2005年考研數(shù)學(xué)一真題(含解析)

1、fpg2005年考研數(shù)學(xué)一真題一、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1）曲線 斜漸近線方程為 _.（2）微分方程滿足解為. _.（3）設(shè)函數(shù)，單位向量，則=._.（4）設(shè)是由錐面與半球面圍成空間區(qū)域，是整個邊界外側(cè)，則_.（5）設(shè)均為3維列向量，記矩陣 ，如果，那么 .（6）從數(shù)1,2,3,4中任取一個數(shù)，記為X, 再從中任取一個數(shù)，記為Y, 則=_.二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分. 每小題給出四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前字母填在題后括號內(nèi)）（7）設(shè)函數(shù)，則f(x)在內(nèi)(A) 處處可導(dǎo). (B) 恰有一個不可導(dǎo)點(diǎn).(C)

2、恰有兩個不可導(dǎo)點(diǎn). (D) 至少有三個不可導(dǎo)點(diǎn). （8）設(shè)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)一個原函數(shù)，表示“M充分必要條件是N”，則必有(A) F(x)是偶函數(shù)f(x)是奇函數(shù). （B） F(x)是奇函數(shù)f(x)是偶函數(shù).(C) F(x)是周期函數(shù)f(x)是周期函數(shù). (D) F(x)是單調(diào)函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù). （9）設(shè)函數(shù), 其中函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)， 具有一階導(dǎo)數(shù)，則必有(A) . （B） .(C) . (D) . （10）設(shè)有三元方程，根據(jù)隱函數(shù)存在定理，存在點(diǎn)(0,1,1)一個鄰域，在此鄰域內(nèi)該方程(A) 只能確定一個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)z=z(x,y). (B) 可確定兩個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)隱

3、函數(shù)x=x(y,z)和z=z(x,y). (C) 可確定兩個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)y=y(x,z)和z=z(x,y). (D) 可確定兩個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)x=x(y,z)和y=y(x,z). （11）設(shè)是矩陣A兩個不同特征值，對應(yīng)特征向量分別為，則，線性無關(guān)充分必要條件是(A) . (B) . (C) . (D) . （12）設(shè)A為n（）階可逆矩陣，交換A第1行與第2行得矩陣B, 分別為A,B伴隨矩陣，則(A) 交換第1列與第2列得. (B) 交換第1行與第2行得. (C) 交換第1列與第2列得. (D) 交換第1行與第2行得. （13）設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y) 概率分布為 X Y 0 1

4、0 0.4 a 1 b 0.1已知隨機(jī)事件與相互獨(dú)立，則(A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1(C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 （14）設(shè)為來自總體N(0,1)簡單隨機(jī)樣本，為樣本均值，為樣本方差，則(A) (B) (C) (D) 三 、解答題（本題共9小題，滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）（15）（本題滿分11分）設(shè)，表示不超過最大整數(shù). 計算二重積分（16）（本題滿分12分）求冪級數(shù)收斂區(qū)間與和函數(shù)f(x).（17）（本題滿分11分） 如圖，曲線C方程為y=f(x)，點(diǎn)(3,2)是它一個拐點(diǎn)，直線與分別是曲

5、線C在點(diǎn)(0,0)與(3,2)處切線，其交點(diǎn)為(2,4). 設(shè)函數(shù)f(x)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計算定積分（18）（本題滿分12分）已知函數(shù)f(x)在0，1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0,f(1)=1. 證明：（I）存在 使得；（II）存在兩個不同點(diǎn)，使得（19）（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點(diǎn)任意分段光滑簡單閉曲線L上，曲線積分值恒為同一常數(shù).（I）證明：對右半平面x>0內(nèi)任意分段光滑簡單閉曲線C，有；（II）求函數(shù)表達(dá)式.（20）（本題滿分9分）已知二次型秩為2.（I） 求a值；（II） 求正交變換，把化成標(biāo)準(zhǔn)形；（III） 求方程=0解.（21）（本題滿分9

6、分）已知3階矩陣A第一行是不全為零，矩陣（k為常數(shù)），且AB=O, 求線性方程組Ax=0通解.（22）（本題滿分9分）設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)概率密度為 求：（I） (X,Y)邊緣概率密度； （II）概率密度（23）（本題滿分9分）設(shè)為來自總體N(0,1)簡單隨機(jī)樣本，為樣本均值，記求：（I） 方差； （II）與協(xié)方差2005年考研數(shù)學(xué)一真題解析一、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1）曲線 斜漸近線方程為 【分析】 本題屬基本題型，直接用斜漸近線方程公式進(jìn)行計算即可.【詳解】 因?yàn)閍=， ，于是所求斜漸近線方程為（2）微分方程滿足解為.【分析】直接套用一

7、階線性微分方程通解公式： ，再由初始條件確定任意常數(shù)即可.【詳解】 原方程等價為，于是通解為 =，由得C=0，故所求解為（3）設(shè)函數(shù)，單位向量，則=.【分析】 函數(shù)u(x,y,z)沿單位向量方向?qū)?shù)為： 因此，本題直接用上述公式即可.【詳解】 因?yàn)?，于是所求方向?qū)?shù)為 =（4）設(shè)是由錐面與半球面圍成空間區(qū)域，是整個邊界外側(cè)，則.【分析】本題是封閉曲面且取外側(cè)，自然想到用高斯公式轉(zhuǎn)化為三重積分，再用球面（或柱面）坐標(biāo)進(jìn)行計算即可.【詳解】 =（5）設(shè)均為3維列向量，記矩陣 ，如果，那么 2 .【分析】 將B寫成用A右乘另一矩陣形式，再用方陣相乘行列式性質(zhì)進(jìn)行計算即可.【詳解】 由題設(shè)，有 =，

8、于是有 （6）從數(shù)1,2,3,4中任取一個數(shù)，記為X, 再從中任取一個數(shù)，記為Y, 則= .【分析】 本題涉及到兩次隨機(jī)試驗(yàn)，想到用全概率公式, 且第一次試驗(yàn)各種兩兩互不相容結(jié)果即為完備事件組或樣本空間劃分.【詳解】 =+ + =二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分. 每小題給出四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前字母填在題后括號內(nèi)）（7）設(shè)函數(shù)，則f(x)在內(nèi)(A) 處處可導(dǎo). (B) 恰有一個不可導(dǎo)點(diǎn).(C) 恰有兩個不可導(dǎo)點(diǎn). (D) 至少有三個不可導(dǎo)點(diǎn). C 【分析】 先求出f(x)表達(dá)式，再討論其可導(dǎo)情形.【詳解】 當(dāng)時，； 當(dāng)時，；當(dāng)時，即 可見f(x)僅在x=

9、時不可導(dǎo)，故應(yīng)選(C).（8）設(shè)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)一個原函數(shù)，表示“M充分必要條件是N”，則必有(B) F(x)是偶函數(shù)f(x)是奇函數(shù). （B） F(x)是奇函數(shù)f(x)是偶函數(shù).(C) F(x)是周期函數(shù)f(x)是周期函數(shù). (D) F(x)是單調(diào)函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù). A 【分析】 本題可直接推證，但最簡便方法還是通過反例用排除法找到答案.【詳解】 方法一：任一原函數(shù)可表示為，且當(dāng)F(x)為偶函數(shù)時，有，于是，即 ，也即，可見f(x)為奇函數(shù)；反過來，若f(x)為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，從而為偶函數(shù)，可見(A)為正確選項(xiàng). 方法二：令f(x)=1, 則取F(x)=x+1, 排除(B

10、)、(C); 令f(x)=x, 則取F(x)=, 排除(D); 故應(yīng)選(A).（9）設(shè)函數(shù), 其中函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)， 具有一階導(dǎo)數(shù)，則必有 (A) . （B） .(C) . (D) . B 【分析】 先分別求出、，再比較答案即可.【詳解】 因?yàn)椋?，于是 ， ， ，可見有，應(yīng)選(B).（10）設(shè)有三元方程，根據(jù)隱函數(shù)存在定理，存在點(diǎn)(0,1,1)一個鄰域，在此鄰域內(nèi)該方程 (E) 只能確定一個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)z=z(x,y). (F) 可確定兩個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)x=x(y,z)和z=z(x,y). (G) 可確定兩個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)y=y(x,z)和z=z(x,y). (H) 可確

11、定兩個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)x=x(y,z)和y=y(x,z). D 【分析】 本題考查隱函數(shù)存在定理，只需令F(x,y,z)=, 分別求出三個偏導(dǎo)數(shù)，再考慮在點(diǎn)(0,1,1)處哪個偏導(dǎo)數(shù)不為0，則可確定相應(yīng)隱函數(shù).【詳解】 令F(x,y,z)=, 則 ， ，且 ，. 由此可確定相應(yīng)隱函數(shù)x=x(y,z)和y=y(x,z). 故應(yīng)選(D).（11）設(shè)是矩陣A兩個不同特征值，對應(yīng)特征向量分別為，則，線性無關(guān)充分必要條件是(A) . (B) . (C) . (D) . B 【分析】 討論一組抽象向量線性無關(guān)性，可用定義或轉(zhuǎn)化為求其秩即可.【詳解】 方法一：令 ，則 ， .由于線性無關(guān)，于是有 當(dāng)時，

12、顯然有，此時，線性無關(guān)；反過來，若，線性無關(guān)，則必然有(,否則，與=線性相關(guān))，故應(yīng)選(B).方法二： 由于 ，可見，線性無關(guān)充要條件是故應(yīng)選(B).（12）設(shè)A為n（）階可逆矩陣，交換A第1行與第2行得矩陣B, 分別為A,B伴隨矩陣，則(B) 交換第1列與第2列得. (B) 交換第1行與第2行得. (C) 交換第1列與第2列得. (D) 交換第1行與第2行得. C 【分析】 本題考查初等變換概念與初等矩陣性質(zhì)，只需利用初等變換與初等矩陣關(guān)系以及伴隨矩陣性質(zhì)進(jìn)行分析即可.【詳解】 由題設(shè)，存在初等矩陣（交換n階單位矩陣第1行與第2行所得），使得 ，于是 ，即 ,可見應(yīng)選(C).（13）設(shè)二維隨

13、機(jī)變量(X,Y) 概率分布為 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知隨機(jī)事件與相互獨(dú)立，則(B) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1(C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 B 【分析】 首先所有概率求和為1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件獨(dú)立性又可得一等式，由此可確定a,b取值.【詳解】 由題設(shè)，知 a+b=0.5又事件與相互獨(dú)立，于是有 ，即 a=, 由此可解得 a=0.4, b=0.1, 故應(yīng)選(B).（14）設(shè)為來自總體N(0,1)簡單隨機(jī)樣本，為樣本均值，為樣本方差，則(B) (B) (C) (D) D 【分析】 利

14、用正態(tài)總體抽樣分布性質(zhì)和分布、t分布及F分布定義進(jìn)行討論即可.【詳解】 由正態(tài)總體抽樣分布性質(zhì)知，可排除(A); 又，可排除(C); 而，不能斷定(B)是正確選項(xiàng). 因?yàn)?，且相互獨(dú)立，于是 故應(yīng)選(D).三 、解答題（本題共9小題，滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）（15）（本題滿分11分）設(shè)，表示不超過最大整數(shù). 計算二重積分 【分析】 首先應(yīng)設(shè)法去掉取整函數(shù)符號，為此將積分區(qū)域分為兩部分即可.【詳解】 令 ， .則 = =（16）（本題滿分12分）求冪級數(shù)收斂區(qū)間與和函數(shù)f(x). 【分析】 先求收斂半徑，進(jìn)而可確定收斂區(qū)間. 而和函數(shù)可利用逐項(xiàng)求導(dǎo)得到.【詳解】 因

15、為，所以當(dāng)時，原級數(shù)絕對收斂，當(dāng)時，原級數(shù)發(fā)散，因此原級數(shù)收斂半徑為1，收斂區(qū)間為（1,1）記則由于所以又從而（17）（本題滿分11分） 如圖，曲線C方程為y=f(x)，點(diǎn)(3,2)是它一個拐點(diǎn)，直線與分別是曲線C在點(diǎn)(0,0)與(3,2)處切線，其交點(diǎn)為(2,4). 設(shè)函數(shù)f(x)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計算定積分【分析】 題設(shè)圖形相當(dāng)于已知f(x)在x=0函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值，在x=3處函數(shù)值及一階、二階導(dǎo)數(shù)值.【詳解】 由題設(shè)圖形知，f(0)=0, ; f(3)=2, 由分部積分，知 = =（18）（本題滿分12分）已知函數(shù)f(x)在0，1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0,f(1)=1.

16、證明：（I）存在 使得；（II）存在兩個不同點(diǎn)，使得【分析】 第一部分顯然用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理；第二部分為雙介值問題，可考慮用拉格朗日中值定理，但應(yīng)注意利用第一部分已得結(jié)論.【詳解】 （I） 令，則F(x)在0，1上連續(xù)，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在 使得，即.（II） 在和上對f(x)分別應(yīng)用拉格朗日中值定理，知存在兩個不同點(diǎn)，使得，于是 （19）（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點(diǎn)任意分段光滑簡單閉曲線L上，曲線積分值恒為同一常數(shù).（I）證明：對右半平面x>0內(nèi)任意分段光滑簡單閉曲線C，有；（II）求函數(shù)表達(dá)式.【分析

17、】 證明（I）關(guān)鍵是如何將封閉曲線C與圍繞原點(diǎn)任意分段光滑簡單閉曲線相聯(lián)系，這可利用曲線積分可加性將C進(jìn)行分解討論；而（II）中求表達(dá)式，顯然應(yīng)用積分與路徑無關(guān)即可. Y【詳解】 （I） l2 C o X l3如圖，將C分解為：，另作一條曲線圍繞原點(diǎn)且與C相接，則 .（II） 設(shè)，在單連通區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，由（）知，曲線積分在該區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān)，故當(dāng)時，總有. 比較、兩式右端，得由得，將代入得所以，從而（20）（本題滿分9分）已知二次型秩為2.（I） 求a值；（II） 求正交變換，把化成標(biāo)準(zhǔn)形；（III） 求方程=0解.【分析】 （I）根據(jù)二次型秩為2，可知對應(yīng)矩陣行列式為0，從而可求

18、a值；（II）是常規(guī)問題，先求出特征值、特征向量，再正交化、單位化即可找到所需正交變換； （III）利用第二步結(jié)果，通過標(biāo)準(zhǔn)形求解即可.【詳解】 （I） 二次型對應(yīng)矩陣為 ，由二次型秩為2，知 ，得a=0.（II） 這里， 可求出其特征值為.解 ，得特征向量為：，解 ，得特征向量為：由于已經(jīng)正交，直接將，單位化，得：令，即為所求正交變換矩陣，由x=Qy，可化原二次型為標(biāo)準(zhǔn)形：=（III） 由=0，得（k為任意常數(shù)）.從而所求解為：x=Qy=，其中c為任意常數(shù).（21）（本題滿分9分）已知3階矩陣A第一行是不全為零，矩陣（k為常數(shù)），且AB=O, 求線性方程組Ax=0通解.【分析】 AB=O, 相當(dāng)于告之B每一列均為Ax=0解，關(guān)鍵問題是Ax=0基礎(chǔ)解系所含解向量個數(shù)為多少，而這又轉(zhuǎn)