國家開放大學(xué)電大《常微分方程(本)》期末題庫及答案

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2、 如果函數(shù)組乃。）療2（乂）在區(qū)間I是線性相關(guān)，那么它們的朗斯基行列式W（x）在區(qū)間I上（）.有界是保證方程華=y）初值解惟一的（5）（）條件.dx二、單項選擇題（每小題3分，本題共15分）6.方程的x + 2x + x = ef的任一解的圖像是三維空間中的（）.A. 一個曲而 B. 一條曲線C. 一族曲面D. 一族曲線四=Vzivr + i（ ）7 .方程MV.A. 有奇解y一土 1 B.有奇解ylC.無奇解 D.有奇解y一一18. 方程y瑚 + JF的通解是（）.A-y = cx B.y = c4xC.y ex2 D y = cx-i-4c9. 相平面上的一條軌線對應(yīng)平面自治系統(tǒng)的（）積分

3、曲線.A.無窮條 B. 一條C.二條 D.三條10. 方程-：寸卜的任一解的最大存在區(qū)間一定是（）.4（oo,0） 3.（00,+8）C. 09+oo） /）.!,+ oc）三、計算題（每小題8分，共40分）11. 蟲dx12. (x + y)dx (x y)dy = 0，dx x y14.(x3 +xy2 +x2)dxl x2ydy= 01 u w 22 ,15-xy -y = y sinx四、計算題(本題共15分)五、證明題（本題共15分）17.設(shè)y（x）是。十一）上的連續(xù)可微函數(shù)，且滿足甌3",“）或、求證試題答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、填空題（每小題3分，本題共15分）1. （1）滿足

4、|v|vl的條形區(qū)域2, （2）ex9xex：k （3）二知”=0 | ,±2,4. （4）恒等于零5.（5）充分二、單項選擇題（每小題3分，木題共15分）6. B 7. C 8. D 9. A 10. B三、計算題（每小題8分，共40分）11. 解：當(dāng)yl時，分離變量積分得2小+G= Cex1 + Cey 解得通解石12. 解：方程改寫成dy _x + y dx x-y dydx令y=u,貝g=X1/ F ju代入得dux=dx1 + u u1 + w21-w udu B|J x=dx分離變量積分，得f= dxJ 1 + w2 J xarctan u ln(l + w2) = In

5、 | x | 2原方程通積分為arcian 乏=In 77 +Cx13. 解：方程兩端乘y，得y = y2 +x2 dx x令y2=z,則2y. = 代人得 dx dx1 dz 12=z + x2 dx xdz 2=z + 2x dx x齊次誦解z = Cx2令非齊次解為z = C(x)x2,代入得C(x) = 2x + C即 z = Cx2 + 2x3,原方程通解為y= 士37 /14. 解：dM c dN=2xy =dydx方程是全微分方程，取(x。,) = (0,0)原方程的通積分為(./ + xy1 十 x5 )dx Cla即lx4+lx2 2+lx3=C42315. 解：方程改寫成，

6、衛(wèi) $inx = 0即(+cosx) = 0y有座+ cosx = G積分，得通積分 y dxIn | j/1 +sinx = Cx + C2四、計算題(本題共15分)16. 解：特征方程為3 A 1IA 心)=04 1-A特征根 = 3,% = -1=3對應(yīng)的特征向量為人 2 = 1對應(yīng)的特征向量為一1 _-2原方程組的通解為，、(3t -/)x 八 e _ e=G + c2y)3 J -2°刁五、證明題(本題共15分)17. 證明 由已知條件y(z)滿足方程y (x) + y(x) = a(x)這里 lim a(x) = 0X->+CO而該方程過(, y。)的任一解y(x)

7、為="e U r0. P,.傳J%.n lhn»3)二 Ittn 。Inn _n x r_ a<.r'=01 Inn r十P ”=lim。3)=0常微分方程題庫及答案二一、填空題(每小題3分。本題共15分)1. 方程卷="也+少滿足解的存在惟一性定理條件的區(qū)域是-2. 方程冬 N/R7的奇解是維線性空間.3. 以階線性齊次微分方程的所有解構(gòu)成一個4. 方程的等價方程組是5. 方程組二、單項選擇題（每小題3分，本題共15分）6. 方程i十工=。的任一非零解在（t, x）平面上（）零點D.無A.有無窮多個B.只有兩個C.只有一個7. 方程3過點（0, 0

8、）的解（）.A.只有一個 B.只有兩個C.有無數(shù)個D.只有三個8. 方程四過點（1, 1）的解的存在區(qū)間是（）.匹（一8,2",十 8）D. （l,+oo>9. 方程的所有常數(shù)解是（）.A.。r _3uCupD.，=夸十如上=0.±1 M10. 平而自治系統(tǒng)在相平而上的一條軌線，對應(yīng)（）積分曲線.A. 一條 B.兩條C.無窮多條D.三條三、計算題（每小題8分.本題共40分）求下列方程的通解或通積分：11. （l+jr）ydx+】y）工曲=012. 學(xué)+ 1±克心*” or x13. Wdx（2y +工廣'）（1=014. _y=£y'

9、;+>' +（）'15 .寸+ （y'V + l = O四、計算題（本題共15分）16. 求下列方程組的通解.dx瓦=工七倔一 2x+3y五、證明題（本題共15分）17. 設(shè)P（z） 一個多項式函數(shù)，證明：方程=P（jr）cosy所有解的存在區(qū)間必為（8,十 8）.試題答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（供參考）一、填空題（每小題3分。本題共15分）1. 全平面 2. >=±13. n(y=y4 J , = _邛_石5. (0, 0), (0, 1)二、單項選擇題(每小題3分。本題共15分)6. A 7. C 8. B 9. D 10. C三、計算題（每小題8分。本題

10、共40分）1. 解將方程改寫為y 工積分得yln|y =x+ln| j +C即通積分為yln|x>| =C12. 解先解齊次方程，通解為clr + C令非齊次方程的特解為(4分)代入原方程，求出原方程的通解為尸*+ C）13. 解M(jr.y)=廣，, N(iy) = (2y+jre r >3M _ BN因此，原方程是全微分方程.取Cx9 ？0）=（00）原方程的通積分為（c-,dx J 2ydy = C即xe，一y =C14. 解這是一個克萊洛方程，因此通解為y-Cx+C+C15. 解令一 K y = = =z代入方程，得等=-（1+/分離變量，積分，誥Jdx + C?=tan（

11、j： + C）于是單=tan（ jHC> dz積分，得通解為yln I co" 工+C） I +G四、計算題（本題共15分）16.解特征方程為If 1 1! AAE| =半一4人 + 5=0-2 3-人 <特征根為必=2tZ,（3分）A=2+f對應(yīng)特征向量滿足m加即況+6=02a 4-( 1 r )6 = 0解之得6=(1 + Oat令=1.則5=1 十 F（7分）于是，對應(yīng)解為1 =/"1 = c:<(co$/4-：sinr) 11+， 1l+r stnrcosf + 5im分）<10所以，原方程組的通解為COSfy- sim十cos/4-sinz

12、（15 分）五、證明題（本題共15分）17.證明因為P（z）在(8,十 8>上連續(xù),cosy及(cosy)'si ny（ 8,十8）（6分）上連續(xù)，所以該方程在全平面上滿足解的存在惟一性定理及解的延展定理.又顯然號+如&=0.±1，士2 是方程的常數(shù)解.（9分）現(xiàn)設(shè)>=>（工）是方程的任一解，若其初值在常數(shù)解上，則由解的惟一性，y（z）=奇+ M的存在區(qū)間必為（ 8,+ 8）.若其初值落在上述兩個常數(shù)解之間，那么由解的惟一性和解的延展定理，可向平面的無窮遠(yuǎn)無限延展，同時又不能上下穿越這兩個常數(shù)解，故其存在區(qū)間必為（一8,十 8）_U5分）常微分方程題

13、庫及答案三一、填空題（每小題3分.本題共15分）1. 方程華=Oo）=Vo滿足解的存在惟一性定理條件的區(qū)域是（1）ax2. 方程/ 一2y' + y=0的基本解組是.蟲=f（x3. 初值問題一八'刃的解所滿足的積分方程是4. 方程牛=必通過點(1, 1)的解的最大存在區(qū)間是(4)dx5平而系統(tǒng)<的奇點0(0, 0)的類型是 y二、單項選擇題【每小題3分。本題共15分)6. 方程蟲=占過點(0, o)的積分曲線().dxA. 有惟一一條B.有無窮多條C.只有二條D.不存在7. 用待定系數(shù)法求方程廣一6>，'十5廣一 "十 *的非齊次解乃的形式應(yīng)設(shè)為(

14、)A. y =人。'+ 8： + Gr+1>B. 齊=Ajc/ + Bx: 4 Cr+DC. y產(chǎn)8. 已知方程ry"+ J f r的一個特解為檢又對應(yīng)齊次方程有一個特解為Inx,則原方程的通解 為().A >=G了十GIhjI J-=B. 尸GF + Glnr + KC, y=G - Glnx工'I). y=C|4-C：lrix-bxr9. 一階線性非齊次微分方程組的任兩個非零解之差()A.不是其對應(yīng)齊次微分方程組的解B.是非齊次微分方程組的解C.是非齊次微分方程組的通解D.是其對應(yīng)齊次微分方程組的解10. 一階變量可分離微分方程Mx)Ny)dx- p(

15、x)Q(y)dy = 0的積分因子是()A"=1N(y)P(x)B 4 =?M(x)N(y)C.JLl = M（x）g（y）三、計算題（每小題8分，共40分）求下列方程的通解或通積分：11. 4-y12. ,=2*;/ +13.1 掣=y d.t *143 一二）婦上澎=0X2 X15. y y2 卜 y：cnxr = 0四、計算題（本題共15分）= 2x-3y=x-2y五、證明題（本題共15分）17.證明，當(dāng)PZ0,q> 0時，方程E=°的一切解在0,+oo）±有界.試題答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、填空SS（每小18 3分，本題共15分）1. （1）除去軸的平面2.

16、 2#g3. （3）y=yo+j /（x»）d.vt. （4X-OQ.2）5. （5）檢定焦點二、單項選擇建（每小IB 3分，本H共15分）；6. B7.B8.C9.D10. A三、計算禽（每小題8分，共4。分）11. 解：將方程改寫為令“=乎.則y'=_rt/ 4- N.代人上式礙«r * = U I 護(hù)分離變Ji枳分得arcsinw = lnl j | +C取方程的通段分為arrsiri In I -r I H- C 12.解，克萊洛方程.通解為13. 斜：方程改寫成dx 1*齊次通解為y = O 令非齊次解為y=C（x）j代人田原方程通解為y=CxyX1 1A

17、 s 3M 1 3N14-解'石=_亍=耘原方程是全微分方程.?。?amp;.為）=（1.0>,原方程的通枳分為（tr* 工）dr + f dy «= C 即 "+之=（x15. 解，方程改寫成,或（蘭+ sinx）'=Oy即 J_單+或口 =仁枳分得原方程通枳分為Ini yl cojlt = C|X 卜C；16. 解，特征方程2- A 一3I AAEI =3 1兀和船對應(yīng)的特征向量分別是 和11原,方程組的通解是=G y "五、證明fiS（本題共15分）17. 岫明原方程的特征方程為r + pl+g=O特征根為土/正一葉S 2H然.當(dāng)P&g

18、t;0.q>0時,特征根只有3神情況：兩個相異實根A.A：且AVO.AVOs（2）二重實根A,且人V0,（3一對共貌復(fù)根a±陽俘=和一斯挪=一#<0.此時,通解分別為>（x） = o4 4y（i=（G，C:x）eay（4） = L（"cos供 4 C: sin/lr）于是lim y（ r） =0.因此yd）在。+8）上有界 當(dāng)/lO</><）時.特征根= 士，命對應(yīng)通機(jī)為v（jr>j=C（ros/7X 十 CiUn JJ/.r顯燃也在9+s）r有界.常微分方程題庫及答案四一、單項選擇題（每小題3分，本題共15分）1. 微分方程rd

19、+./>*= yU+Ddy的通解為y =AH+r “】一y睥UB. (I-K1+/> = CC.(In H + r'X I+/ = (2. A<V=y: il點H.l)的鋪的4企區(qū)間姓().nxA. (- <>?)MQ.+8>c( i +：,、>rx( 一， +<»)IT了 * y 卜 sin/Al ',1廳理的任 解的圖厚足空間中的(A. 一條曲線K兩個曲而c 一個曲而rx兩條曲蟆4. 二階我性齊次博分方密的所再解構(gòu)成一個（）線性空間.A. 1 «11 2 維C 3雄n 4雄5. 如果平而n治系統(tǒng)的解憎一.那

20、么它在相平面上的軌淺以（>.A.不唯一的B.唯一的C奇點D.閉軌二、填空題（每小題3分，本題共15分）6. 做分方梓?。?尸一2乂/+】=。是 階微分方程.7. 方程£+”g=b的任一解的存在3間必是.&如果函數(shù)ffl>i（x）.y：（x）在區(qū)間/是稅性桁關(guān).那么它們的陰斯基行列式W（t）在區(qū)同1上.9. 二階 L y" + jr>r：»=（J的等價方程坦是.10. 點是方程期，奇點的充分條件是*=Q5y>三、計算題（每小題8分，本題共40分）11. 未可分禹變SI方程tanycLr-courdy = 0的通枳分.dyv1 X12.

21、 求一階線忤齊次方程| =二+ $ 一的通枳分.（Lr j2 y13. 求全推分方程2（£r + （H-：；）dy=0的通枳分.H.求克菜洛萬程=巧'+ 2（：/）的通解.0求恰當(dāng)導(dǎo)散萬程y/+（y）'u0的通積分.四、計算題（木題共15分）16. 求下列常系數(shù)線性做分方程<0的通#hAr瓦-3工+勺Idy石"+2、五、證明題（木題共15分）17. 匝明，一階湫分方程dv *>nydx jt： +/ + 1的任一"的洋在區(qū)間必是（一x. + s）.試題答案一單項選擇知（倍小88 3分.本JS共M分）LD2- A3. 二、頊空通（島小盹.1分，卒擔(dān)共r分）6. R.恒等于穹，=一"一了 y10. P（./.y.t） Q（八.火）=0三.計算跑（每小題卜分.本魄共I。分）分也重昭估希電枳”再iiuy即 InCiny) =