三角形四心(向量形式)

1、三角形“四心”向量形式的充要條件應(yīng)用在學(xué)習(xí)了平面向量一章的基礎(chǔ)內(nèi)容之后，學(xué)生們通過課堂例題以及課后習(xí)題陸續(xù)接觸了有關(guān)三角形重心、垂心、外心、內(nèi)心向量形式的充要條件?，F(xiàn)歸納總結(jié)如下:.知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1)O是ABC的重心 OAOB OC 0；2)S若O是ABC的重心，則PG 1(PA PB PC)BOC S AOC S AOBG為ABC的重心.O是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC1sS ABC3OA ;故 OA OB OC 0 ；若O是 ABC （非直角三角形）的垂心，則Sboc： Saoc： Saob tan A ：tan B : tan C故tan AOA tan BOB tan C

2、OC 03)。是ABC的外心2. 2|OA | |OB | |OC|(或OA OB2OC)。是ABC的外心貝U S BOC : S AOC : S AOBsin BOC：sin AOC ：sin AOB sin2A : sin2B : sin2c故 sin2AOA sin 2BOB sin2COC 04） O是內(nèi)心 ABC的充要條件是OA (-AB- AC) OB (|AB | ACBAOC|BA I引進(jìn)單位向量，使條件變得更簡(jiǎn)潔。如果記AB,BC,CA的單位向量為e1,e2,e3 ,則剛才O是ABC內(nèi)心的充要條件可以寫成：OA （e1 e3） OB(e1e2)OC (e2e3) 0。是 AB

3、C內(nèi)心的充要條件也可以是 aOA bOBcOC 0若 O是 ABC 的內(nèi)心，則 S BOC ： S AOC： S AOBsin BOB sin COC 0；故 aOA bOB cOC 0或 sin AOAP向量（0）所在直線過ABC的內(nèi)心；ABC的內(nèi)心（是 BAC的角平分線所在直線）；.范例（一）.將平面向量與三角形內(nèi)心結(jié)合考查例1 . O是平面上的一定點(diǎn),A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng) 一 AB點(diǎn)P滿足OP OA (鬻ABAC)網(wǎng)0,則P點(diǎn)的軌跡一定通過 ABC的（）（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心一 AB 一,一解析：因?yàn)楫?dāng)是向量AB的單位向量設(shè)AC方向上的單位向量分別為e1

4、和e2 , 又OP OA AP ,則原式可化為 AP(ei e2)由菱形的基本性質(zhì)知 AP平分 BAC ,那么在 ABC中，AP平分BAC,則知選B.AB點(diǎn)評(píng)：這道題給人的印象當(dāng)然是“新穎、陌生”,首先是什么沒見過！想想，一個(gè)非零向量除以AB它的模不就是單位向量此題所用的都必須是簡(jiǎn)單的基本知識(shí)，如向量的加減法、向量的基本定理、菱形的基本性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等，若十分熟悉，又能迅速地將它們遷移到一起，解這道題一點(diǎn)問題也沒有。（二）將平面向量與三角形垂心結(jié)合考查“垂心定理”例2.H是ABCf在平面內(nèi)任一點(diǎn)，HAHBHBHCHCHA點(diǎn)H是ABC勺垂心.由 HA HB HB HC HB (HC HA)

5、0 HB AC 0 HB AC ,同理HCAB,HABC.故H是ABC勺垂心.（反之亦然（證略）例3.（湖南）P是ABC所在平面上一點(diǎn)，若PAPBPBPCPCPA,則P是ABC的（D）A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心解析：由PAPBPB玩得PAPBPBPC0.即PB(PAPC)0,即PBCA0則PBCA,同理PABC,PCAB所以P為ABC的垂心.故選D.點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量有關(guān)運(yùn)算，及“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直”、三角形垂心定義等相關(guān)知識(shí).將三角形垂心的定義與平面向量有關(guān)運(yùn)算及“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直”等相關(guān)知識(shí)巧妙結(jié)合。（三）將平面向量與三角形重心結(jié)合考查“重心定理”G

6、A GB GC =0 點(diǎn)6是4 ABC勺重心.例4.G是ABCf在平面內(nèi)一點(diǎn)，證明作圖如右，圖中GB GC GE連結(jié)BE和CE貝U CE=GBBE=GC BGC由平行四邊形的中點(diǎn)，AD為BC邊上的中線.將GBGC GE 代入 GA GB GC=0,得GAEG =0 GA GE 2GD ,故 G是 ABC勺重心.然（證略）例5.P是 ABCf在平面內(nèi)任一點(diǎn).G是 ABC勺重心 1、PG -(PA PB PC).證明PG PA AGPBBG PC CG 3PG (AG BG CG) (PA PB PC).G是ABC勺重心GA GB' GC =0AGBG CG =0,即 3PG PA PB

7、PC由此可得-1 -PG (PA3PBPC）.（反之亦然（證略）ABC內(nèi)一點(diǎn),OA ob OC 0 ,則 OABC 的（A.內(nèi)心C.垂解析：由OAD.重心OB OC 0得OB OC OA,如圖以O(shè)BO8相鄰兩邊構(gòu)作平行四邊形，則ob oc od ,由平行四邊形性質(zhì)知 oE 1OD2OA 2 OE ,同理可證其它兩邊上的這個(gè)性質(zhì)，所以是重心，選D=點(diǎn)評(píng)：本題需要扎實(shí)的平面幾何知識(shí)，平行四邊形的對(duì)角線互相平分及三角形重心性質(zhì)：重心是三角形中線的內(nèi)分點(diǎn)，所分這比為2o本題在解題的過程中將平面向量的有關(guān)運(yùn)算與1平行四邊形的對(duì)角線互相平分及角形重心性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)巧妙結(jié)合。（四）.將平面向量與三角形外心結(jié)

8、卜考查，例7若O為ABC內(nèi)一點(diǎn)， OA 團(tuán) |oC，則O是ABC的（A.內(nèi)心C.垂心D.重心BoOP3 |=1 ,解析：由向量模的定義知O到ABC的三頂點(diǎn)距離相等。故O是ABC的外心，選點(diǎn)評(píng)：本題將平面向量模的定義與三角形外心的定義及性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)巧妙結(jié)合。（五）將平面向量與三角形四心結(jié)合考查例8.已知向量OP1，OP2,OP3滿足條件OP+OP2+OP3=0,|OP1|=|OP2|=|求證ARP2P3是正三角形.（數(shù)學(xué)第一冊(cè)（下），復(fù)習(xí)參考題五B組第6題）1證明由已知OPi+OP2=-OP3,兩邊平方得OPiOP2=-,1同理OP2-OP3=OP3-OP1=J-,|PiP2|=|P2P3|=

9、|P3P；尸石,從而P1RP3是正三角形.反之，若點(diǎn)O是正三角形RF2R的中心，則顯然有0Pl+OP2+OP3=0且|0Pl|=|OP2|=|OP3|.即0是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),OPi+OP2+OP3=0且|OPi|=|OP2|二|OP3|點(diǎn)0是正RF2P3的中心.。G H三點(diǎn)共線，且A(0,0)、B (xi,0)、例9.在ABC中，已知QGH分別是三角形的外心、重心、垂心。求證:QG:GH=12【證明】：以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。C(X2,y2),DE、F分別為ARBGAC的中點(diǎn)，則有:D(小)、J12 y 2x 2一；)、F( 22由題設(shè)可設(shè)Q(,y3)

10、、2H (X2,y4),G(丁爭(zhēng)AH4 (x2,y4)Jxi y22 , 2y3)2 x1,y2).BCAH?BC x2(x2x2 - 2 xi) y 4Xi)y2y40"QF aCT TQF ?ACY2/x2 x2( 2y3*2(x2 xi)qH2yJ22xi萬,y47)y2y3)qGxixi2y 23¥y2(- y3) 02(2x2 xi23x 2 (x 22y2xi)巧2y3)(2x 26xiy23*2僅2 xi)2x 2 xi (-2263x 2(X2xi)6y2i3(2x22xi2y23x 2(x22y2xi)當(dāng)23Qh=3QG ,故Q G H三點(diǎn)共線，且QG G

11、HM： 2【注】：本例如果用平面幾何知識(shí)、向量的代數(shù)運(yùn)算和幾何運(yùn)算處理，都相當(dāng)麻煩，而借用向量的坐標(biāo)形式，將向量的運(yùn)算完全化為代數(shù)運(yùn)算，這樣就將“形”和“數(shù)”緊密地結(jié)合在一起，從而，很多對(duì)稱、共線、共點(diǎn)、垂直等問題的證明，都可轉(zhuǎn)化為熟練的代數(shù)運(yùn)算的論證。例10.若O H分別是 ABC勺外心和垂心.求證 OH OA OB OC .證明 若 ABC勺垂心為H外心為 Q如圖.連BO并延長(zhǎng)交外接圓于 D,連結(jié)AD CD. AD AB , CD BC.又垂心為 H, AH BC , CH AB , .AH/ CD CH/ AD 四邊形AHC為平行四邊形， .AH DC do oc , OH Oa AH

12、Oa Ob Oc .著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置關(guān)系:(1)三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線一一“歐拉線”；(2)三角形的重心在“歐拉線”上，且為外一一垂連線的第一個(gè)三分點(diǎn)，即重心到垂心的距離是重心到外心距離的2倍?！皻W拉定理”的向量形式顯得特別簡(jiǎn)單，可簡(jiǎn)化成如下的向量問題例11.設(shè)。GH分別是銳角ABC勺外心、重心、垂心.求證OG1OH3證明按重心定理G是ABC勺重心'Og1(OAObOC)3按垂心定理OHOAOBOC1-一由此可得OG-OH.3補(bǔ)充練習(xí)1.已知ABC是平面上不共線的三點(diǎn)，O是三角形ABC勺重心，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=1(1OA+1OB

13、+2OC),則點(diǎn)P一定為三角形ABC勺(B)322邊中線的中點(diǎn)邊中線的三等分點(diǎn)(非重心)C.重心1. B取AB邊的中點(diǎn)M,則 OA OB 2OM ,由 OP11 一 1 =-(-OA +OB +2 OC )可得322邊的中點(diǎn)23OP3OM2MC,MP-MC,即點(diǎn)P為三角形中AB邊上的中線的一個(gè)三等分點(diǎn)，且點(diǎn)3P不過重心，故選B.2.在同一個(gè)平面上有ABC及一點(diǎn)O滿足關(guān)系式：就+B?右+CAC2+作,則。為ABC的A夕卜心B內(nèi)心C重心d垂心2.已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足:為ABC的A夕卜心B內(nèi)心C重心D垂心3.已知O是平面上一定點(diǎn),A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿

14、足:OPOA(ABAC),則P的軌跡一定通過ABC的A夕卜心B內(nèi)心C重心D垂心4.已知PA?PCABCP為三角形所在予面上的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)P滿足:PA?PBPB?PC0,則P點(diǎn)為三角形的A夕卜心B內(nèi)心C重心D垂心5.已知ABGP為三角形所在平面上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足：aPBc?P點(diǎn)為三角形的A夕卜心B內(nèi)心C重心垂心6.在三角形ABC中，動(dòng)點(diǎn)P滿足:_22CACB2AB?CP,P點(diǎn)軌跡一定通過4ABC的:A夕卜心B內(nèi)心C重心垂心7.已知非零向量A*AC藤足(ABAC7口AB+)-BC=0H|AB|AC|Ab|Ac1|AC|則ABE()A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形一一.AF解析：非零向量與滿足(-AB-|AB|AC|/C-)=0,即角A的平分線垂直于BC,ABAC,又1=2，AcosA|AB|ZA=-,所以ABE等邊三角形，選3D.8.ABC的外接圓的圓心為O,兩條邊上的高的交點(diǎn)為H,OHm(OAOBOC),則實(shí)數(shù)m=/9.點(diǎn)O是三角形AB