伴隨矩陣的性質(zhì)及應用

1、中山大學本科畢業(yè)論文（設計）（2016屆）題 目： 伴隨矩陣及其應用 姓 名： 學 號： 學 院： 數(shù)學學院 專 業(yè)： 指導老師： 申請學位： 摘 要伴隨矩陣是高等代數(shù)中的一個重要概念，由它可以推導出求逆矩陣的計算公式，從而解決了矩陣求逆的問題.同時關于矩陣A 的伴隨矩陣A* 的性質(zhì)也是非常重要的. 在目前的高等數(shù)學教材中，伴隨矩陣只是作為求解逆矩陣的工具出現(xiàn)，涉及內(nèi)容較少，并沒有深入的研究探討.因此本文主要研究了伴隨矩陣在對稱性、合同性、正定性、正交性、特征多項式，特征值等方面的性質(zhì)，并給出伴隨矩陣在實際問題中的綜合應用實例.顯示對應的拉丁字符的拼音字典 關鍵詞：伴隨矩陣，正交矩陣，正定矩陣

2、，可逆矩陣，特征多項式，特征值Abstract Adjoint matrix is an important concept in higher algebra, it can derive inverse matrix calculation formula, so as to solve the inverse problem of matrix inversion. At the same time on matrix with the nature of the matrix is also very important. In the current teaching of high

3、er mathematics, adjoint matrix is only for solving inverse matrix appeared, less involved in the content, and no in-depth study. Therefore, this paper mainly studies the properties of adjoint matrix in symmetry, contract, positive definite, orthogonal and characteristic polynomial, characteristic va

4、lue, and given with with matrix in the practical problems in comprehensive application examples. Key words: adjoint matrix, orthogonal matrix, positive definite matrix, reversible matrix, characteristic polynomial, eigenvalue. 目錄摘要.IAbstract.II1. 引言.12. 伴隨矩陣的基本性質(zhì).23. 伴隨矩陣的實際應用.6 3.1利用伴隨矩陣求逆矩陣.6 3.2由

5、伴隨矩陣推導原矩陣.6 3.3伴隨矩陣基本性質(zhì)的直接應用. 6 3.4伴隨矩陣秩的應用.8參考文獻.9伴隨矩陣及其應用1. 引言 矩陣是高等代數(shù)的重要組成部分，是許多數(shù)學分支研究的重要工具。伴隨矩陣作為矩陣中較為特殊的一類，其理論和應用有其自身的特點.那么我們首先來了解一下什么是伴隨矩陣，在給出伴隨矩陣的定義之前，先給出余子式和代數(shù)余子式的定義. 定義1 階行列式的某一元素的余子式指的是在中劃去所在的行和列后所余下的階子式. 定義2 階行列式的元素的余子式附以符號后，叫作元素的代數(shù)余子式，用符號表示，. 定義3 設是矩陣中元素的代數(shù)余子式，那么矩陣稱為矩陣的伴隨矩陣. 定義4 一個矩陣中不等于

6、零的子式的最大階數(shù)叫做這個矩陣的秩，記作. 伴隨矩陣中有兩個常用的公式 公式一 . 公式二 ，其中是單位矩陣，是矩陣的逆矩陣，是矩陣的行列式. 證明 設，由于 ，因此，同理，公式一得證.當是可逆矩陣時，由公式一可得，即. 注：公式二給出了矩陣的逆矩陣的構造方法，這在理論上是非常重要的.高等代數(shù)教材中給出的伴隨矩陣，一般都是以上內(nèi)容，但這對于伴隨矩陣的探究遠遠不夠，本文將給出伴隨矩陣的一些性質(zhì)及證明，同時結合伴隨矩陣的性質(zhì)，探究伴隨矩陣的實際應用. 2. 伴隨矩陣的基本性質(zhì) 性質(zhì)1 設是階矩陣，則 證明 當時，則可逆，由可知，即，所以可逆，. 當時，中至少有一個階子式不為0，即中至少有一個元素不

7、為0，因此.又因為，則不是滿秩矩陣，所以.由,可知,又因為，把代入，可知，綜上可得. 當時，可知的所有階子式均為0，即的所有元素均為0 ，于是，所以. 性質(zhì)2 ，其中表示矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣. 證明 設，則的第行第列元素為，的第行第2列元素為，的第行第列元素為，的第行第列元素為，因此. 性質(zhì)3 . 證明 當可逆，即時，因為，所以，當不可逆，即時，可得. 性質(zhì)4 . 證明 當，即為二階矩陣時，設，則，故. 當時，根據(jù)是否可逆分兩種情況考慮. 可逆，即,由性質(zhì)3可知 不可逆，即,可知.若，則，可知，從而.若，則，即，故. 性質(zhì)5 當可逆時，. 證明 由可知，,而,故. 性質(zhì)6 設為常數(shù)，. 證明 . 性

8、質(zhì)7 . 證明 當時，. 當時，令,，則存在無窮多個，使得1.與均可逆，所以，該等式兩端的元素是關于的有限次多項式，因為存在無窮多個，這意味著存在無窮多個數(shù)使得對應的多項式相等，即上式對任意的都成立.當時，得. 伴隨矩陣是由矩陣決定的，所以矩陣所具有的特點伴隨矩陣一樣具備. 性質(zhì)8 若為正交矩陣，則也是正交矩陣. 證明 若為正交矩陣，則，于是有. 同理，,故也為正交矩陣. 性質(zhì)9 若矩陣與合同，且與可逆，那么與也合同. 證明 因為矩陣與合同，由矩陣合同的定義可知，存在可逆矩陣，使得，又與可逆，則,令，有，又，則有,令，則是可逆矩陣且，因此與也合同. 性質(zhì)10 若為對合矩陣，即,則也為對合矩陣.

9、證明 若為對合矩陣，則，則，因此也是對合矩陣. 性質(zhì)11 若是一個階正定矩陣，則也是正定矩陣. 證明 因為是正定矩陣，故存在可逆矩陣，使得，那么有，由性質(zhì)7可知，所以也是正定矩陣. 性質(zhì)12 若是一個階實對稱矩陣，則也是對稱矩陣. 證明 因為是實對稱矩陣，有，由性質(zhì)2可知，所以，故也是對稱矩陣. 性質(zhì)13 若是階可逆的，則可表示成的多項式. 證明 設的特征多項式為，由于可逆，故可知.由哈密頓-凱萊定理可得，即，進而可得，故.由，所以. 注：哈密頓-凱萊定理：設階矩陣的特征多項式為，則矩陣滿足特征方程，即 性質(zhì)14 若是可逆矩陣，是其特征值，是的屬于的特征向量，那么的特征值為,是的屬于特征值的特

10、征向量. 證明 因為可逆，所以，由，兩邊同時乘以得，由可得，因此.3. 伴隨矩陣的實際應用 3.1利用伴隨矩陣求逆矩陣 例1 設矩陣，則 分析 求，首先要先將矩陣求出，再根據(jù)伴隨矩陣定義，求得，利用公式即可解出. 解 由，得：，1，故. 3.2由伴隨矩陣推導原矩陣 例2 設矩陣的伴隨矩陣，求. 分析 伴隨矩陣是從矩陣根據(jù)定義得出的，本題若是采用定義的方法逆推矩陣，麻煩且容易弄錯元素，因此考慮利用公式去推導矩陣. 解 ，根據(jù)性質(zhì)4， ，此時，故， ，根據(jù)，對矩陣施行行初等變換 ，即. 3.3伴隨矩陣基本性質(zhì)的直接應用 例3 設為階矩陣，其逆矩陣為，求，. 分析 先看，若直接求，需通過將求出，再通

11、過伴隨矩陣的定義求出，進而可以求出，但這個過程比較繁瑣.根據(jù)前面的性質(zhì) ，只要求出和就可以求出,過程更為簡便. 再看，如果直接求的話，就要先利用求出，再求，最后求逆.雖然是三階矩陣，但這三步每一步都不容易.可根據(jù)前面的性質(zhì) 簡化運算過程.這兩個問題從公式中可以看出，只要求出與就能解決，那就先從求著手. 解 ，故，.由性質(zhì)4可知，此時,.由性質(zhì)5可知，. 例4 求矩陣的伴隨矩陣. 解 矩陣的特征多項式為：，矩陣可逆，由性質(zhì)可知. 例5 設為三階矩陣，的特征值為1,3,5，試求行列式 解 因為的特征值為1,3,5，所以.由性質(zhì)14可知，的特征值分別為，.于是的特征值為，.故. 3.4伴隨矩陣秩的應

12、用 例6 試求出滿足的一切階矩陣.2 分析 如何求解呢？我們可以從矩陣的秩來考慮，也就是利用性質(zhì)1，但是要注意分類討論. 解 當時，此時有. 當時，則，即，此時. 當時，則，當時，.當時，設，則，即.因為若，則，于是，這與矛盾，故此時. 當時，則，由可得，僅當時. 綜上可得，滿足的矩陣是：零矩陣以及滿足的可逆矩陣.0參考文獻1 張禾瑞，郝鈵新高等代數(shù)（第五版）M北京：高等教育出版社，20072 馬訾偉，杜煒，閆曉紅高等代數(shù)全程導學及習題全解（第五版）M北京：中國時代經(jīng)濟出版社，20093 趙利輝，宋紅偉伴隨矩陣的性質(zhì)及其在解題中的應用J，廊坊師范學院學報（自然科學版），2013，13(4)：24-26.4 張艷麗關于伴隨矩陣性質(zhì)的討論J衡水學院學報，2007，9（1）：43-445 王蓮花，田立平伴隨矩陣性質(zhì)及其應用J河南教育學院學報（自然科學版），2006，15（3）：4-66 劉兵軍伴隨矩陣的運算性質(zhì)J保定師范專科學校學報，2002,15(2)：6-8.7肖翔，許伯生.伴隨矩陣的性質(zhì)J.上海工程技術大學教育研究學報，2007，3