反比例函數(shù)的圖象(教學(xué)案例)

1、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)1、使學(xué)生能從簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題中抽象出反比例關(guān)系的函數(shù)解析式；2、會(huì)畫(huà)出反比例函數(shù)的圖象，并能結(jié)合圖象總結(jié)出反比例函數(shù)的性質(zhì)，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；.3、會(huì)用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式；5、通過(guò)觀察、歸納、總結(jié)反比例函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的科學(xué)精神；6、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.教學(xué)建議1、教材分析（1）知識(shí)結(jié)構(gòu)（2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析 本節(jié)的重點(diǎn)是結(jié)合圖象，總結(jié)出反比例函數(shù)的性質(zhì).學(xué)習(xí)了前面三個(gè)基本函數(shù)后，學(xué)生有了一些識(shí)圖的能力，并掌握了基本的研究方法.學(xué)生在經(jīng)歷了一個(gè)畫(huà)圖的過(guò)程后，可以通過(guò)觀察、分析、與同學(xué)的相互討論、交流中，

2、逐步形成對(duì)反比例函數(shù)的全面認(rèn)識(shí).可以培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，也是一個(gè)數(shù)學(xué)地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決問(wèn)題的過(guò)程.本節(jié)的另一個(gè)重點(diǎn)是用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，這種方法在求四種基本函數(shù)解析式中都已經(jīng)用到，本節(jié)課通過(guò)鞏固練習(xí)，可進(jìn)一步提高對(duì)待定系數(shù)法的認(rèn)識(shí).本節(jié)的難點(diǎn)是描點(diǎn)、畫(huà)圖.由于學(xué)生知識(shí)的限制，描點(diǎn)、畫(huà)圖不能對(duì)圖形有一個(gè)全面的把握.這樣，學(xué)生在描點(diǎn)畫(huà)圖時(shí)就會(huì)感到困難，無(wú)法估計(jì)出這個(gè)圖象到底是什么樣子，感到無(wú)從下手.因此，從解析式中可以進(jìn)行初步的分析，認(rèn)識(shí)到反比例函數(shù)的圖象分成兩支，以便初步認(rèn)識(shí)其圖象的大致變化趨勢(shì).1 / 272、教法建議數(shù)學(xué)教育的目的之一是幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世

3、界有著密切的聯(lián)系，而且數(shù)學(xué)的發(fā)展是一個(gè)充滿(mǎn)著觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類(lèi)比和猜測(cè)的探索過(guò)程，因此，學(xué)生在獲得知識(shí)的同時(shí)，也應(yīng)該養(yǎng)成尊重客觀事實(shí)的態(tài)度，勇于探索的精神以及獨(dú)立思考與人合作交流的習(xí)慣.具體安排如下： (1)從實(shí)例中抽象出數(shù)學(xué)模型小學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)反比例關(guān)系的知識(shí)，現(xiàn)在的物理、化學(xué)等學(xué)科中也有許多反比比例的實(shí)例.學(xué)生可以從比較簡(jiǎn)單的實(shí)例中，抽象出這類(lèi)函數(shù)的特點(diǎn)，形成反比例函數(shù)的概念. (2)畫(huà)出圖象，研究反比例函數(shù)的性質(zhì)可以創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生找出數(shù)與形的關(guān)系.如：k0時(shí)，x與y同號(hào)，圖象在一、三象限，k0時(shí)的情形，即k0時(shí)，雙曲線兩支各在第一和第三象限.從解析式中，也可以得出這個(gè)結(jié)論：xy=k，

4、即x與y同號(hào)，因此，圖象在第一、三象限. 的討論與此類(lèi)似. 抓住機(jī)會(huì)，說(shuō)明數(shù)與形的統(tǒng)一，也滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.體現(xiàn)了由特殊到一般的研究過(guò)程. （2）函數(shù) 的圖象，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；從圖象中可以看出，當(dāng)x從左向右變化時(shí)，圖象呈下坡趨勢(shì).從列表中也可以看出這樣的變化趨勢(shì).有理數(shù)除法說(shuō)明了同樣的道理，被除數(shù)一定時(shí)，若除數(shù)大于零，除數(shù)越大，商越??；若除數(shù)小于零，同樣是除數(shù)越大，商越小.由此可歸納出，當(dāng)k0時(shí)，函數(shù) 的圖象，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小. 同樣可以推出 的圖象的性質(zhì). （3）函數(shù) 的圖象不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且不與x軸、y軸交.從解析式中也可以看出， .如果x取值

5、越來(lái)越大時(shí)，y的值越來(lái)越小，趨近于零；如果x取負(fù)值且越來(lái)越小時(shí)，y的值也越來(lái)越趨近于零.因此，呈現(xiàn)的是雙曲線的樣子.同理，抽象出 圖象的性質(zhì). 函數(shù) 的圖象性質(zhì)的討論與次類(lèi)似.4、小結(jié)：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的概念及其圖象的性質(zhì).大家展開(kāi)了充分的討論，對(duì)函數(shù)的概念，函數(shù)的圖象的性質(zhì)有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí).數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要求我們要深刻地理解，找出事物間的普遍聯(lián)系和發(fā)展規(guī)律，能數(shù)學(xué)地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并能運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)，給以一定的解釋.即數(shù)學(xué)是世界的一個(gè)部分，同時(shí)又隱藏在世界中.5、布置作業(yè)教學(xué)設(shè)計(jì)示例2反比例函數(shù)及其圖像一、素質(zhì)教育目標(biāo)（一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)1使學(xué)生了解反比例函數(shù)的概念；2使學(xué)生能夠根據(jù)問(wèn)題中的條

6、件確定反比例函數(shù)的解析式；3使學(xué)生理解反比例函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)畫(huà)出它們的圖像，以及根據(jù)圖像指出函數(shù)值隨自變量的增加或減小而變化的情況；4會(huì)用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式.（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)1培養(yǎng)學(xué)生的作圖、觀察、分析、總結(jié)的能力；2向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的教學(xué)思想方法.（三）德育滲透點(diǎn)1向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)踐又反過(guò)來(lái)作用于實(shí)踐的觀點(diǎn)；2使學(xué)生體會(huì)事物是有規(guī)律地變化著的觀點(diǎn).（四）美育滲透點(diǎn)通過(guò)反比例函數(shù)圖像的研究，滲透反映其性質(zhì)的圖像的直觀形象美，激發(fā)學(xué)生的興趣，也培養(yǎng)學(xué)生積極探求知識(shí)的能力.二、學(xué)法引導(dǎo)教師采用類(lèi)比法、觀察法、練習(xí)法學(xué)生學(xué)習(xí)反比例函數(shù)要與學(xué)習(xí)其他函數(shù)一樣，要善于數(shù)形結(jié)合，由解析式

7、聯(lián)想到圖像的位置及其性質(zhì)，由圖像和性質(zhì)聯(lián)想比例系數(shù)k的符號(hào).三、重點(diǎn)難點(diǎn)疑點(diǎn)及解決辦法1教學(xué)重點(diǎn)：反比例的概念、圖像、性質(zhì)以及用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式.因?yàn)橐芯糠幢壤瘮?shù)就必須明確反比例函數(shù)的上述問(wèn)題.2教學(xué)難點(diǎn)：畫(huà)反比例函數(shù)的圖像.因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的圖像有兩個(gè)分支，而且這兩個(gè)分支的變化趨勢(shì)又不同，學(xué)生初次接觸，一定會(huì)感到困難.3教學(xué)疑點(diǎn)：（1）反比例函數(shù)為何與x軸，y軸無(wú)交點(diǎn)；（2）反比例函數(shù)的圖像只能說(shuō)在第一、三象限或第二、四象限，而不能說(shuō)經(jīng)過(guò)第幾象限，增減性也要說(shuō)明在第幾象限（或說(shuō)在它的每一個(gè)象限內(nèi)）.4解決辦法：（1） 中隱含條件是 或 ；（2）雙曲線的兩個(gè)分支是斷開(kāi)的，研究

8、函數(shù)的增減性時(shí)，要將兩個(gè)分支分別討論，不能一概而論.四、教學(xué)步驟（一）教學(xué)過(guò)程提問(wèn)：小學(xué)是否學(xué)過(guò)反比例關(guān)系？是如何敘述的？答：小學(xué)學(xué)過(guò)：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定，這兩種量就叫做反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系.看下面的實(shí)例：（出示幻燈）1 當(dāng)路程s一定時(shí)，時(shí)間t與速度v成反比例；2當(dāng)矩形面積S一定時(shí)，長(zhǎng)a與寬b成反比例；它們分別可以寫(xiě)成 （s是常數(shù)）， （S是常數(shù)）寫(xiě)在黑板上，用以得出反比例函數(shù)的概念：（板書(shū)）一般地，函數(shù) （k是常數(shù)， ）叫做反比例函數(shù).即在上面的例子中，當(dāng)路程s是常數(shù)時(shí)，時(shí)間t就是速度v的反比例函數(shù)，能否說(shuō)：速

9、度v是時(shí)間t的反比例函數(shù)呢？通過(guò)這個(gè)問(wèn)題，使學(xué)生進(jìn)一步理解反比例函數(shù)的概念，只要滿(mǎn)足 （k是常數(shù)， ）就可以因此可以說(shuō)速度v是時(shí)間t的反比例函數(shù)，因?yàn)?（s是常量）對(duì)第2個(gè)實(shí)例也一樣練習(xí)一：教材P129中1 口答P130 1根據(jù)前面學(xué)習(xí)特殊函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，研究完函數(shù)的概念，跟著要研究的是什么？答：圖像和性質(zhì)通過(guò)這個(gè)問(wèn)題，使學(xué)生對(duì)課本上給出的知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程有一個(gè)明確的認(rèn)識(shí)，以后學(xué)生要研究其他函數(shù)，也可以按照這種方式來(lái)研究下面，我們就來(lái)看一個(gè)例題：（出示幻燈）例1 畫(huà)出反比例函數(shù) 與 的圖像提問(wèn)：1畫(huà)函數(shù)圖像的關(guān)鍵問(wèn)題是什么？答：合理、正確地選值列表2在選值時(shí)，你認(rèn)為要注意什么問(wèn)題？答：（1）由

10、于函數(shù)圖像的特點(diǎn)還不清楚，多選幾個(gè)點(diǎn)較好；（2）不能選 ，因?yàn)?時(shí)函數(shù)無(wú)意義；（3）選整數(shù)較好計(jì)算和描點(diǎn)這個(gè)問(wèn)題中最核心的一點(diǎn)是關(guān)于 的問(wèn)題，提醒學(xué)生注意3你能不能自己完成這道題呢？學(xué)生在練習(xí)本上列表、描點(diǎn)、連線，教師在黑板上板演，到連線時(shí)可暫停，讓學(xué)生先連完線之后，找一名同學(xué)上黑板連線，然后就這名同學(xué)的連線加以評(píng)價(jià)、總結(jié)：注意：（1）一般地，反比例函數(shù) 的圖像由兩條曲線組成，叫做雙曲線；（2）這兩條曲線不相交；（3）這兩條曲線無(wú)限延伸，無(wú)限靠近x軸和y軸，但永不會(huì)與x軸和y軸相交關(guān)于注意（3）可問(wèn)學(xué)生：為什么圖像與x和y軸不相交？通過(guò)這個(gè)問(wèn)題既可加深學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)圖像的記憶，又可培養(yǎng)學(xué)生思

11、維的靈活性和深刻性再讓學(xué)生觀察黑板上的圖，提問(wèn)：1當(dāng) 時(shí)，雙曲線的兩個(gè)分支各在哪個(gè)象限？在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大怎樣變化？2當(dāng) 時(shí)，雙曲線的兩個(gè)分支各在哪個(gè)象限？在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大怎樣變化？這兩個(gè)問(wèn)題由學(xué)生討論總結(jié)之后回答，教師板書(shū)：對(duì)于雙曲線（1）當(dāng) ：（1）當(dāng) 時(shí)，雙曲線的兩分支位于一、三象限，y隨x的增大而減少；（2）當(dāng) 時(shí)，雙曲線的兩分支位于二、四象限，y隨x的增大而增大3反比例函數(shù)的這一性質(zhì)與正比例函數(shù)的性質(zhì)有何異同？通過(guò)這個(gè)問(wèn)題使學(xué)生能把學(xué)過(guò)的相關(guān)知識(shí)有機(jī)地串聯(lián)起來(lái)，便于記憶和應(yīng)用練習(xí)二：教材P129中2由學(xué)生在練習(xí)本上完成，教師巡回指導(dǎo).P130中2、3填在書(shū)上上面，我

12、們討論了反比例函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)，下面我們?cè)賮?lái)看一個(gè)不同類(lèi)型的例題：（出示幻燈）例2已知y與 成反比例，并且當(dāng) 時(shí)， ，求 時(shí)，y的值.用提問(wèn)的方式對(duì)此題加以分析：（1）y與 成反比例是什么含義？由學(xué)生討論這一問(wèn)題，最后歸結(jié)為根據(jù)反比例函數(shù)的概念，這句話說(shuō)明了： .（2）根據(jù)這個(gè)式子，能否求出當(dāng) 時(shí)，y的值？（3）要想求出y的值，必須先知道哪個(gè)量呢？（4）怎樣才能確定k的值？用什么條件？答：用待定系數(shù)法，把 時(shí) 代入 ，求出k的值.（5）你能否自己完成這道例題：由一名同學(xué)板演，其他同學(xué)在練習(xí)本上完成.例3 已知： ， 與x成正比例， 與x成反比例，當(dāng) 時(shí)， 時(shí)， ，求y與x的解析式.分析：

13、一定要先寫(xiě)出y與x的函數(shù)表達(dá)式 ，要用x分別把 ， 表示出來(lái)得 ，要注意 不能寫(xiě)成k， 解：設(shè) ， .由題意得 .（二）總結(jié)、擴(kuò)展教師提問(wèn)，學(xué)生思考回答：1什么是反比例函數(shù)？2反比例函數(shù)的圖像是什么樣的？3反比例函數(shù) 的性質(zhì)是什么？4命題方向及題型設(shè)置，反比例函數(shù)也是中考命題的主要考點(diǎn)，其圖像和性質(zhì)，以及其函數(shù)解析式的確定，常以填空題、選擇題出現(xiàn)，在低檔題中，近兩年各省、市的中考試卷中出現(xiàn)不少將反比例函數(shù)與一次函數(shù)、幾何知識(shí)、三角知識(shí)等綜合編擬的解答題，豐富了壓軸題的形式和內(nèi)容.五、布置作業(yè)1教材P130中4，5，62選做：P130中B1，2六、板書(shū)設(shè)計(jì)138反比例函數(shù)及其圖像引例：（1）例1

14、：例2：例3：（2）1反比例函數(shù)： 2反比例函數(shù)的性質(zhì) 典型例題例1、已知一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交，其中有一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-4，求這兩個(gè)函數(shù)的解析式解： 依題意，由兩個(gè)函數(shù)解析式得所以一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式分別為注意：這是關(guān)于一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合題，解本題的關(guān)鍵是要抓住兩圖象交點(diǎn)這個(gè)主要矛盾，它既在一次函數(shù)圖象上，又在反比例函數(shù)圖象上，從而轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組，問(wèn)題得以解決例2、 已知y=y1+y2，y1與x+1成正比例，y2與x2成反比例，并且x=-1時(shí)，y=1； 時(shí)， .求 時(shí)y的值.解方程組注意： 解本題的關(guān)鍵是正確理解什么叫y1與x+1成正比例，y2與x2成

15、反比例，即把x+1與x2看成兩個(gè)新的變量例3、已知反比例函數(shù) 的圖象和一次函數(shù) 的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(m，2)(1)求這個(gè)一次函數(shù)的解析式；(2)如果等腰梯形ABCD的頂點(diǎn)A、B在這個(gè)一次函數(shù)的圖象上，頂點(diǎn)C、D在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，兩底AD、BC與y軸平行，且A和B的橫坐標(biāo)分別為a和a+2，求a的值 解：（1）點(diǎn) 在函數(shù) 的圖象上，所以 ，P點(diǎn)坐標(biāo)為(6，2)因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y=kx-7的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(6，2)，所以 (2)因?yàn)辄c(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為a和a+2，由此可得a=-4或a=2經(jīng)檢驗(yàn)a=-4，a=2均為所求的值點(diǎn)評(píng) 本題是綜合考察學(xué)生能力，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想，點(diǎn)在曲線上則點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿(mǎn)足函

16、數(shù)方程另外要注意檢驗(yàn)返回頁(yè)首擴(kuò)展資料馬爾克廣場(chǎng)上的游戲在世界著名的水都威尼司斯，有個(gè)馬爾克廣場(chǎng).廣場(chǎng)的一端有一座寬82米的雄偉教堂.教堂的前面是一方開(kāi)闊地.這片開(kāi)闊地經(jīng)常吸引著四方游人到這里做一種奇特的游戲：把眼睛蒙上，然后從廣場(chǎng)的一端向另一端教堂走去，看誰(shuí)能到達(dá)教堂的正前面！奇怪的是，盡管這段距離只有175米，但卻沒(méi)有一名游客能幸運(yùn)地做到這一點(diǎn)！全都如下圖那般，走成了弧線，或左或右，偏斜到了一邊！類(lèi)似的情形也有很多，這與俗話說(shuō)的鬼打墻類(lèi)似.有許多人在沙漠或雪地里，由于迷失方向而在原地打圈子，這一切近乎玩笑般的遭遇，終于引起了科學(xué)家的注意.公元1896年，挪威生理學(xué)家古德貝對(duì)閉眼打轉(zhuǎn)的問(wèn)題進(jìn)行

17、深入的探討.他搜集了大量的事例后分析說(shuō)：這一切都是由于人自身兩條腿在作怪！長(zhǎng)年累月養(yǎng)成的習(xí)慣，使每個(gè)人一只腳伸出的步子長(zhǎng)一段微不足道的距離.而正是這一段很小的步差x，導(dǎo)致了這個(gè)人走出一個(gè)半徑為y的大圈子！現(xiàn)在我們將這個(gè)過(guò)程數(shù)學(xué)化，研究一下x與y之間的函數(shù)關(guān)系.假定某個(gè)兩腳踏線間相隔為d.很顯然，當(dāng)人在打圈子時(shí)，兩只腳實(shí)際上走出了兩個(gè)半徑相差為d的同心圓.設(shè)該人平均步長(zhǎng)為1.那么，一方面這個(gè)人外腳比內(nèi)腳多走路程 另一方面，這段路程又等于這個(gè)人走一圈的步數(shù)與步差的乘積，即： 對(duì)一般的人， 米， 米，代入得（單位米） 這就是所求的迷路人打圈子的半徑公式.是我們學(xué)過(guò)的反比例函數(shù)(圖象如下圖).今設(shè)迷路

18、人兩腳步差為 毫米，僅此微小的差異，就足以使他在大約三公里的范圍內(nèi)繞圈子！讓我們回到那個(gè)馬克爾廣場(chǎng)的游戲上來(lái).我們先計(jì)算一下，當(dāng)人們閉起眼睛，從廣場(chǎng)一端中央的M點(diǎn)，要想抵達(dá)教堂CD，最小的弧線半徑應(yīng)該是多少？如圖，注意到矩形ABCD邊BC=175（米）， （米）上述問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成幾何中的命題：已知 與 求 的半徑 的大小 這就說(shuō),游人要想成功,他所走弧線半徑必須不小于394米我們?cè)賮?lái)計(jì)算一下，要達(dá)到上述要求，游人的兩腳步差需要什么限制 這表明游人的兩只腳步差必須小于 毫米，否則就難以成功然而在閉眼的情況下兩腳這么小的步差一般人是達(dá)不到的，這就是在游戲中為什么沒(méi)有人能夠蒙上眼睛走到教堂前面的道理

19、返回頁(yè)首探究活動(dòng)已知：如圖，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，且與反比例函數(shù)的圖像交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D。 。（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m， 的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量m的取值范圍；（3）當(dāng) 的面積等于 時(shí)，試判斷過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線在x軸上截得的線段長(zhǎng)能否等于3。如果能，求此時(shí)拋物線的解析式；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：（1）過(guò)點(diǎn)B作 軸于點(diǎn)H。 在Rt 中， 由勾股定理，得 又 ， 點(diǎn)B（3，1）。 設(shè)反比例函數(shù)的解析式為 。 點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖像上， 。 反比例函數(shù)的解析式為 。（2）設(shè)直線AB的解析式為 。 由點(diǎn)A在第一象限，得 。 又由點(diǎn)A在函數(shù) 的圖像上，可求得點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為 。 點(diǎn)B（3，1），點(diǎn) ， 解關(guān)于 、 的方程組，得 直線AB的解析式為 。 令 。 求得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為 。 過(guò)點(diǎn)A作 軸于點(diǎn)G 由已知，直線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限， ，即 。 由此得 。 即 。（3）過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線在x軸上截得的線段長(zhǎng)不能等于3。證明如下： 。 由 ， 得 解得 。 經(jīng)