【校級聯(lián)考】河北五個一名校聯(lián)盟2019屆高三下學(xué)期第一次診斷考試數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

1、河北省“五個一名校聯(lián)盟”2019屆高三第一次診斷考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 第I卷（選擇題）一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.是虛數(shù)單位， 則( )A. 2B. C. 4D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求出的代數(shù)形式，然后再求出【詳解】由題意得， 故選B【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算和復(fù)數(shù)的模，解題的關(guān)鍵是正確進(jìn)行復(fù)數(shù)的運算，屬于簡單題2.集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】通過解不等式分別得到集合，然后再求出即可【詳解】由題意得，故選C【點睛】解答本題的關(guān)鍵是正確得到不等式的解集，需要注意的是在解對數(shù)不等式時要注意定義域的限制

2、，這是容易出現(xiàn)錯誤的地方，屬于基礎(chǔ)題3.已知向量，則與的夾角為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由題意先求出向量與的數(shù)量積，再根據(jù)數(shù)量積的定義求出夾角的余弦值，進(jìn)而得到夾角的大小【詳解】，設(shè)與的夾角為，則，又，即與的夾角為【點睛】向量的數(shù)量積為求解夾角問題、垂直問題及長度問題提供了工具，在求夾角時首先要求出兩向量的數(shù)量積，進(jìn)而得到夾角的余弦值，容易忽視的問題是忘記夾角的范圍，屬于基礎(chǔ)題4.如圖所示的圖形是弧三角形，又叫萊洛三角形，它是分別以等邊三角形的三個頂點為圓心，以邊長為半徑畫弧得到的封閉圖形.在此圖形內(nèi)隨機取一點，則此點取自等邊三角形內(nèi)的概率是( )A. B. C.

3、 D. 【答案】D【解析】【分析】求出以為圓心，以邊長為半徑，圓心角為的扇形的面積，根據(jù)圖形的性質(zhì)，可知它的3倍減去2倍的等邊三角形的面積就是萊洛三角形的面積，運用幾何概型公式，求出概率.【詳解】設(shè)等邊三角形的邊長為，設(shè)以為圓心，以邊長為半徑，圓心角為的扇形的面積為，則，萊洛三角形面積為，則,在此圖形內(nèi)隨機取一點，則此點取自等邊三角形內(nèi)的概率為,故本題選D.【點睛】本題考查了幾何概型.解決本題的關(guān)鍵是正確求出萊洛三角形的面積.考查了運算能力.5.已知圓與拋物線交于兩點，與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點，若四邊形是矩形，則等于 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】畫出圖形，由四邊形是矩

4、形可得點的縱坐標(biāo)相等根據(jù)題意求出點的縱坐標(biāo)后得到關(guān)于方程，解方程可得所求【詳解】由題意可得，拋物線的準(zhǔn)線方程為畫出圖形如圖所示在中，當(dāng)時，則有由得，代入消去整理得結(jié)合題意可得點的縱坐標(biāo)相等，故中的相等， 由兩式消去得，整理得，解得或（舍去），故選C【點睛】解答本題的關(guān)鍵是畫出圖形并根據(jù)圖形得到與x軸平行，進(jìn)而得到兩點的縱坐標(biāo)相等另外，將幾何問題轉(zhuǎn)化代數(shù)問題求解也是解答本題的另一個關(guān)鍵考查圓錐曲線知識的綜合和分析問題解決問題的能力，屬于中檔題6.函數(shù)的圖象大致為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】計算導(dǎo)數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，然后判斷大小關(guān)系，可得結(jié)果.【詳解】由題可

5、知：函數(shù)定義為當(dāng)時，當(dāng)時，所以可知：原函數(shù)在遞增，在遞減令，則當(dāng)時，當(dāng)時，則在遞減，且在遞增，所以函數(shù)在定義域中，函數(shù)值均大于故選：A【點睛】本題主要考查了函數(shù)圖象的識別問題，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬中檔題.7.若，則下列不等式正確的是 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意對給出的每個選項分別進(jìn)行分析判斷后可得正確的結(jié)論【詳解】對于選項A，由可得，又，所以，故A不正確；對于選項B，由于，所以等價于，可得，不合題意，故B不正確；對于選項C，由于函數(shù)在上為減函數(shù)，且，所以，故C不正確；對于選項D，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象可得當(dāng)，時，故D正確故選D【點睛】根據(jù)條件

6、判斷不等式是否成立時，常用的方法有兩種：一是根據(jù)不等式的性質(zhì)直接進(jìn)行判斷；二是通過構(gòu)造適合題意的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性、圖象進(jìn)行分析判斷，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行求解，考查運用知識解決問題的能力和分析判斷能力，屬于中檔題8.已知棱長為1的正方體被兩個平行平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖所示，則剩余部分的表面積為( ) A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后再根據(jù)題中的數(shù)據(jù)求出幾何體的表面積即可【詳解】由三視圖可得，該幾何體為如圖所示的正方體截去三棱錐和三棱錐后的剩余部分其表面為六個腰長為1的等腰直角三角形和兩個邊長為的等邊三角形

7、，所以其表面積為故選B【點睛】在由三視圖還原空間幾何體時，一般以主視圖和俯視圖為主，結(jié)合左視圖進(jìn)行綜合考慮熱悉常見幾何體的三視圖，能由三視圖得到幾何體的直觀圖是解題關(guān)鍵求解幾何體的表面積或體積時要結(jié)合題中的數(shù)據(jù)及幾何體的形狀進(jìn)行求解，解題時注意分割等方法的運用，轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體的表面積或體積求解9.函數(shù)的定義域為，且，當(dāng)時，；當(dāng)時，則( )A. 671B. 673C. 1343D. 1345【答案】D【解析】【分析】由可得函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)，然后再根據(jù)周期性求出函數(shù)值即可【詳解】，函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)又當(dāng)時，；當(dāng)時，故選D【點睛】本題考查函數(shù)值的求法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到函數(shù)的

8、周期性，然后將問題轉(zhuǎn)化為求給定區(qū)間上的函數(shù)值的問題求解，考查分析判斷和計算能力，屬于基礎(chǔ)題10.如圖所示，直三棱柱的高為4，底面邊長分別是5，12，13，當(dāng)球與上底面三條棱都相切時球心到下底面距離為8，則球的體積為 ( ) A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】設(shè)球心為，三棱柱的上底面的內(nèi)切圓的圓心為，該圓與邊切于點，根據(jù)球的幾何性質(zhì)可得為直角三角形，然后根據(jù)題中數(shù)據(jù)求出圓半徑，進(jìn)而求得球的半徑，最后可求出球的體積【詳解】如圖，設(shè)三棱柱為，且，高所以底面為斜邊是的直角三角形，設(shè)該三角形的內(nèi)切圓為圓，圓與邊切于點，則圓的半徑為設(shè)球心為，則由球的幾何知識得為直角三角形，且，所以，即球的

9、半徑為，所以球的體積為故選A【點睛】本題考查與球有關(guān)的組合體的問題，解答本題的關(guān)鍵有兩個：（1）構(gòu)造以球半徑、球心到小圓圓心的距離和小圓半徑為三邊的直角三角形，并在此三角形內(nèi)求出球的半徑，這是解決與球有關(guān)的問題時常用的方法（2）若直角三角形的兩直角邊為，斜邊為，則該直角三角形內(nèi)切圓的半徑，合理利用中間結(jié)論可提高解題的效率11.函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，且，則的最小值等于 ( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】由題意得，由函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱得，又，則得到，然后根據(jù)誘導(dǎo)公式并化簡得到，進(jìn)而可得所求的最小值【詳解】由題意得，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，

10、又，即，結(jié)合與的特征可得，又，當(dāng)時，取得最小值4故選D【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象的對稱性和三角變換的應(yīng)用，解題時根據(jù)三角函數(shù)值相等得到角間的關(guān)系，并進(jìn)而得到間的關(guān)系是關(guān)鍵，考查變換能力和應(yīng)用知識解決問題的能力，屬于中檔題12.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有且僅有兩個不同的整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】考慮與和的關(guān)系，去掉絕對值號后可得，然后再通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可得所求結(jié)果【詳解】方程等價于或或，即或或，所以，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增當(dāng)時，取得最小值，且畫出函數(shù)的圖象，如下圖所示于是可得，當(dāng)時，恒成立由圖象可得，要使方程有且僅有

11、兩個不同的整數(shù)解，只需，即，解得，實數(shù)的取值范圍是故選A【點睛】本題難度較大，綜合考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及絕對值的問題，解題的關(guān)鍵是將絕對值符號去掉，將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問題，然后再結(jié)合函數(shù)的圖象求解，解題時注意數(shù)形結(jié)合思想方法的靈活運用第II卷二、填空題。13.若x，y滿足，則的最小值為_【答案】2 【解析】【分析】畫出不等式組表示的可行域，將變形為，移動直線并結(jié)合圖形得到最優(yōu)解，進(jìn)而得到所求的最小值【詳解】畫出不等式組表示的可行域，如圖陰影部分所示由可得平移直線，由圖形得，當(dāng)直線經(jīng)過可行域內(nèi)的點A時，直線在y軸上的截距最小，此時z取得最小值由 解得，所以點A的坐標(biāo)為所以故答案為2【點睛】利用線性規(guī)劃

12、求最值體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的運用，解題的關(guān)鍵有兩個：一是準(zhǔn)確地畫出不等式組表示的可行域；二是弄清楚目標(biāo)函數(shù)中的幾何意義，根據(jù)題意判斷是截距型、斜率型、還是距離型，然后再結(jié)合圖形求出最優(yōu)解后可得所求14.在的展開式中常數(shù)項等于_【答案】9【解析】【分析】先求出二項式展開式的通項，然后根據(jù)分類討論的方法得到常數(shù)項【詳解】二項式的展開式的通項為，中的常數(shù)項為故答案為9【點睛】對于含有兩個括號的展開式的項的問題，求解時可分別求出每個二項式的展開式的通項，然后采用組合（即“湊”）的方法得到所求的項，解題時要做到細(xì)致、不要漏掉任何一種情況15.已知雙曲線的左右焦點分別為、，點在雙曲線上，點的坐標(biāo)為，且到直線

13、，的距離相等，則 _【答案】4【解析】【分析】畫出圖形，根據(jù)到直線，距離相等得到為的平分線，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，再根據(jù)雙曲線的定義可求得【詳解】由題意得，點A在雙曲線右支上，又點的坐標(biāo)為，畫出圖形如圖所示，垂足分別為，由題意得，為的平分線，即又，故答案為4【點睛】本題考查雙曲線的定義和三角形角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是認(rèn)真分析題意，從平面幾何圖形的性質(zhì)得到線段的比例關(guān)系，考查分析和解決問題的能力，屬于中檔題16.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，是的中點，若 且，則面積的最大值是_【答案】【解析】【分析】由題意及正弦定理得到，于是可得，；然后在和中分別由余弦定理及可得在此基礎(chǔ)上可得，再由基本不

14、等式得到，于是可得三角形面積的最大值詳解】如圖，設(shè)，則,在和中，分別由余弦定理可得，兩式相加，整理得，由及正弦定理得，整理得，由余弦定理的推論可得，所以把代入整理得，又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，故得所以即面積的最大值是故答案為【點睛】本題考查解三角形在平面幾何中的應(yīng)用，解題時注意幾何圖形性質(zhì)的合理利用對于三角形中的最值問題，求解時一般要用到基本不定式，運用時不要忽視等號成立的條件本題綜合性較強，考查運用知識解決問題的能力和計算能力三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知數(shù)列滿足 ，（）求數(shù)列的通項公式；（）求數(shù)列的前項和【答案】（）；（） 【解析】【分析】（）由可得，兩

15、式相減得到，最后驗證滿足上式，進(jìn)而得到通項公式；（）由（）可得，于是，故利用裂項相消法可求出【詳解】（），兩式相減得，又當(dāng)時，滿足上式，數(shù)列的通項公式 （）由（）得， 【點睛】（1）求數(shù)列的通項公式時要根據(jù)條件選擇合適的方法，如本題屬于已知數(shù)列的和求通項的問題，故在求解時利用仿寫、作差的方法求解，容易忽視的地方是忘記對時的情況的驗證（2）裂項相消法求和適用于數(shù)列的通項公式為分式形式的數(shù)列，裂項相消后得到的結(jié)果具有對稱性，即相消后前面剩幾項，后面就剩幾項；前面剩第幾項，后面就剩第幾項18.山東省高考改革試點方案規(guī)定：從2017年秋季高中入學(xué)的新生開始，不分文理科；2020年開始，高考總成績由語數(shù)

16、外3門統(tǒng)考科目和物理、化學(xué)等六門選考科目構(gòu)成將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為、共8個等級參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為、選考科目成績計入考生總成績時，將至等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到、八個分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級成績某校高一年級共2000人，為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù)，對六個選考科目進(jìn)行測試，其中物理考試原始成績基本服從正態(tài)分布（1）求物理原始成績在區(qū)間的人數(shù)；（2）按高考改革方案，若從全省考生中隨機抽取3人，記表示這3人中等級成績在區(qū)間的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望（附：若隨機變量，則，）【答案】（）1636人；（）見解析【解析】【分析】（）

17、根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，可將區(qū)間分為和兩種情況，然后根據(jù)特殊區(qū)間上的概率求出成績在區(qū)間內(nèi)的概率，進(jìn)而可求出相應(yīng)的人數(shù)；（）由題意得成績在區(qū)間61,80的概率為，且，由此可得的分布列和數(shù)學(xué)期望【詳解】（）因為物理原始成績，所以所以物理原始成績在（47，86）的人數(shù)為（人）（）由題意得，隨機抽取1人，其成績在區(qū)間61,80內(nèi)的概率為所以隨機抽取三人，則的所有可能取值為0,1,2,3，且，所以 ， 所以的分布列為0123所以數(shù)學(xué)期望【點睛】（1）解答第一問的關(guān)鍵是利用正態(tài)分布的三個特殊區(qū)間表示所求概率的區(qū)間，再根據(jù)特殊區(qū)間上的概率求解，解題時注意結(jié)合正態(tài)曲線的對稱性（2）解答第二問的關(guān)鍵是判斷出隨機變

18、量服從二項分布，然后可得分布列及其數(shù)學(xué)期望當(dāng)被抽取的總體的容量較大時，抽樣可認(rèn)為是等可能的，進(jìn)而可得隨機變量服從二項分布19.如圖，在四面體中，分別是線段，的中點，直線與平面所成的角等于（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值【答案】()見證明； () 【解析】【分析】（）先證得，再證得，于是可得平面，根據(jù)面面垂直的判定定理可得平面平面（）利用幾何法求解或建立坐標(biāo)系，利用向量求解即可得到所求【詳解】（）在中，是斜邊的中點，所以.因為是的中點，所以，且，所以，所以. 又因為，所以，又，所以平面，因為平面，所以平面平面（）方法一：取中點，連，則，因為，所以.又因為，所以平面，所以平面因此是直線

19、與平面所成角故，所以.過點作于，則平面，且過點作于，連接，則為二面角的平面角因為，所以，所以，因此二面角的余弦值為方法二：如圖所示，在平面BCD中，作x軸BD，以B為坐標(biāo)原點，BD，BA所在直線為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系因為 (同方法一,過程略) 則，,所以,，設(shè)平面的法向量，則，即，取,得 設(shè)平面的法向量則，即，取,得所以，由圖形得二面角為銳角，因此二面角的余弦值為【點睛】利用幾何法求空間角的步驟為“作、證、求”，將所求角轉(zhuǎn)化為解三角形的問題求解，注意計算和證明的交替運用利用空間向量求空間角時首先要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，通過求出兩個向量的夾角來求出空間角，此時需要注意向量的夾角與空間角的關(guān)系

20、20.橢圓的離心率是，過點P（0，1）做斜率為k的直線l，橢圓E與直線l交于A，B兩點，當(dāng)直線l垂直于y軸時（1）求橢圓E的方程；（2）當(dāng)k變化時，在x軸上是否存在點M（m，0），使得AMB是以AB為底的等腰三角形，若存在求出m的取值范圍，若不存在說明理由【答案】() ；()見解析【解析】【分析】（）由橢圓的離心率為得到，于是橢圓方程為有根據(jù)題意得到橢圓過點，將坐標(biāo)代入方程后求得，進(jìn)而可得橢圓的方程（）假設(shè)存在點，使得是以為底的等腰三角形，則點為線段AB的垂直平分線與x軸的交點由題意得設(shè)出直線的方程，借助二次方程的知識求得線段的中點的坐標(biāo)，進(jìn)而得到線段的垂直平分線的方程，在求出點的坐標(biāo)后根據(jù)基

21、本不等式可求出的取值范圍【詳解】（）因為橢圓的離心率為，所以，整理得故橢圓的方程為 由已知得橢圓過點，所以，解得， 所以橢圓的方程為（）由題意得直線的方程為由消去整理得，其中 設(shè)，的中點則，所以，點C的坐標(biāo)為假設(shè)在軸存在點，使得是以為底的等腰三角形，則點為線段垂直平分線與x軸的交點當(dāng)時，則過點且與垂直的直線方程，令，則得若，則，若，則，當(dāng)時，則有綜上可得所以存在點滿足條件,且m的取值范圍是.【點睛】求圓錐曲線中的最值或范圍問題時，常用的方法是將所求量表示成某個參數(shù)的代數(shù)式的形式，然后再求出這個式子的最值或范圍即可求最值或范圍時一般先考慮基本不等式，此時需要注意不等式中等號成立的條件；若無法利用

22、基本不等式求解，則要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解由于此類問題一般要涉及到大量的計算，所以在解題時要注意計算的合理性，合理利用變形、換元等方法進(jìn)行求解21.已知函數(shù) （為常數(shù)）（1）若是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；（2）若存在兩個極值點，且，求的最大值【答案】() ；() 【解析】【分析】（1）根據(jù)在定義域上恒成立并結(jié)合二次函數(shù)的圖象求解即可（2）由（1）得極值點滿足，且在上是減函數(shù)，去掉絕對值后可得，分別求出后進(jìn)行化簡可得，然后利用換元法可求得所求的最大值【詳解】（1），設(shè)，是定義域上的單調(diào)函數(shù)，函數(shù)的圖象為開口向上的拋物線，在定義域上恒成立，即在上恒成立又二次函數(shù)圖象的對稱軸為，且圖象過定點，或，解得.實數(shù)的取值范圍為（2）由（1）知函數(shù)的兩個極值點滿足，不妨設(shè)，則在上是減函數(shù)，故，令，則，又，即，解得，故，設(shè)，則，在上為增函數(shù)，即所以的最大值為【點睛】解答本題時注意兩點：（1）函數(shù)單調(diào)遞增（減）等價于導(dǎo)函數(shù)大于（小于）等于零在給定區(qū)間上恒成立，解題時不要忘了等于零（2）證明含有兩個變量的不等式時，可考慮通過代換的方法將不等式轉(zhuǎn)為只含有一個變量