定積分的應(yīng)用

1、第六章 定 積 分 的 應(yīng) 用(一) 本 章 內(nèi) 容 小 結(jié)(二) 常見(jiàn)問(wèn)題分類及解法(三) 思 考 題(四) 課 堂 練 習(xí)( (一一) ) 本章內(nèi)容小結(jié)本章內(nèi)容小結(jié)一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容 利用“微元法”推導(dǎo)了平面圖形面積、旋轉(zhuǎn)體體積、曲線弧長(zhǎng)的公式以及利用“微元法”解決了變力做功、引力、質(zhì)量和液體壓力等物理方面的問(wèn)題。二、重點(diǎn)和難點(diǎn)二、重點(diǎn)和難點(diǎn)“微元法”的思想及其應(yīng)用是本章重點(diǎn)也是本章的難點(diǎn)。三、對(duì)學(xué)習(xí)的建議三、對(duì)學(xué)習(xí)的建議 在本章所有討論的問(wèn)題中，積分式的建立都依賴于“微元法”這種數(shù)學(xué)思想，對(duì)于非均勻變化問(wèn)題，這是求整體量的普遍方法。 在幾何方面的應(yīng)用，已經(jīng)利用“微元法”推導(dǎo)出一些公

2、式，只需正確地使用公式即可，不需要再?gòu)摹拔⒃ā弊銎?。要注意的是這類題目一定要先畫出正確的草圖，以便確定積分變量取 還是取 ，或是圖形是否需要進(jìn)行分割。xy 對(duì)于物理問(wèn)題的應(yīng)用，就必須從“微元法”做起。問(wèn)題是多種多樣的，但一般步驟都是相同的。(1) 畫出正確的草圖，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系以確定積分變量。,(2) 確定積分變量變化區(qū)間，在其中任取一子區(qū)間 。a bx xdx,( )(3) 應(yīng)用“以直代曲”、“以不變代變”的思想求出對(duì)應(yīng)于 子區(qū)間的待求整體量的微元 。x xdxf x dx( )(4) 寫出積分式 ，解之。baf x dx四、本章關(guān)鍵詞四、本章關(guān)鍵詞微元法( (二二) ) 常見(jiàn)問(wèn)題分類及

3、解法常見(jiàn)問(wèn)題分類及解法一、求平面圖形面積的方法一、求平面圖形面積的方法 到目前為止，已經(jīng)利用定積分的幾何意義和定積分的微元法求得如下面積公式。1、在直角坐標(biāo)系下( )0()(1) 連續(xù)曲線 ，及 軸所圍圖形面積為yf xxaxb abx( ) (1)baAf x dx2121( )( )( )( )()(2) 由上、下兩條連續(xù)曲線 ，及，所圍成的圖形的面積為yfxyf xfxf xxaxb ab21( )( ) (2)baAfxf x dx1221( )( ) ( )( )()(3) 由左、右兩條連續(xù)曲線 ， 及，所圍成的圖形面積為xg yxgygyg yycyd cd21( )( ) (3)

4、dcAgyg y dy( )( )(4) 一般而言，當(dāng)曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程 xx tyy t( ) ( )給出時(shí)，則梯形的面積為 (4)Ay t x t dt( )0( )( ).其中， 與 分別是由曲邊左端點(diǎn)和右端點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值。即 y txx2、在極坐標(biāo)系下( )( ) 若曲線方程由極坐標(biāo)給出：，則由曲線，半直線 ，半直線 所圍成的曲邊扇形面積為rrrr21 ( )2 (5)Ard 在具體面積的求解中，可直接利用以上公式，而沒(méi)有必要再重復(fù)“微元法”的過(guò)程，這樣可以簡(jiǎn)化求解過(guò)程。24(0)2400 求由拋物線 ， ，與直線 及 所圍成的平面圖形的面積。yxyxyy例例1 1 解解221

5、24240(1,2)0,2( )44( )2如圖6-1所示，求曲線 與直線 的交點(diǎn)為，取 為積分變量較簡(jiǎn)便，利用公式(3)可得所求面積為yxxyyyyxg yyxgy2210( )( )Agyg y dy220424yydy22302412yyy7.3y422O240 xy(1,2)24yxx圖 6-1 例 1 示意22(0, 4) 求拋物線 與其過(guò)點(diǎn) 的切線所圍成的平面 圖形的面積。yxxA例例2 2 解解00000(0, 4)22(,)(22)()(0, 4)( 2,8)(2,0)6424 2,2如圖 6-2 所示，先求出過(guò)點(diǎn)與拋物線相切的切線方程。由于 ，所以過(guò)拋物線上的點(diǎn)的切線方程為，

6、因該切線過(guò)點(diǎn)，代入該方程可求得兩個(gè)交點(diǎn)，。這時(shí)切線與的方程分別為 與 。根據(jù)題意，取 為積分變量較為簡(jiǎn)便，。AyxxyyyxxxABCABACyxyxxx OCBAxy圖 6-2 例 2 示意12若記所求的面積為 的話，則 ，利用公式(2)，因此可得AAAA2211 2,0( )2( )64在區(qū)間上，取上曲線 ，下曲線，所對(duì)應(yīng)的面積記為 。yfxxxyf xxA 22120,2( )2( )24在區(qū)間上，取上曲線 ，下曲線，所對(duì)應(yīng)的面積記為 。yfxxxyf xxA12AAA022220(2 )( 64)(2 )(24)xxxdxxxxdx 022220(44)(44)xxdxxxdx0232

7、322011242433xxxxxx16.3二、求旋轉(zhuǎn)體的體積的方法二、求旋轉(zhuǎn)體的體積的方法 在第十七章，已經(jīng)利用微元法建立了求旋轉(zhuǎn)體體積的公式如下：( )()1、由曲線 ，直線 ，及 軸所圍成的曲邊梯形繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積為yf xxaxb abxx22( ) (6)bbaaVy dxfx dx( )()2、由曲線 ，直線 ，與 軸所圍成曲邊梯形繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積為xyycyd cdyy22( ) (7)ddccVx dyy dy在具體計(jì)算時(shí)，可直接利用以上公式求解旋轉(zhuǎn)體的體積。 求底面半徑為 ， 高為 的圓錐體的體積。rh例例3 3 解解圖 6-3 例 3 示

8、意圖OxrhPxy( , ) 以圓錐體的軸線為 軸，頂點(diǎn)為原點(diǎn) (圖6-3).過(guò)點(diǎn) 及點(diǎn)的直線方程為xOP h rryxh,0, 此圓錐體可看作由直線 及 軸所圍成的直角三角形繞 軸旋轉(zhuǎn)而成的. 由旋轉(zhuǎn)體體積計(jì)算公式，得所求圓錐體的體積ryxhxxhxx2232200133hhrrxVxdxr hhh(0)() 求圓心在 ， ，半徑為 的圓繞 軸旋轉(zhuǎn)而成 的環(huán)狀體的體積。ba bay例例4 4 解解圓的方程為222()xbyaOaa( ,0)bxy圖 6-4 例4示意22222211( )( )顯然，此環(huán)狀體的體積等于由右半圓周和左半圓周分別與直線 ，及 軸所成的曲邊梯形繞 軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)

9、體之差(見(jiàn)圖 6-4)，因此所求的環(huán)狀體xybayxybayyayayy 的體積2221( )( )aaaaVy dyy dy222222()() aabaybaydy2208abay dy222.a b22201.4注： 由幾何意義知其值為aay dya在求一般旋轉(zhuǎn)體的體積時(shí)，應(yīng)注意掌握以下規(guī)律和求解方法：22( )( ).(1) 明確旋轉(zhuǎn)軸是 軸或是 軸，若是 軸，則被積表達(dá)式為 ；若是 軸，則被積表達(dá)式為 xyxfx dxyy dy.(2) 畫出草圖，以幫助明確積分區(qū)間.(3) 在求解時(shí)，注意利用對(duì)稱性，以簡(jiǎn)化求解過(guò)程三、求平面曲線弧長(zhǎng)的方法三、求平面曲線弧長(zhǎng)的方法( ) , 前面已經(jīng)利

10、用“微元法”求得平面光滑曲線 在相應(yīng)區(qū)間上的弧長(zhǎng)為yf xa b221 ()1 ( ) (8)bbaalydxfxdx( )( )若平面光滑曲線是由參數(shù)方程 ，給出，xttyt 22( )( )則所求的弧長(zhǎng)為 (9)lttdt12( )()若平面光滑曲線是由極坐標(biāo) ， 給出，rr2122 ( ) ( )則所求弧長(zhǎng)為 (10)lrrd322(0)3 求曲線 上相應(yīng)從 到 的一段弧長(zhǎng)。yxabab例例5 5 解解12取 為積分變量，并且 ，利用公式(8)，xyx 則所求平面曲線弧長(zhǎng)為21 ()balydx1baxdx322(1)3bax33222(1)(1) 3ba(1 cos ) 求心形線 的周

11、長(zhǎng)。ra例例6 6 解解( )sin 取 為積分變量，且，利用公式(10)及對(duì)稱性(見(jiàn)圖6-5)所求周長(zhǎng)為ra Oxy2a圖 6-5 例 6 示意2202 ( ) ( )lrrd2202(1 cos )( sin )ad 0222cosad 022 cos2ad022cos2ad08sin2a8 . a一般講，求平面曲線弧長(zhǎng)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)： 由曲線方程的形式，確定積分變量、積分區(qū)間及相應(yīng)的求弧長(zhǎng)公式。 注意利用對(duì)稱性以簡(jiǎn)化求解過(guò)程。四、求變力做功的方法四、求變力做功的方法 例例7 7 一條長(zhǎng) 50m，質(zhì)量為30kg的均勻鏈條懸掛于一建筑物 頂部，問(wèn)把這鏈條全部拉上建筑物頂端，需做多少功？ 解解

12、 用定積分的微元法來(lái)計(jì)算.0,50.(1) 選變量，定區(qū)間 如圖 6-6 所示，取鏈條向上拉動(dòng)的距離 為積分變量，它的變化區(qū)間是x ,().(2) 取近似，定微元 任取一微小區(qū)間，與之對(duì)應(yīng)的一小段鏈條的質(zhì)量為5.88 ，而將該小段拉上建筑物頂所做的功，即功微元為 5.88x xdxdxNdWxdx5050200(3) 求積分，算整量 所做的功為5.88 5.887350.4().2WxdxxWOxxdxx圖 6-6 例7示意五、求液體的側(cè)壓力的方法五、求液體的側(cè)壓力的方法 一個(gè)邊長(zhǎng)為 的正三角形薄板垂直地沉沒(méi)在水中，它的一個(gè)邊與水面平齊，求薄板一側(cè)所受的壓力 (水的相對(duì)密度為 )。a例例8 8

13、 解解用定積分的微元法.Oxxy0,2aAxdx3,02Ba圖 6-7 例 8 示意32330,2(1) 選變量，定區(qū)間 建立如圖 6-7 所示的直角坐標(biāo)系，并畫出草圖，寫出的直線方程 ，取 為積分變量，為積分區(qū)間；ABayxxa230,2 ,2 323(2) 取近似，定微元 在 的變化區(qū)間內(nèi)任取一微小的區(qū)間 ，將豎直放置的細(xì)條(見(jiàn)圖 6-7中陰影部分)近似看作水平放置，即得到壓力微元為 ；xax xdxdFxdAxydxaxxdx33222332002 312 313298(3) 求積分，算整量 所求的壓力為 (壓力單位) .aaFaxxdxaxxa六、引力的求法六、引力的求法 設(shè)有一長(zhǎng)度為

14、 、線密度為 的均勻細(xì)桿，在桿的中垂線上，并且距桿 個(gè)單位長(zhǎng)度處有一個(gè)質(zhì)量為 的質(zhì)點(diǎn)。求細(xì)桿對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力。lamM例例9 9 解解用定積分的微元法.,2 2(1) 取變量，定區(qū)間 取桿的中心為原點(diǎn)，桿位于 軸上，建立如圖 6-8 所示的坐標(biāo)系，取 為積分變量，積分區(qū)間為 ；yyllOxyy2l2lydyMar圖 6-8 例 9 示意2222,2 2 ,(2) 取近似，定微元 在 的變化區(qū)間內(nèi)，視任一小區(qū)間對(duì)應(yīng)的一小段細(xì)桿為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量為 ，與相距，因此可求出這一小段細(xì)桿對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力的大小為 llyy ydydyMrayMFm dyFkay3222()于是在水平方向的分力的近似值，即微小細(xì)桿

15、對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力在水平方向的分力微元為 xxFFMam dydFkay 2322222224()(3) 求積分，算整量 求積分得引力在水平方向的分力為 llxam dykm lFkaalay 0.另外，由對(duì)稱性知道，引力在鉛直方向的分力為yF (三三) 思考題思考題答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案1、定積分的幾何應(yīng)用有哪些？3、求旋轉(zhuǎn)體體積時(shí)，應(yīng)注意及掌握哪些規(guī)律及方法？4、請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明利用定積分微元法解決物理問(wèn)題的步驟. 21212 ?、在直角坐標(biāo)系下由上，下兩條連續(xù)曲線，及， 所圍成的圖形的面積的計(jì)算公式是什么yfxyfxfxfxxaxbabA(四四) 課堂練習(xí)題課堂練習(xí)題答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案 2 1 4 06 .、設(shè)一物體作直線運(yùn)動(dòng)，求物體從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻所經(jīng)過(guò)的路以度程速ttV ttt2 ln1 .、求由曲線，所圍曲邊梯形的面積yxxxeS233 1 .、求曲，軸及所圍圖形繞旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體的體積yxyxyxxV24 1 .、寫出求平面光滑曲線在相應(yīng)區(qū)間 0,1 上的弧長(zhǎng)的公式y(tǒng)xxL返返 回回1、求平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積、曲線弧長(zhǎng)等.返返 回回 212.、baAfxfxdx返返 回回3 、首先應(yīng)先明確是繞軸還是軸旋