解的延拓解對初值和參數(shù)連續(xù)性定理可微性定理

1、3.2 一階微分方程解的延拓和解對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性定理(Extension of solution and continuous dependence of solution with respect to initial value or parameter of ODE )教學(xué)內(nèi)容 1. 介紹Picard定理的證明過程; 2.介紹微分方程初值問題解的延拓定理; 3. 介紹微分方程解對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性定理. 教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn)是知道并會運(yùn)用微分方程初值問題的解的存在唯一性定理、知道解最大存在區(qū)間的特點(diǎn)以及解對初值和參數(shù)連續(xù)性定理?xiàng)l件和結(jié)論，難點(diǎn)是如何引入了解定理的證明思路和過程 教

2、學(xué)方法 自學(xué)1、2、3；講授4、5課堂練習(xí) 考核目標(biāo) 1. 知道Picard定理的證明思路; 2. 知道初值問題解的最大存在區(qū)間的特點(diǎn); 3. 知道微分方程初值問題解對初值和參數(shù)連續(xù)依賴性和可微性定理. 1. Picard定理的表述（見上次課講義）與證明：（1） 將初值問題轉(zhuǎn)化為積分方程解的問題：， 并說明兩方程為等解方程.（2） 構(gòu)造函數(shù)集合，其中. 構(gòu)造映射，驗(yàn)證且.（3） 構(gòu)造函數(shù)列，其中，驗(yàn)證在連續(xù)且一致收斂，記表示的極限函數(shù). （4） 驗(yàn)證函數(shù)列一致收斂，由求積分和極限交換次序定理知，為積分方程的一個(gè)連續(xù)解. （5） 運(yùn)用Gronwall定理證明積分方程的解是唯一的.2. 注解：（1

3、）兩個(gè)函數(shù)之間的距離如何刻畫？ 定義，從圖像來看這樣刻畫是合理的！（2） Picard函數(shù)列與精確解的誤差估計(jì)：.（3） 柯西定理及其特殊情形，線性方程解的存在唯一性的條件. （4） 一階隱方程解的存在唯一性定理（參見教材P86定理2）3. 微分方程初值問題的Picard近似解計(jì)算和誤差估計(jì)例42. 方程定義在矩形域，試?yán)媒獾拇嬖谖ㄒ恍远ɡ泶_定經(jīng)過(0, 0)的解的存在區(qū)間，并求出在此區(qū)間上與精確解誤差不超過0.05的近似解的表達(dá)式. （參見教材P87例題1）作業(yè)35. 教材P88，習(xí)題3，習(xí)題10. 3. 解的延拓定理（1） 問題表述： 由解的存在性定理知，的解為至少在上存在，那么上述解函

4、數(shù)最大的存在區(qū)間是什么呢？ （2） 理解教材P90，圖(3.2)，知道飽和解.（3） 解的延拓定理及其參見教材P91和P92. 考察初值問題，其中在開區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且在G內(nèi)對y滿足局部的Lipschitz條件，設(shè)位于G內(nèi)一點(diǎn)出發(fā)的解的最大存在區(qū)間為，則具有如下特征：當(dāng)，趨于G的邊界；當(dāng)，趨于G的邊界. 特別地，若G=，且方程的任一解都有界，則方程任一解的最大存在區(qū)間為. 例43. （1）討論方程分別通過點(diǎn)的解的最大存在區(qū)間.（2） 討論方程分別通過點(diǎn)的解的最大存在區(qū)間. （3） 討論方程過點(diǎn)的解最大存在區(qū)間. 解：（1）參見教材P92例題1.(2) 兩個(gè)解分別為和. (3) 右端函數(shù)的存在域?yàn)?

5、 方程的通解為過點(diǎn)的解為，該解向左可以延伸到，向右延伸到；但注意到，因此，該解向右可以延伸到. 作業(yè)36. （1）考察，若在整個(gè)Otx平面上有定義，連續(xù)且有界，同時(shí)對變量x存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則方程的任一解的最大存在區(qū)間為. （2） 討論方程和方程解的最大存在區(qū)間. 4. 微分方程解對初值的連續(xù)性和可微性定理（1）問題表述：由解的存在性定理知，的解為至少在上存在，為了表示解與初值和參數(shù)相關(guān)，將上述解函數(shù)記為. 問解函數(shù)是否對變量連續(xù)，是否可導(dǎo)，以及導(dǎo)函數(shù)例如的表達(dá)式？ 考察一個(gè)具體的例子：的解為，這就是一個(gè)關(guān)于變量的多元函數(shù). （2） 回答：教材P95 定理，P99定理，P100定理. （3）

6、 形式推導(dǎo)出，滿足的方程和表達(dá)式. （一）、，對上面兩式兩邊關(guān)于求導(dǎo)得到，求解上述方程初值問題得到，. （二）、，對上面兩式兩邊關(guān)于求導(dǎo)得到，說明第二式：，關(guān)于求導(dǎo)得到. 求解上述方程初值問題得到，. 例44. 假設(shè)函數(shù)為區(qū)間上連續(xù)函數(shù)，為線性方程的解，. 試求(1) ; (2) 用常數(shù)變易公式求出方程的解函數(shù)再通過直接求導(dǎo)法來求出. 解：（1）由公式有.（2）由常數(shù)變易公式得到，. 再由初值條件確定出. 因此，. ； ；. 作業(yè)37. 給定方程，試求在時(shí)的表達(dá)式. 附錄：下面是贈送的年度工作總結(jié)，不需要的朋友可以下載后編輯刪除！歡迎再度光顧XXXX年度工作總結(jié)尊敬的各位領(lǐng)導(dǎo)、同事們：XXXX

7、就快結(jié)束，回首XXXX年的工作，有工作成功的喜悅，有與同事協(xié)同攻關(guān)的艱辛，也有遇到困難和挫折時(shí)惆悵。不知不覺中緊張而有序的一年就要過去了，一年以來，在公司領(lǐng)導(dǎo)的悉心關(guān)懷與指導(dǎo)下，在同事們的支持和幫助下，通過自身的努力，各方面都取得了一定進(jìn)步，較好的完成了本職工作。為以后更好的工作，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，吸取教訓(xùn)，現(xiàn)將工作情況作簡要總結(jié)。一要不斷加強(qiáng)學(xué)習(xí)，提高自身綜合素質(zhì)。具有良好綜合素質(zhì)是做好本職工作的前提和條件。一年以來始終把學(xué)習(xí)放在重要位置，努力在提高自身綜合素質(zhì)上下功夫。不斷學(xué)習(xí)專業(yè)技能，向周圍工作經(jīng)驗(yàn)豐富的同事學(xué)習(xí)，用知識充實(shí)自己，擴(kuò)大知識面，努力提高自身綜合素質(zhì)。二做到盡心盡力，嚴(yán)格履行自己的崗

8、位職責(zé)。樹立公司現(xiàn)象，使客戶對公司產(chǎn)品的滿意度最大化，做好技術(shù)服務(wù)工作，同時(shí)也是對公司產(chǎn)品宣傳。以及對公司產(chǎn)品性能的收集，以便作出及時(shí)改進(jìn)，使產(chǎn)品更好的滿足現(xiàn)場的使用要求。三要學(xué)會善于溝通交流，加強(qiáng)協(xié)助協(xié)調(diào)?，F(xiàn)場技術(shù)服務(wù)人員不僅要有較強(qiáng)的專業(yè)技術(shù)，還應(yīng)該具有良好的溝通交流能力，一種產(chǎn)品很多時(shí)候是由于操作不當(dāng)才出現(xiàn)問題，而往往不是客戶反映的質(zhì)量不行，所以這個(gè)時(shí)候就需要我們找出癥結(jié)所在，和客戶進(jìn)行交流，規(guī)范操作，從而避免客戶對產(chǎn)品的不信任乃至公司形象的損害。在過去的工作中得到了一些體會，在工作中心態(tài)很重要，工作要有激情，保持陽光的微笑，可以拉近人與人之間的距離，便于和客戶溝通。在日常的工作中做到較好跟客戶溝通，做到令客戶滿意，每次優(yōu)秀的技術(shù)服務(wù)，代表了客戶對本公司產(chǎn)品多了一份了解和信任。四要繼續(xù)學(xué)習(xí)專業(yè)知識，做到實(shí)際掌握，熟練操作。一年來，通過不斷學(xué)習(xí)和摸索，學(xué)習(xí)了氣體的產(chǎn)生、收集及方法，逐漸熟悉和掌握了本公司推出的燃?xì)鈾C(jī)的工作原理、操作方法。在部門領(lǐng)導(dǎo)和同事的幫助下，熟悉并掌握了公司推出的科邁控制系統(tǒng)的原理、調(diào)試方法，并且到武漢陳家沖垃圾電廠對燃?xì)鈾C(jī)控制系統(tǒng)改造，學(xué)習(xí)調(diào)試，積累了一些經(jīng)驗(yàn).總之，一年來，干了一些工作，也取得了一些成績，但成績只能代表過去，工作中也存在著一些不足，不能達(dá)到更高要求。在今后的工作中，