隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布專題復(共22頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布(專題復習)適用學科高中數(shù)學適用年級高中三年級適用區(qū)域通用課時時長（分鐘）60知識點1離散型隨機變量的均值與方差；2均值與方差的性質(zhì)；3兩點分布與二項分布的均值、方差；4正態(tài)分布教學目標1理解取有限個值的離散型隨機變量均值、方差的概念，能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題2利用實際問題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義教學重點離散型隨機變量的均值或期望的概念；正態(tài)分布曲線的性質(zhì)、標準正態(tài)曲線N(0，1) 。教學難點根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出均值或期望；通過正態(tài)分布的圖形特征，歸納正態(tài)曲線教學

2、過程一、 課堂導入“離散型隨機變量的分步列，均值和方差”在“排列與組合”知識的延伸，在本講的學習中，同學們將通過具體實例理解隨機變量及其分布列、均值和方差的概念，認識隨機變量及其分布對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性要求同學們會用隨機變量表達簡單的隨機事件，會用分布列來計算這類事件的概率，計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題在高考中，這部分知識通常有一道解答題，占1214分左右，主要考查學生的邏輯推理能力和運算能力，凸顯數(shù)學的應用價值二、 復習預習1判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)隨機變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機變量，它不確定()(2)隨機變量

3、的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離變量平均程度越小()(3)正態(tài)分布中的參數(shù)和完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)是正態(tài)分布的期望，是正態(tài)分布的標準差 ()(4)一個隨機變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布()2設隨機變量的分布列為P(k)(k2,4,6,8,10)，則D()等于()A5 B8 C10 D163設隨機變量服從正態(tài)分布N(3,4)，若P(<2a3)P(>a2)，則a等于()A3 B. C5 D.4有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件數(shù)，則D(X

4、)_.5在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分如果某運動員罰球命中的概率為0.7，那么他罰球1次的得分X的均值是_附：1. 2. B 3. D 4. 5. 0.7三、 知識講解考點1離散型隨機變量的均值與方差若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值稱E(X)x1p1x2p2xipixnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平(2)方差稱D(X) (xiE(X)2pi為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術平方根為隨機變量X的標準差考點2均值與方差的性質(zhì)(1) E(aXb)aE(X)b.(2

5、)D(aXb)a2D(X)(a，b為常數(shù))考點3兩點分布與二項分布的均值、方差(1) 若X服從兩點分布，則E(X)_p_，D(X)p(1p)(2)若XB(n，p)，則E(X)_np_，D(X)np(1p)考點4正態(tài)分布(1) 正態(tài)曲線：函數(shù)，(x)e，x(，)，其中和為參數(shù)(>0，R)我們稱函數(shù)、(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線(2)正態(tài)曲線的性質(zhì)：曲線位于x軸上方，與x軸不相交；曲線是單峰的，它關于直線x對稱；曲線在x處達到峰值；曲線與x軸之間的面積為_1_；當一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著_的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；當一定時，曲線的形狀由確定，_越小_，曲線越“

6、瘦高”，表示總體的分布越集中；_越大_，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示(3)正態(tài)分布的定義及表示如果對于任何實數(shù)a，b (a<b)，隨機變量X滿足P(a<Xb)，(x)dx，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記作XN(，2)正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值P(<X)0.682_6；P(2<X2)0.954_4；P(3<X3)0.997_4.四、 例題精析考點一 離散型隨機變量的均值、方差例1 (2013·浙江)設袋子中裝有a個紅球，b個黃球，c個藍球，且規(guī)定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分，取出一個藍球得3分(1)當a3，b2，c

7、1時，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機會均等)2個球，記隨機變量為取出此2球所得分數(shù)之和，求的分布列；(2)從該袋子中任取(每球取到的機會均等)1個球，記隨機變量為取出此球所得分數(shù)若E()，D()，求abc.【規(guī)范解答】(1)由題意得2,3,4,5,6.故P(2)，P(3)，P(4)，P(5)，P(6).所以的分布列為23456P(2)由題意知的分布列為123P所以E()，D()2·2·2·.化簡得解得a3c，b2c，故abc321.【總結與反思】(1)求離散型隨機變量的均值與方差關鍵是確定隨機變量的所有可能值，寫出隨機變量的分布列，正確運用均值、方差公式進

8、行計算(2)注意性質(zhì)的應用：若隨機變量X的期望為E(X)，則對應隨機變量aXb的期望是aE(X)b，方差為a2D(X)考點二 二項分布的均值、方差例2 (2012·四川)某居民小區(qū)有兩個相互獨立的安全防范系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng))A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為和p.(1)若在任意時刻至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，求p的值；(2)設系統(tǒng)A在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機變量，求的分布列及數(shù)學期望E()【規(guī)范解答】(1)設“至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C，那么1P()1·p，解得p.(2)由題意，得P(0)C3，P(1)C2×，P(2)

9、C××2，P(3)C3.所以，隨機變量的分布列為0123P故隨機變量的數(shù)學期望E()0×1×2×3×.(或B(3，)，E()3×.)【總結與反思】求隨機變量的期望與方差時，可首先分析是否服從二項分布，如果B(n，p)，則用公式E()np；D()np(1p)求解，可大大減少計算量考點三 正態(tài)分布的應用例3在某次大型考試中，某班同學的成績服從正態(tài)分布N(80,52)，現(xiàn)已知該班同學中成績在8085分的有17人試計算該班成績在90分以上的同學有多少人【規(guī)范解答】依題意，由8085分的同學的人數(shù)和所占百分比求出該班同學的總數(shù)，再求9

10、0分以上同學的人數(shù)成績服從正態(tài)分布N(80,52)，80，5，75，85.于是成績在(75,85內(nèi)的同學占全班同學的68.26%.由正態(tài)曲線的對稱性知，成績在(80,85內(nèi)的同學占全班同學的×68.26%34.13%.設該班有x名同學，則x×34.13%17，解得x50.又2801070，2801090，成績在(70,90內(nèi)的同學占全班同學的95.44%.成績在(80,90內(nèi)的同學占全班同學的47.72%.成績在90分以上的同學占全班同學的50%47.72%2.28%.即有50×2.28%1(人)，即成績在90分以上的同學僅有1人【總結與反思】答此類題目關鍵是利用

11、正態(tài)曲線的對稱性表示出所給區(qū)間的概率利用對稱性轉(zhuǎn)化區(qū)間時，要注意正態(tài)曲線的對稱軸是x，只有在標準正態(tài)分布下對稱軸才為x0.考點四 離散型隨機變量的均值與方差問題例4甲袋和乙袋中都裝有大小相同的紅球和白球，已知甲袋中共有m個球，乙袋中共有2m個球，從甲袋中摸出1個球為紅球的概率為，從乙袋中摸出1個球為紅球的概率為P2.(1)若m10，求甲袋中紅球的個數(shù)；(2)若將甲、乙兩袋中的球裝在一起后，從中摸出1個紅球的概率是，求P2的值；(3)設P2，若從甲、乙兩袋中各自有放回地摸球，每次摸出1個球，并且從甲袋中摸1次，從乙袋中摸2次設表示摸出紅球的總次數(shù)，求的分布列和均值【規(guī)范解答】(1)設甲袋中紅球的

12、個數(shù)為x，依題意得x10×4.(2)由已知，得，解得P2.(3)的所有可能值為0,1,2,3.P(0)××，P(1)×××C××，P(2)×C×××2，P(3)×2.所以的分布列為0123P所以E()0×1×2×3×.【反思與總結】求離散型隨機變量的均值和方差問題的一般步驟：第一步：確定隨機變量的所有可能值第二步：求每一個可能值所對應的概率第三步：列出離散型隨機變量的分布列第四步：求均值和方差第五步：反思回顧查看關鍵點、易錯點和答題規(guī)范五、課程小結1均值與方差的常用性質(zhì)掌握下述有關性質(zhì)，會給解題帶來方便：(1)E(ab)aE()b；E()E()E()；D(ab)a2D()；(2)若B(n，p)，則E()np，D()np(1p)2基本方法(1)已知隨機變量的分布列求它的均值、方差和標準差，可直接按定義(公式)求解；(2)已知隨機變量的均值 、方差，求的線性函數(shù)ab的均值、方差和標準差，可直接用的均值、方差的性質(zhì)求解；(3)如能分析所給隨機變量是服從常用的分布(如二項分布)，可直接利用它們的均值、方差公式求解3關于正態(tài)總體在某個區(qū)域內(nèi)取值的概率求法