勾股定理公開課（課堂PPT）

1、1數(shù)形結(jié)合之美2你想知道嗎你想知道嗎? 國慶節(jié)前，為了更好觀看閱兵式，國慶節(jié)前，為了更好觀看閱兵式，小明媽媽買了一部小明媽媽買了一部42英寸英寸（106厘米厘米）的電視機(jī)的電視機(jī).小明量了電視機(jī)的屏幕后，發(fā)小明量了電視機(jī)的屏幕后，發(fā)現(xiàn)屏幕只有現(xiàn)屏幕只有85厘米厘米長和長和64厘米厘米寬，他寬，他覺得一定是售貨員搞錯了。你同意他的覺得一定是售貨員搞錯了。你同意他的想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？探索勾股定理3數(shù)學(xué)故事鏈接數(shù)學(xué)故事鏈接 相傳兩千五百年前，一次畢達(dá)哥拉斯去相傳兩千五百年前，一次畢達(dá)哥拉斯去朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面反朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成

2、的地面反映直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系，同學(xué)們，映直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系，同學(xué)們，我們也來觀察下面的圖案，看看你能發(fā)現(xiàn)什我們也來觀察下面的圖案，看看你能發(fā)現(xiàn)什么？么？探索勾股定理探索勾股定理4數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)：A、B、C的面積有什么關(guān)系？的面積有什么關(guān)系？SA+SB=SCABC探索勾股定理5ABCABC A的面積的面積（單位面積）（單位面積） B的面積的面積（單位面積）（單位面積） C的面積的面積（單位面積）（單位面積）圖圖1-1圖圖1-291625163652探索勾股定理6ABCS SA A=a=a2 2S SB B=b=b2 2S SC C=c=c2 2

3、abca2+b2=c2設(shè)：直角三角形的三邊長分別是設(shè)：直角三角形的三邊長分別是a、b、c猜想猜想:兩直角邊兩直角邊a、b與斜邊與斜邊c 之間的關(guān)系？之間的關(guān)系？SA+SB=SC探索勾股定理7 如果直角三角形的兩條直角邊如果直角三角形的兩條直角邊長分別為長分別為a,ba,b，斜邊長為，斜邊長為c c，那么，那么c c2 2=a=a2 2+b+b2 2. .猜想猜想abc勾勾股股弦弦探索勾股定理8bacs2s1試一試試一試? 請利用此圖象，證明勾股定理：請利用此圖象，證明勾股定理： a2+b2=c2探索勾股定理9走進(jìn)數(shù)學(xué)史10美國第二十任美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德總統(tǒng)伽菲爾德總統(tǒng)巧證勾股定理總統(tǒng)巧證

4、勾股定理aabbccADCBE返回11應(yīng)用勾股定理ABC選一選選一選12應(yīng)用勾股定理講一講講一講86ABC求圖中直角三角形的未知邊的長度。求圖中直角三角形的未知邊的長度。1517ABC13勾股定理，想得再多一點(diǎn)0 做一做做一做14勾股定理，想得再多一點(diǎn) 如圖，如圖，受臺風(fēng)莫拉克影響，受臺風(fēng)莫拉克影響，一棵樹在離地面一棵樹在離地面4 4米處斷裂，樹的頂部落在離樹跟底部米處斷裂，樹的頂部落在離樹跟底部3 3米處，這棵米處，這棵樹樹折斷前折斷前有多高？有多高？4米米3米米15勾股定理，想得再多一點(diǎn) 國慶節(jié)前，為了更好觀看閱兵式，小明國慶節(jié)前，為了更好觀看閱兵式，小明媽媽買了一部媽媽買了一部42英寸英

5、寸（106厘米厘米）的電視機(jī)）的電視機(jī).小明量了電視機(jī)的屏幕后，發(fā)現(xiàn)屏幕只有小明量了電視機(jī)的屏幕后，發(fā)現(xiàn)屏幕只有85厘米厘米長和長和64厘米厘米寬，他覺得一定是售貨員寬，他覺得一定是售貨員搞錯了。你同意他的想法嗎？你能解釋這是搞錯了。你同意他的想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？為什么嗎？回頭再看看回頭再看看16內(nèi)容總結(jié)：內(nèi)容總結(jié)：（1）運(yùn)用勾股定理的條件是什么？）運(yùn)用勾股定理的條件是什么？（2）勾股定理揭示了直角三角形的什么關(guān)系？）勾股定理揭示了直角三角形的什么關(guān)系？（3）勾股定理有什么用途？）勾股定理有什么用途？方法總結(jié)：方法總結(jié)：用直角三角形三邊表示三個正方形面積用直角三角形三邊表示三個正方形

6、面積觀察歸觀察歸納發(fā)現(xiàn)勾股定理納發(fā)現(xiàn)勾股定理任意畫一個直角三角形，再驗(yàn)任意畫一個直角三角形，再驗(yàn)證自己的發(fā)現(xiàn)。證自己的發(fā)現(xiàn)。17家庭作業(yè)：家庭作業(yè)：課本課本P55 習(xí)題習(xí)題2 補(bǔ)充：補(bǔ)充： 1、求下列直角三角形中未知邊的長、求下列直角三角形中未知邊的長: 補(bǔ)充：補(bǔ)充： 1、求下列直角三角形中未知邊的長、求下列直角三角形中未知邊的長: 2 2、如圖所示，一棵大樹在一次強(qiáng)烈臺風(fēng)中于離地面、如圖所示，一棵大樹在一次強(qiáng)烈臺風(fēng)中于離地面10米處折斷倒下，米處折斷倒下， 樹頂落在離樹根樹頂落在離樹根24米處米處.大樹在折斷之前高多少？大樹在折斷之前高多少？ 勾股定理的由來這個定理在中國又稱為這個定理在中國

7、又稱為“商高定理商高定理”，在外國稱為，在外國稱為“畢達(dá)哥拉畢達(dá)哥拉斯定理斯定理”。為什么一個定理有這么多名稱呢？商高是公元前十一世。為什么一個定理有這么多名稱呢？商高是公元前十一世紀(jì)的中國人。當(dāng)時中國的朝代是西周，是奴隸社會時期。紀(jì)的中國人。當(dāng)時中國的朝代是西周，是奴隸社會時期。 在中國古代大約是戰(zhàn)國時期西漢的數(shù)學(xué)著作在中國古代大約是戰(zhàn)國時期西漢的數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)周髀算經(jīng)中記中記錄著商高同周公的一段對話。商高說：錄著商高同周公的一段對話。商高說：“故折矩，故折矩，勾廣三，股修勾廣三，股修四，經(jīng)隅五四，經(jīng)隅五。“什么是什么是”勾、股勾、股“呢？在中國古代，人們把彎曲成呢？在中國古代，人們把彎曲

8、成直角的手臂的上半部分稱為直角的手臂的上半部分稱為“勾勾”，下半部分稱為，下半部分稱為“股股”。商高那。商高那段話的意思就是說：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為段話的意思就是說：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3 3（短邊）（短邊）和和4 4（長邊）時，徑隅（就是弦）則為（長邊）時，徑隅（就是弦）則為5 5。以后人們就簡單地把這個。以后人們就簡單地把這個事實(shí)說成事實(shí)說成“勾三股四弦五勾三股四弦五”。由于勾股定理的內(nèi)容最早見于商高。由于勾股定理的內(nèi)容最早見于商高的話中，所以人們就把這個定理叫作的話中，所以人們就把這個定理叫作 商高定理商高定理 。畢達(dá)哥拉斯（畢達(dá)哥拉斯（PythagorasPytha

9、goras）是古希臘數(shù)學(xué)家，他是公元前五世）是古希臘數(shù)學(xué)家，他是公元前五世紀(jì)的人，紀(jì)的人，比商高晚出生五百多年比商高晚出生五百多年。希臘另一位數(shù)學(xué)家歐幾。希臘另一位數(shù)學(xué)家歐幾里德（里德（EuclidEuclid，是公元前三百年左右的人）在編著，是公元前三百年左右的人）在編著幾何原本幾何原本時，認(rèn)為這個定理是畢達(dá)哥達(dá)斯最早發(fā)現(xiàn)的，所以他就把這個時，認(rèn)為這個定理是畢達(dá)哥達(dá)斯最早發(fā)現(xiàn)的，所以他就把這個定理稱為定理稱為“畢達(dá)哥拉斯定理畢達(dá)哥拉斯定理”，以后就流傳開了，以后就流傳開了。（為了慶祝這一定理。（為了慶祝這一定理的發(fā)現(xiàn)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個定理又有人叫做的發(fā)現(xiàn)，畢達(dá)

10、哥拉斯學(xué)派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個定理又有人叫做“百牛定理百牛定理”）走進(jìn)數(shù)學(xué)史勾股定理的證明方法證法一證法二證法三（鄒元治證明）（鄒元治證明）（趙爽證明）（趙爽證明） 趙爽趙爽:我國古代數(shù)學(xué)家我國古代數(shù)學(xué)家走進(jìn)數(shù)學(xué)史勾股定理的證明方法證法四證法五證法六（加菲爾德證明）（加菲爾德證明） 加菲爾德加菲爾德:第二十任總統(tǒng)第二十任總統(tǒng)（梅文鼎證明）（梅文鼎證明） 梅文鼎梅文鼎:清代天文、數(shù)學(xué)家清代天文、數(shù)學(xué)家（項(xiàng)明達(dá)證明）（項(xiàng)明達(dá)證明） 項(xiàng)明達(dá)項(xiàng)明達(dá):清代數(shù)學(xué)家清代數(shù)學(xué)家走進(jìn)數(shù)學(xué)史勾股定理的證明勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，所以它充滿魅力，千百年勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，所以它充滿魅力，千百年

11、來，人們對它的證明趨之若騖，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有來，人們對它的證明趨之若騖，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權(quán)貴，業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權(quán)貴，甚至有國家總統(tǒng)。也許是因?yàn)楣垂啥ɡ砑戎匾趾唵?，更容甚至有國家總統(tǒng)。也許是因?yàn)楣垂啥ɡ砑戎匾趾唵危菀孜?，才使它成百次地反?fù)被人炒作，反復(fù)被人論證。易吸引人，才使它成百次地反復(fù)被人炒作，反復(fù)被人論證。有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500500余種，僅我國余種，僅我國清末數(shù)學(xué)家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。清末數(shù)學(xué)家華蘅芳就提供了二十

12、多種精彩的證法。 在這數(shù)百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡潔，在這數(shù)百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡潔，有的因?yàn)樽C明者身份的特殊而非常著名。有的因?yàn)樽C明者身份的特殊而非常著名。 現(xiàn)在在網(wǎng)絡(luò)上看到較多的是現(xiàn)在在網(wǎng)絡(luò)上看到較多的是1616種種, ,包括前面的包括前面的6 6種種, ,還有還有: : 歐幾里得證明歐幾里得證明、 利用相似三角形性質(zhì)證明利用相似三角形性質(zhì)證明、 楊作玫證明楊作玫證明、 李銳證明李銳證明、 利用切割線定理證明利用切割線定理證明、 利用多列米定理證明利用多列米定理證明、 作直角三角形的內(nèi)切圓證明作直角三角形的內(nèi)切圓證明、利用反證法證明利用反證法證明、 辛卜松證

13、明辛卜松證明、 陳杰證明陳杰證明。走進(jìn)數(shù)學(xué)史22應(yīng)用勾股定理abc確定斜邊確定斜邊？acb確定斜邊確定斜邊？bca確定斜邊確定斜邊？23應(yīng)用勾股定理abc? ? ?靈活運(yùn)用靈活運(yùn)用 24復(fù)習(xí)提問復(fù)習(xí)提問 1、任意三角形三邊滿足怎樣的關(guān)系？2、對于等腰三角形，三邊之間存在怎樣的特殊關(guān)系？等邊三角形呢？3、對于直角三角形，三邊之間存在怎樣的特殊關(guān)系？252002年在北京召開了第年在北京召開了第24屆國際數(shù)學(xué)家大屆國際數(shù)學(xué)家大會，它是最高水平的全球性數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)術(shù)會，它是最高水平的全球性數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)術(shù)會議，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的會議，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的“奧運(yùn)會奧運(yùn)會”，這就，這就是本屆大會會徽的圖案。是本屆大會會徽

14、的圖案。這個圖案就是我國漢代數(shù)這個圖案就是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在證明勾股定理學(xué)家趙爽在證明勾股定理時用到的，被稱為時用到的，被稱為“趙爽趙爽弦圖弦圖”26相傳相傳2500年前，畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友年前，畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友家做客時，發(fā)現(xiàn)朋友家的用磚鋪成的地面家做客時，發(fā)現(xiàn)朋友家的用磚鋪成的地面中反映了直角三角形的某種數(shù)量關(guān)系。中反映了直角三角形的某種數(shù)量關(guān)系。CBA情景引入27探究活動分成四人小組，每個小組課前準(zhǔn)備好4個全等的直角三角形和以直角三角形各邊為邊長的3個正方形（如右圖）. 運(yùn)用這些材料（不一定全用），你能另外拼出一些正方形嗎？試試看，你能拼幾種. 28圖圖圖圖圖圖29復(fù)習(xí)提問復(fù)習(xí)

15、提問 1、任意三角形三邊滿足怎樣的關(guān)系？2、對于等腰三角形，三邊之間存在怎樣的特殊關(guān)系？等邊三角形呢？3、對于直角三角形，三邊之間存在怎樣的特殊關(guān)系？302002年在北京召開了第年在北京召開了第24屆國際數(shù)學(xué)家大屆國際數(shù)學(xué)家大會，它是最高水平的全球性數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)術(shù)會，它是最高水平的全球性數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)術(shù)會議，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的會議，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的“奧運(yùn)會奧運(yùn)會”，這就，這就是本屆大會會徽的圖案。是本屆大會會徽的圖案。這個圖案就是我國漢代數(shù)這個圖案就是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在證明勾股定理學(xué)家趙爽在證明勾股定理時用到的，被稱為時用到的，被稱為“趙爽趙爽弦圖弦圖”31相傳相傳2500年前，畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友年

16、前，畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友家做客時，發(fā)現(xiàn)朋友家的用磚鋪成的地面家做客時，發(fā)現(xiàn)朋友家的用磚鋪成的地面中反映了直角三角形的某種數(shù)量關(guān)系。中反映了直角三角形的某種數(shù)量關(guān)系。CBA情景引入32ABCABC（圖中每個小方格代表一個單位面積）圖1圖2（1）觀察圖1 正方形A中含有 個小方格，即A的面積是 個單位面積。 正方形B的面積是 個單位面積。正方形C的面積是 個單位面積。99918你是怎樣得到C的面積的？與同伴交流交流。123（2）（）（3）探究活動一：33ABCABC（圖中每個小方格代表一個單位面積）圖1圖2cS正方形143 3182 分割成若干個直角邊為整數(shù)的三角形（單位面積） 返回34ABCA

17、BC（圖中每個小方格代表一個單位面積）圖1圖2cS正方形216218（單位面積）把C看成邊長為6的正方形面積的一半 返回35ABCABC（圖中每個小方格代表一個單位面積）圖 1圖 2（2）在圖2中，正方形A，B，C中各含有多少個小方格？它們的面積各是多少？（3）你能發(fā)現(xiàn)圖1中三個正方形A，B，C的面積之間有什么關(guān)系嗎？ SA+SB=SC 即：以等腰直角三角形以等腰直角三角形兩條直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形的面積36探究活動二：（1）觀察右邊兩幅圖： （2）填表（每個小正方形的面積為單位1）：A的面積B的面積C的面積左圖右圖4 916 9？37（3）你是怎樣得到正方形C的面積的？與

18、同伴交流. 38“割”“補(bǔ)”“拼”39（4）分析填表數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？ A的面積B的面積C的面積左圖4913右圖16925CBASSS40結(jié)論結(jié)論2 2 以直角三角形兩直角邊為以直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積斜邊為邊長的正方形的面積.41222cba議一議：（1）你能用直角三角形的兩直角邊的長a、b和斜邊長c來表示圖中正方形的面積嗎？（2）你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長度之間存在什么關(guān)系嗎？CBASSS42 勾股定理（gou-gu theorem)如果直角三角形兩直角邊分別為a、b,斜邊為c，那么222abc即 直角三角

19、形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。abc表示為：表示為：RtABC中，中，C=90 則則222cba43議一議：判斷下列說法是否正確,并說明理由： (1)在ABC中,若a=3,b=4,則c=5 (2)在RtABC中，如果a=3，b=4,則c=5. (3)在RtABC中，C=90 , 如果a=3，b=4,則c=5.44探究活動分成四人小組，每個小組課前準(zhǔn)備好4個全等的直角三角形和以直角三角形各邊為邊長的3個正方形（如右圖）. 運(yùn)用這些材料（不一定全用），你能另外拼出一些正方形嗎？試試看，你能拼幾種. 45圖圖圖圖圖圖46方法一：221）（baSS而abbaS214221abcS21422所以ab

20、cabba214214222即222cba，.因?yàn)椋?7方法二：2)baS （正2214cab，化簡得：222cba48方法三：2cS正2)(214abab，化簡得：222cba491.求下列圖中表示邊的未知數(shù)x、y、z的值.81144xyz62557614416950比一比看看誰算得快！2.求下列直角三角形中未知邊的長:可用勾股定理建立方程.方法小結(jié):8x171620 x125x51CA.8 米 B.9 米 C.10米 D.14米、如圖,一個長8 米,寬6 米的草地,需在相對角的頂點(diǎn)間加一條小路,則小路的長為 ( ) 8m6m別踩我別踩我, ,我怕疼我怕疼! !52、湖的兩端有A、兩點(diǎn)，從與A方向成直角的BC方向上的點(diǎn)C測得CA=130米,CB=120米,則AB為 ( )ABCA.50米 B.120米 C.100米 D.130米130120?A53某樓房在20米高處的樓層失火，消防員取來25米長的云梯救火，已知梯子的底部離墻的距離是15米。問消防隊(duì)員能否進(jìn)入該樓層滅火？ ? ?ABC1520? ? ?