn)a / a,b b ,所成的角的大小與 點(diǎn)0的選擇無(wú)關(guān)，把a(bǔ),b所成的銳角（或直角）叫異面直線(xiàn)a,b所成的角（或夾角）5.異面直線(xiàn)垂直： 如果兩條異面直線(xiàn)所成的角是直角，則叫兩條異面直線(xiàn)垂直.記作a b.例2.正方體ABCD ABCD中.（1）那些棱所在的直線(xiàn)與直線(xiàn) BA是異面直線(xiàn)？（2）求BA與CC夾角的度數(shù).（3）那些棱所在的直線(xiàn)與直線(xiàn) AA垂直？ 由異面直線(xiàn)的判定方法可知， 與直線(xiàn)BA成異面直線(xiàn)的有 直線(xiàn)

4、BC ,AD,CC ,DD , DC,D C , 由BB /CC，可知 B BA等于異面 直線(xiàn)BA與CC的夾角， 所以異面直線(xiàn)BA與CC的夾角為45°.兩條異面直線(xiàn)a,b垂直，(2)說(shuō)明：為了簡(jiǎn)便，點(diǎn) 0通常取在異面直線(xiàn)的一條上.(3)直線(xiàn) AB, BC,CD,DA,A B ,BC ,C D ,D A 與直線(xiàn) AA 都垂直.EF例3.空間四邊形 ABCD中，AD BC 2 , E,F分別是AB, CD的中點(diǎn), 求異面直線(xiàn)AD, BC所成的角.解：取BD中點(diǎn)G，連結(jié)EG, FG, EF E, F分別是 AB,CD的中點(diǎn)，11 EG/ AD, FG/ BC,且 EG AD 1,FG 1

5、BC22異面直線(xiàn) AD,BC所成的角即為EG,FG所成的角，EG2 FG2 EF21在 EGF 中，cos EGF2EG FG2EGF是鈍角時(shí)，表示 EGF 120°，異面直線(xiàn) AD,BC所成的角為60°.說(shuō)明：異面直線(xiàn)所成的角是銳角或直角，當(dāng)三角形 EGF內(nèi)角異面直線(xiàn)AD,BC所成的角是它的補(bǔ)角.三、本課小結(jié)1.異面直線(xiàn)的概念、判斷及異面直線(xiàn)夾角的概念.；求異面直線(xiàn)的夾角的一般2證明兩直線(xiàn)異面的一般方法是“反證法”或“判定定理”步驟是：“作證算答” 四、作業(yè)補(bǔ)充1. 已知平面 ,相交于直線(xiàn)a，直線(xiàn)b在 內(nèi)與直線(xiàn)a相交于A(yíng)點(diǎn)，直線(xiàn)c在平面 內(nèi)，且 c / a ，求證： b, c 是異面直線(xiàn)2. 空間四邊形 ABCD 中，對(duì)角線(xiàn) AC 8 ， BD 6 ， M , N 分別為 AB ,CD 的中點(diǎn)， 且 MN 5 ，求異面直線(xiàn) AC, BD 所成的角.3