二維形式的柯西不等式(共9頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 3.1 二維形式的柯西不等式（一）教學要求：認識二維柯西不等式的幾種形式，理解它們的幾何意義， 并會證明二維柯西不等式及向量形式. 教學重點：會證明二維柯西不等式及三角不等式.教學難點：理解幾何意義.一、復習準備：1. 提問： 二元均值不等式有哪幾種形式？答案：及幾種變式.2. 練習：已知a、b、c、d為實數(shù)，求證 證法：（比較法）=.=二、講授新課：1. 教學柯西不等式： 提出定理1：若a、b、c、d為實數(shù)，則. 即二維形式的柯西不等式 什么時候取等號？ 討論：二維形式的柯西不等式的其它證明方法？ 證法二：（綜合法） . （要點：展開配方） 證法三：（向量法）設向

2、量，則，. ，且，則. . 證法四：（函數(shù)法）設，則0恒成立. 0，即. 討論：二維形式的柯西不等式的一些變式？ 變式： 或 或. 提出定理2：設是兩個向量，則. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ） 討論：上面時候等號成立？（是零向量，或者共線） 練習：已知a、b、c、d為實數(shù)，求證. 證法：（分析法）平方 應用柯西不等式 討論：其幾何意義？（構(gòu)造三角形）2. 教學三角不等式： 出示定理3：設，則.分析其幾何意義 如何利用柯西不等式證明 變式：若，則結(jié)合以上幾何意義，可得到怎樣的三角不等式？ 3. 小結(jié)：二維柯西不等式的代數(shù)形式、向量形式；三角不等式的兩種形式（兩點、三點） 3.1 二維

3、形式的柯西不等式（二）教學要求：會利用二維柯西不等式及三角不等式解決問題，體會運用經(jīng)典不等式的一般方法發(fā)現(xiàn)具體問題與經(jīng)典不等式之間的關(guān)系，經(jīng)過適當變形，依據(jù)經(jīng)典不等式得到不等關(guān)系.教學重點：利用二維柯西不等式解決問題.教學難點：如何變形，套用已知不等式的形式.一、復習準備：1. 提問：二維形式的柯西不等式、三角不等式？ 幾何意義？ 答案：；2. 討論：如何將二維形式的柯西不等式、三角不等式，拓廣到三維、四維？3. 如何利用二維柯西不等式求函數(shù)的最大值? 要點：利用變式.二、講授新課：1. 教學最大（小）值： 出示例1：求函數(shù)的最大值？ 分析：如何變形？ 構(gòu)造柯西不等式的形式 板演 變式： 推廣

4、： 練習：已知，求的最小值. 解答要點：（湊配法）. 討論：其它方法 （數(shù)形結(jié)合法）2. 教學不等式的證明： 出示例2：若，求證：.分析：如何變形后利用柯西不等式？ （注意對比 構(gòu)造） 要點： 討論：其它證法（利用基本不等式） 練習：已知、，求證：.3. 練習： 已知，且，則的最小值. 要點：. 其它證法 若，且，求的最小值. （要點：利用三維柯西不等式）變式：若，且，求的最大值.3. 小結(jié)：比較柯西不等式的形式，將目標式進行變形，注意湊配、構(gòu)造等技巧. 3.2 一般形式的柯西不等式教學要求：認識一般形式的柯西不等式，會用函數(shù)思想方法證明一般形式的柯西不等式，并應用其解決一些不等式的問題.教學

5、重點：會證明一般形式的柯西不等式，并能應用.教學難點：理解證明中的函數(shù)思想.一、復習準備：1. 練習： 2. 提問：二維形式的柯西不等式？如何將二維形式的柯西不等式拓廣到三維？ 答案：；二、講授新課：1. 教學一般形式的柯西不等式： 提問：由平面向量的柯西不等式，如果得到空間向量的柯西不等式及代數(shù)形式？ 猜想：n維向量的坐標？n維向量的柯西不等式及代數(shù)形式？ 結(jié)論：設，則 討論：什么時候取等號？（當且僅當時取等號，假設）聯(lián)想：設，則有，可聯(lián)想到一些什么？ 討論：如何構(gòu)造二次函數(shù)證明n維形式的柯西不等式？ （注意分類）要點：令 ，則.又，從而結(jié)合二次函數(shù)的圖像可知，0即有要證明的結(jié)論成立. （注

6、意：分析什么時候等號成立.） 變式：. （討論如何證明）2. 教學柯西不等式的應用： 出示例1：已知，求的最小值. 分析：如何變形后構(gòu)造柯西不等式？ 板演 變式： 練習：若，且，求的最小值. 出示例2：若，求證：. 要點：3. 小結(jié)：柯西不等式的一般形式及應用；等號成立的條件；根據(jù)結(jié)構(gòu)特點構(gòu)造證明.三、鞏固練習：1不等式1、已知，則不等式的解是（ ） A. B. C.,或 D.，或2、不等式和同時成立的條件是（ ） A. B. C. D.3、若a、b為實數(shù)，則ab0是ab的 （ ） A. 充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4、設，且，則（ ） A. B.

7、 C. D.5、下列各式中，最小值等于的是（ ） A B C D 6、已知，則的最小值為（ ） A8 B6 C D7、設，且， ， ，則它們的大小關(guān)系是（ ） A B C D 8、若，則函數(shù)有（ ）A 最小值 B 最大值 C 最大值 D 最小值 9、若且滿足，則的最小值是（ ） A B C D 10、若，則函數(shù)的最小值為（ ） A B C D 非上述情況11、設，則函數(shù)的最大值是_ 12、若，則的最小值是_ 13、函數(shù)的最小值為_ 14、設，求證4-5不等式選講練習（二）絕對值不等式1、不等式的解集為（ ）A B C D 2、若，則的元素個數(shù)為（ ）A0B1C2D33、不等式的解集是（ ） A

8、 B. C. D. 4、已知，且，則（ ）A. B. C. D. 5、函數(shù)的最小值為（ ）A B C D 6、不等式的所有實數(shù)解的集合是（ ）A B C D 7、則的大小關(guān)系為 （ ）A. B. C. D. 8、若不等式的解集中的整數(shù)有且僅有，則的取值范圍為 9、不等式的解集是_。10、不等式的解集是_11、不等式的解集是 . 12、不等式的解集是 . 13、已知，若關(guān)于的方程有實根，則的取值范圍是 14、如果關(guān)于的不等式的解集不是空集，求參數(shù)的取值范圍 4-5不等式選講練習（三）比較法1、設都是正數(shù)，且則下列不等式中恒成立的是（ ）A B C D 2、設下列不等式中不正確的是（ ） A B

9、C D 3、設則下列關(guān)于和的大小關(guān)系中正確的是（ ）A B C D 4、如果，且，那么（ ） A B C D 5、已知，則有（ ） A B C D 6、設則的大小關(guān)系是_7、設若，則實數(shù)應滿足的條件是_ 8、設則和的大小關(guān)系是_9、若，則和的大小關(guān)系是_ 綜合法和分析法1、已知且，則的大小關(guān)系是（ ）A B C D 的大小和有關(guān)2、若，且，則下列四個數(shù)中最小的一個是（ ） A B C D 3、設不等的兩個正數(shù)滿足，則的取值范圍是（ ） A B C D 4、若，且, ，則與的大小關(guān)系是 A B C D 5、的關(guān)系是_ 6、已知，比較與的大小關(guān)系為 7、設且，則的最大值是_ 8、若是正數(shù)，且滿足，

10、用表示中的最大者，則的最小值為_ 9、已知，求證：（1） （2）反證法和放縮法1、設, ，則的大小關(guān)系是（ ） A B C D 2、設，則的大小順序是（ ） A B C D 3、，設，則下列判斷中正確的是（ ） A B C D 4、若，則, , , 按由小到大的順序排列為 5、已知，且，則的最大值等于_ 6、若為正整數(shù)，求證： 柯西不等式1、若，且，則的取值范圍是（ ）A B C D 2、已知則的最大值是（ ）A B C D 3、已知那么的最小值是（ ）A B C D 4、設，且，則的最小值是（ ）A B C D 5、已知，且，則的最小值為（ ）A B C D 6、已知是給定的正數(shù)，則的最小值是（ ）A B C D 7、已知半圓的直徑