多元函數(shù)的極限與連續(xù)

1、 數(shù)學(xué)分析 第16章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)計(jì)劃課時(shí)： 1 0 時(shí) 2 / 18第16章 多元函數(shù)的極限與連續(xù) ( 1 0 時(shí) ) § 1 平面點(diǎn)集與多元函數(shù) 一. 平面點(diǎn)集: 平面點(diǎn)集的表示: 滿足的條件. 余集.1. 常見(jiàn)平面點(diǎn)集: 全平面和半平面 : , , , 等. 矩形域: , . 圓域: 開(kāi)圓 , 閉圓 , 圓環(huán)，圓的一部分. 極坐標(biāo)表示, 特別是 和. 角域: . 簡(jiǎn)單域: 型域和型域.2. 鄰域: 圓鄰域和方鄰域，圓鄰域內(nèi)有方鄰域，方鄰域內(nèi)有圓鄰域. 空心鄰域和實(shí)心鄰域 , 空心方鄰域與集 的區(qū)別.3 點(diǎn)與點(diǎn)集的關(guān)系（集拓?fù)涞幕靖拍睿?（1）內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)和界點(diǎn)：內(nèi)點(diǎn)：存

2、在使 集合的全體內(nèi)點(diǎn)集表示為,.外點(diǎn)：存在使 界點(diǎn)：A的任何鄰域內(nèi)既有E的點(diǎn)也有不屬于E的點(diǎn)。E的邊界表示為集合的內(nèi)點(diǎn), 外點(diǎn) , 界點(diǎn)不定 .例1 確定集的內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)集和邊界 .例2 為Dirichlet函數(shù).確定集的內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)和界點(diǎn)集 .（2）( 以凝聚程度分為 ) 聚點(diǎn)和孤立點(diǎn): 聚點(diǎn)：A的任何鄰域內(nèi)必有屬于E的點(diǎn)。 孤立點(diǎn)：但不是聚點(diǎn)。孤立點(diǎn)必為界點(diǎn) .例3 . 確定集的聚點(diǎn)集 .解 的聚點(diǎn)集.4區(qū)域：（1）( 以包含不包含邊界分為 ) 開(kāi)集和閉集:時(shí)稱為開(kāi)集 , 的聚點(diǎn)集時(shí)稱為閉集. 存在非開(kāi)非閉集. 和空集為既開(kāi)又閉集.（2） ( 以連通性分為 ) 開(kāi)區(qū)域、閉區(qū)域、區(qū)域：以上常見(jiàn)平

3、面點(diǎn)集均為區(qū)域 .（3） 有界集與無(wú)界集:（4） 點(diǎn)集的直徑： 兩點(diǎn)的距離.（5） 三角不等式： （或）.或二. 中的完備性定理:1 點(diǎn)列的極限: 設(shè), . 定義1。 的定義 ( 用鄰域語(yǔ)言 )或例4 , , .例5 設(shè)為點(diǎn)集的一個(gè)聚點(diǎn) . 則存在中的點(diǎn)列, 使. 2中的完備性定理：（1）Cauchy收斂準(zhǔn)則: .（2）. 閉域套定理: （3）. 聚點(diǎn)原理: 列緊性 , Weierstrass聚點(diǎn)原理.（4） 有限復(fù)蓋定理:三二元函數(shù):1. 二元函數(shù)的定義、記法、圖象：2. 定義域：例6 求定義域： > ; > .3. 二元函數(shù)求值:例7 , 求 .例8 , 求.4. 三種特殊函數(shù)

4、: 變量對(duì)稱函數(shù): ,例8中的函數(shù)變量對(duì)稱. 變量分離型函數(shù): .例如 , 等 .但函數(shù)不是變量分離型函數(shù) . 具有奇、偶性的函數(shù)四n元函數(shù)二元函數(shù) 推廣維空間 記作 作業(yè) P92 18 . § 2 二元函數(shù)的極限 一. 二重極限 二重極限亦稱為全面極限1. 二重極限定義1 設(shè)為定義在上的二元函數(shù)，為D的一個(gè)聚點(diǎn)，A是確定數(shù)若 則或例1 用“”定義驗(yàn)證極限 . 例2 用“”定義驗(yàn)證極限 . 例3證明 . ( 用極坐標(biāo)變換 ) P94 E2. 2. 歸結(jié)原則：定理 1 , 對(duì)D的每一個(gè)子集E , 只要點(diǎn)是E的聚點(diǎn) ,就有. 推論1 設(shè), 是的聚點(diǎn) .若極限不存在 , 則極限也不存在 .

5、 推論2 設(shè), 是和的聚點(diǎn). 若存在極限, 但, 則極限不存在. 推論3 極限存在, 對(duì)D內(nèi)任一點(diǎn)列, 但,數(shù)列收斂 . 通常為證明極限不存在, 可證明沿某個(gè)方向的極限不存在 , 或證明沿某兩個(gè)方向的極限不相等, 或證明極限與方向有關(guān) . 但應(yīng)注意 , 沿任何方向的極限存在且相等 全面極限存在 例4 證明極限不存在. 例5 二重極限具有與一元函數(shù)極限類似的運(yùn)算性質(zhì).例6 求下列極限: > ; > ; > ; > .3極限的定義: 定義2設(shè)為定義在上的二元函數(shù)，為D的一個(gè)聚點(diǎn)，若 則或 其他類型的非正常極限， 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的情況.例7 驗(yàn)證.二. 累次極限 二次極限1. 累次

6、極限的定義: 定義3設(shè)分別是的聚點(diǎn)，二元函數(shù)在集合上有定義。若對(duì)每一個(gè)存在極限 記作 若存在，則稱此極限為二元函數(shù)先對(duì)x后對(duì)y的累次極限記作 簡(jiǎn)記例8 , 求在點(diǎn)的兩個(gè)累次極限 . 例9 , 求在點(diǎn)的兩個(gè)累次極限 .例10 , 求在點(diǎn)的兩個(gè)累次極限 .2. 二重極限與累次極限的關(guān)系: 兩個(gè)累次極限存在時(shí), 可以不相等. ( 例9 ) 兩個(gè)累次極限中的一個(gè)存在時(shí), 另一個(gè)可以不存在. 例如函數(shù)在點(diǎn)的情況 . 二重極限存在時(shí), 兩個(gè)累次極限可以不存在. 例如例10中的函數(shù), 由 . 可見(jiàn)全面極限存在 , 但兩個(gè)累次極限均不存在. 兩個(gè)累次極限存在( 甚至相等 ) 二重極限存在 . ( 參閱例4和例

7、8 ).綜上 , 二重極限、兩個(gè)累次極限三者的存在性彼此沒(méi)有關(guān)系 . 但有以下確定關(guān)系.定理2 若二重極限和累次極限(或另一次序)都存在 , 則必相等. 推論1 二重極限和兩個(gè)累次極限三者都存在時(shí) , 三者相等 . 推論1給出了累次極限次序可換的一個(gè)充分條件. 推論2 兩個(gè)累次極限存在但不相等時(shí) , 二重極限不存在 .但兩個(gè)累次極限中一個(gè)存在 , 另一個(gè)不存在 二重極限不存在 . 參閱的例. 作業(yè)提示: P99 1、2、4 § 3 二元函數(shù)的連續(xù)性 ( 4 時(shí) )一 二元函數(shù)的連續(xù)（相對(duì)連續(xù)）概念：由一元函數(shù)連續(xù)概念引入 .1. 連續(xù)的定義: 定義 用鄰域語(yǔ)言定義相對(duì)連續(xù) . 全面連

8、續(xù) .函數(shù)有定義的孤立點(diǎn)必為連續(xù)點(diǎn) . 例1 證明函數(shù)在點(diǎn)沿方向連續(xù) . 例2 ( 1P124 E4 )證明函數(shù)在點(diǎn)沿任何方向都連續(xù) , 但并不全面連續(xù).函數(shù)的增量: 全增量、 偏增量 . 用增量定義連續(xù)性 .函數(shù)在區(qū)域上的連續(xù)性 .2. 二元連續(xù)( 即全面連續(xù) ) 和單元連續(xù) : 定義 ( 單元連續(xù) ) 二元連續(xù)與單元連續(xù)的關(guān)系: 參閱1P132 圖169.3. 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì): 運(yùn)算性質(zhì)、局部有界性、局部保號(hào)性、復(fù)合函數(shù)連續(xù)性. 僅證復(fù)合函數(shù)連續(xù)性.二. 二元初等函數(shù)及其連續(xù)性: 二元初等函數(shù) , 二元初等函數(shù)的連續(xù)性.三. 一致連續(xù)性: 定義.四. 有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):1. 有界性與最值性. (