一注基礎高等數(shù)學知識總結

1、高等數(shù)學知識總結一、 空間解析幾何31 向量代數(shù)32 曲面及其方程53 空間曲線及其方程64 平面及其方程65 空間直線及其方程6二、 極限和連續(xù)81 數(shù)列極限82 函數(shù)極限83 幾個重要極限84 無窮小量85 連續(xù)函數(shù)8三、 一元函數(shù)的微分學101 導數(shù)的定義102 導數(shù)運算103 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù)：104 微分概念及其運算法則105 Lagrange中值定理116 函數(shù)的單調性與曲線的凹凸性117 函數(shù)的極值與最大值最小值118 Cauchy中值定理119 法則：型未定式或型未定式 (不是未定式不能用洛必達法則 )1210 泰勒 ( Taylor )公式用多項式近似表示函數(shù)12四、

2、 多元微分學131 極限與連續(xù)性132 微分和偏導數(shù)133 復合函數(shù)的微分法144 方向導數(shù)和梯度145 空間曲線的切線與法平面156 曲面的切平面與法線方程157 Taylor公式168 多變量函數(shù)的極值16五、 一元函數(shù)的不定積分181 不定積分182 基本積分表（求導的逆運算）183 不定積分的性質184 換元法185 分部積分法19六、 定積分201 定積分定義 （分割，近似，求和，取極限 ）202 牛頓萊布尼茲公式203 定積分的性質（設所列定積分都存在）204 廣義積分20七、 多變量函數(shù)的重積分211 二重積分“分割，近似，求和，取極限”212 二重積分的累次積分213 二重積分

3、換元法224 三重積分22八、 曲線積分與曲面積分241 第一類曲線積分對弧長的曲線積分242 第一類曲面積分243 第二類曲線積分254 格林公式265 第二類曲面積分276 Gauss定理及散度287 Stokes定理即旋度Green定理的推廣288 保守場29九、 無窮級數(shù)301 無窮級數(shù)基本性質302 正項級數(shù)及其審斂法303 級數(shù)收斂的一般判別法314 絕對收斂與條件收斂315 冪級數(shù)及其收斂性326 傅里葉級數(shù)32十、 常微分方程341 一階微分方程342 二階線性齊次方程解的結構353 二階線性非齊次方程解的結構354 用常數(shù)變易法求非齊次的特解常用來由齊次推非齊次、由線性推非線

4、性355 二階常系數(shù)線性齊次方程361、 空間解析幾何1 向量代數(shù)l 向量的線性運算向量加法：三角形法則或平行四邊形法則：1)交換律a+b=b+a;2)結合律(a+b)+c=a+(b+c).實數(shù)與向量的運算法則：設、為實數(shù)，則有：1)結合律l(ma)=m(la)=(lm)a； 2)分配律 (l+m)a=la+ma；l(a+b)=la+lb.l 空間直角坐標系 設a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz)，則有1）a+b=(ax+bx,ay+by,az+bz). 2）a-b=(ax-bx,ay-by,az-bz). 3）la=(lax,lay,laz).4）b/aÛb=la&#

5、219;(bx,by,bz)=l(ax,ay,az)Û.5）向量模： 6）兩點間的距離：7）方向角：非零向量r與三條坐標軸的夾角a、b、g稱為向量r的方向角方向余弦： ,.l 向量的數(shù)量積：a·b=|a| |b| cosq幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度與b在a的方向上的投影的乘積。1）a·a = |a| 2. 2）abÛa·b =03）交換律: a·b =b·a; 4）分配律: (a+b)×c=a×c+b×c.5） (la)·b =a·(lb) =l(a

6、3;b), (la)·(mb) =lm(a·b), l、m為數(shù). 6）a·b=axbx+ayby+azbz .l 向量的向量積：c =a´bc的模 |c|=|a|b|sin q, 其中q為a與b間的夾角;c的方向垂直于a與b所決定的平面, c的指向按右手規(guī)則從a轉向b來確定.幾何意義：以a與b為兩鄰邊的有向面積。1）a´a =0; 2）a/b Û a´b = 03）交換律a´b = -b´a; 4）分配律: (a+b)´c = a´c + b´c. 5）(la)´b

7、 = a´(lb) = l(a´b) 6）l 混合積，共面2 曲面及其方程旋轉面方程母線柱面方程，母線平行于軸的柱面方程，母線平行于軸的柱面方程橢球面方程，當或或時為旋轉橢球面，當時，為球面方程。雙曲面方程錐面方程拋物面方程其中3 空間曲線及其方程空間曲線的一般方程： （兩個曲面方程的交線）空間曲線的參數(shù)方程： 空間曲線關于坐標面的投影柱面方程為消去得到的方程，在坐標面上的投影曲線方程為 4 平面及其方程l 平面方程一般方程： Ax+By+Cz+D=0 【平面的一個法線向量n為 n=(A,B,C)】點法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 【通過點M0(x

8、0,y0,z0)】截距式方程： 【a、b、c依次為平面在x、y、z軸上的截距】l 兩平面的夾角：兩平面的法線向量的夾角(通常指銳角)稱為兩平面的夾角平面P1和P2垂直A1 A2 +B1B2 +C1C2=0;平面P 1和P 2平行或重合.l 點P0(x0,y0,z0)到平面的距離 5 空間直線及其方程l 直線方程 一般方程： （兩平面的交線）點向式方程.： 【過點M0(x0,y0,x0)】參數(shù)方程： 【且方向向量為s = (m,n,p)】兩點式： 【過點M1(x1,y1,x1)】l 兩直線的夾角：兩直線的方向向量的夾角( 通常指銳角)1）L 1L 2Ûm1m2+n1n2+p1p2=0;

9、2） L1 / L2Û.l 直線與平面的夾角：直線和它在平面上的投影直線的夾角j稱為直線與平面的夾角1）LP Û 2）L/P Û Am+Bn+Cp=0.l 平面束：通過定直線的所有平面的全體稱為平面束過直線的平面束方程為 A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2y+C2z+D2)=02、 極限和連續(xù)1 數(shù)列極限數(shù)列極限：若數(shù)列及常數(shù) ，當時，有，則稱該數(shù)列的極限為，記作或。此時也稱數(shù)列收斂 ，否則稱數(shù)列發(fā)散。（學會用定義證明數(shù)列極限，關鍵在于如何求得N）數(shù)列極限的四則運算：若則有a.； b.； c. 夾逼準則：設，當時，有，則2 函數(shù)極限，當時，有，當時，有

10、左極限 右極限 3 幾個重要極限1） 2） 3） 4）5） 6） 7）4 無窮小量無窮小量：若，則稱函數(shù)是當時的無窮小量。等價無窮小定理：設且存在，則熟記的等價無窮?。簳r，5 連續(xù)函數(shù)函數(shù)在處連續(xù) =間斷點：a. 第一類間斷點：及均存在，若稱為可去間斷點；若稱為跳躍間斷點；b. 第二類間斷點：及中至少一個不存在，若其中一個為，稱為無窮間斷點；若其中一個為振蕩，稱為振蕩間斷點。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質：1） 零點定理：設，且 則必有使得2） 介質定理：設，則上能取到；3） 最大值最小值定理：設，則上能取到最大值和最小值；3、 一元函數(shù)的微分學1 導數(shù)的定義設函數(shù)，在的某鄰域內有定義，若存在，則稱函

11、數(shù)在點處可導。并稱此極限為在處的導數(shù)，記做；。幾何意義：曲線在處的斜率，。 可導性與連續(xù)性的關系： （連續(xù)未必可導）2 導數(shù)運算四則運算：1） 2） 3） 復合函數(shù)求導法則： 參數(shù)方程求導法：對參數(shù)方程， ，有 3 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù)：4 微分概念及其運算法則微分定義：若函數(shù)在點的增量可表示為，為不依賴于的常數(shù)，則稱函數(shù)在點處可微，記。 定理：在點處可微即微分運算法則：1）；2）；3） ； 4）微分形式不變性：設，分別可微，則復合函數(shù)的微分5 Lagrange中值定理費馬(Fermat)引理：設是的極值點，在可微，則。羅爾(Rolle)定理：滿足：1）在區(qū)間a , b上連續(xù)；2) 在區(qū)間

12、 (a , b) 內可導3) 在(a , b)內至少存在一點，使得。拉格朗日中值定理：滿足：1）在區(qū)間a , b上連續(xù)；2) 在區(qū)間 (a , b) 內可導 在(a , b)內至少存在一點，使得推論：若函數(shù)在區(qū)間I上滿足，則在I上必為常數(shù).6 函數(shù)的單調性與曲線的凹凸性單調性的判定法：設函數(shù)在開區(qū)間I上可導，若，則在I內遞增（遞減）。7 函數(shù)的極值與最大值最小值極值可疑點：使導數(shù)為0 或不存在的點極值第一判別法：設函數(shù)在的某領域內連續(xù)，且在空心領域內有導數(shù)，當由小到大通過時， 1）“左正右負”，則在取極大值； 2）“左負右正”，則在取極小值。極值第二判別法：設函數(shù)在處具有二階導數(shù)，且，1）若，

13、則在取極大值；2）若，則在取極小值。最值判定：設函數(shù)在閉區(qū)間a , b上連續(xù)，則其最值只能在極值點或端點處達到。8 Cauchy中值定理Cauchy中值定理：及滿足：1）在區(qū)間a , b上連續(xù)；2) 在區(qū)間 (a , b) 內可導3) 在區(qū)間 (a , b) 內 在(a , b)內至少存在一點，使得。9 法則：型未定式或型未定式 (不是未定式不能用洛必達法則 )洛必達法則：；（或）2）與在可導，且；存在（或為） 10 泰勒 ( Taylor )公式用多項式近似表示函數(shù)設函數(shù)在包含的某開區(qū)間(a,b)處具有直到階的導數(shù)，則當(a,b)時，有其中 （在與之間） 特例：1）當時，泰勒公式變?yōu)槔窭嗜?/p>

14、中值定理；2） 在泰勒公式中若取則有麥克勞林（Maclaurin）公式：4、 多元微分學1 極限與連續(xù)性平面上的點列的極限：設為平面點列，若，則稱是收斂點列，是點列的極限，記做（）。極限：設元函數(shù)，是的聚點，若存在常數(shù)，對，對一切，有，則稱常數(shù)為函數(shù)當時的極限，記做（也叫重極限）。 PS：多元函數(shù)極限要求自變量沿任何方向、任何路徑趨于，若找到其兩個不同路徑上極限不同，則判斷多元函數(shù)極限不存在。二元函數(shù)的極限可寫作：。連續(xù)性：為的聚點時，；或為的孤立點時，也是連續(xù)點。2 微分和偏導數(shù)微分：。偏導數(shù)：設在點的某鄰域中有極限（將當做常數(shù)）存在，則稱此極限為函數(shù)在點對的偏導數(shù)，即設在處可微，。二元函數(shù)

15、偏導數(shù)的幾何意義：是曲線在點處的切線對軸的斜率是曲線在點處的切線對軸的斜率高階偏導數(shù)：設在域內存在連續(xù)的偏導數(shù)和，若這兩個偏導數(shù)仍存在偏導數(shù)，則稱它們是的二階偏導數(shù)。按求導順序不同, 有下列四個二階偏導數(shù)：，定理：若和都連續(xù)，則=。（否則不一定成立）3 復合函數(shù)的微分法復合函數(shù)求導的鏈式法則：若函數(shù)可微，有一階偏導數(shù)，則對和有偏導數(shù)，并有： (口訣：分段用乘, 分叉用加, 單路全導, 叉路偏導)微分中值定理：若函數(shù)在區(qū)域可微，連接和的線段全在內，則必有，使得定理：若在區(qū)域中，則。全微分的不變性：設函數(shù)，都可微，則復合函數(shù)的全微分為 即無論是自變量還是中間變量, 其全微分表達形式都一樣, 叫做全

16、微分形式不變性。4 方向導數(shù)和梯度方向導數(shù)：若函數(shù)在點處沿方向（方向角為）存在極限：（）則稱為函數(shù)在點處沿方向的方向導數(shù)。定理：則函數(shù)在該點沿任意方向的方向導數(shù)存在，且有： 由，故當方向一致時，方向導數(shù)取最大值，。梯度：定義向量為函數(shù)在點處的梯度，記做，即PS：函數(shù)的方向導數(shù)為梯度在該方向上的投影。梯度的幾何意義：沿梯度正向，方向導數(shù)最大，即函數(shù)值增長最快，其增長率為；而沿梯度負向，方向導數(shù)最小，即函數(shù)值減小最快，其減小率為。5 空間曲線的切線與法平面參數(shù)形式切線向量兩柱面交線 切線向量 兩曲面交線 切線向量6 曲面的切平面與法線方程法線向量 （梯度方向）7 Taylor公式Taylor定理：

17、，的某一鄰域內有直到階連續(xù)偏導數(shù)，為此鄰域內任一點，則有其中，（拉格朗日余項）。8 多變量函數(shù)的極值定理：（必要條件）存在且在該點取得極值，則有PS：使偏導數(shù)都為0的點稱為駐點，但駐點不一定是極值點。定理：（充分條件）若的某鄰域內具有一階和二階連續(xù)偏導數(shù), 且令，則有：1） 當時，具有極值。且時取極大值；時取極小值；2） 當時，沒有極值。3） 當時，不能確定，需另行討論。最值可疑點：駐點，不可偏導點，邊界上的最值點。PS：當區(qū)域內部最值存在, 且只有一個極值點時，則該極值點即為最值點。條件極值：對自變量除定義域限制外，還有其它條件限制的極值問題。（約束極值問題）條件極值的求法:：1）代入法：求

18、的無條件極值問題2） 拉格朗日乘數(shù)法：求函數(shù)在條件和下的極值。構造輔助函數(shù)F（Lagrange函數(shù)），引入拉格朗日乘數(shù)，令 （可推廣） 解方程組 ， 可得到條件極值的可疑點 5、 一元函數(shù)的不定積分1 不定積分原函數(shù)：若在區(qū)間I上滿足，則稱F (x)為f (x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)。定理1：存在原函數(shù)。定理2：原函數(shù)都在函數(shù)族內。不定積分：f (x)在區(qū)間I上的全體原函數(shù)稱為不定積分，記做=2 基本積分表（求導的逆運算）3 不定積分的性質1) 2）4 換元法第一類換元法（也稱配元法湊微分法）：則有換元公式目的：湊已知的積分公式； 關鍵：湊微分。第二類換元法：設是單調可導函數(shù)，且，具有原函數(shù)，

19、則 。目的：去根號等。5 分部積分法由導數(shù)公式 積分得： 或 ：1) v容易求得；容易計算。6、 定積分1 定積分定義 （分割，近似，求和，取極限 ），任一種分法，令，任取，總趨于確定的極限，則稱此極限為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作，即定積分的幾何意義：曲邊梯形的有向面積。2 牛頓萊布尼茲公式設在上可積, 并有原函數(shù)，則 3 定積分的性質（設所列定積分都存在）4） 2）3） 4）5）4 廣義積分無窮限的廣義積分（第一類反常積分）：設，取，若存在，記廣義積分 。無界函數(shù)的廣義積分（瑕積分或第二類廣義積分）：設，而在點的右鄰域內無界，取，若存在，則記廣義積分 。7、 多變量函數(shù)的重積分多元函數(shù)積分學

20、：重積分、曲線積分、曲面積分1 二重積分“分割，近似，求和，取極限”二重積分存在定理：若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域上除去有限個點或有限個光滑曲線外都連續(xù)，則在上可積。定理：若兩個二元有界函數(shù)在有界閉區(qū)域上除去有限個點或有限個光滑曲線外都相等，則二者可積性相同，若可積，其積分相等。二重積分的性質：設和在上可積，1）2） 若在上，則 3） 設在上可積，則 4） 在上也可積5） ，則 6） （微分中值定理）設函數(shù)在閉域上連續(xù)，為的面積 ,則至少存在一點，使得 2 二重積分的累次積分l 型積分：積分區(qū)域 l 型積分：積分區(qū)域 PS：若積分區(qū)域既是型區(qū)域又是型區(qū)域，PS：若積分域較復雜,可將它分成若干X-型域

21、或Y-型域，則3 二重積分換元法面積元素變換：雅克比行列式：2） 對變換有 特別地，直角坐標轉化為極坐標時，故 4 三重積分累次積分：三種方法（12種形式）各有特點，應根據(jù)被積函數(shù)及積分域的特點靈活選擇 1）投影法“先一后二”； （細長柱體）2）截面法“先二后一”；3）“三次積分法”變量代換：體積元素變換：特別地：1）柱坐標計算： 2）球坐標計算： 積分學定積分二重積分三重積分曲線積分曲面積分積分域區(qū)間域平面域空間域曲線域曲面域8、 曲線積分與曲面積分1 第一類曲線積分對弧長的曲線積分定義：設是空間中一條有限長的光滑曲線，是定義在上的一個有界函數(shù)，若通過對的任意分割和對局部的任意取點，下列“乘

22、積和式極限”存在，則稱此極限為函數(shù)在曲線上第一類曲線積分，或對弧長的曲線積分。PS：對弧長的曲線積分要求，但定積分中可能為負。曲線積分的性質：（與其他積分性質類似 ） 1） （為曲線弧的長度）4） 線性性質：5） 可加性：曲線積分的計算：（轉化為求定積分）設是定義在光滑曲線的連續(xù)函數(shù)，若的參數(shù)方程可表示為：，則PS：1）上述公式可看做“換元法”，因為2）如果曲線的方程為，則3） 在極坐標下2 第一類曲面積分定義：設是空間中一光滑曲面，是定義在上的一個有界函數(shù)，若通過對的任意分割和對局部的任意取點，下列“乘積和式極限”存在，則稱此極限為函數(shù)在曲面上第一類曲面積分，或對面積的曲面積分。第一類曲面積

23、分的性質：與第一類曲線積分類似，線性性質和可加性。第一類曲面積分的計算方法：設有光滑曲面：，（或，）在上連續(xù)，則曲面積分存在，且有= （轉化二重積分）推導：用和兩簇曲線分割曲面，則面積微元特別地：若，則，故3 第二類曲線積分定義：設為平面內從到的一條有向光滑弧，在上定義了一個向量函數(shù)，若通過對的任意分割和對局部的任意取點，“乘積和式極限”存在，則稱此極限為函數(shù)在有向曲線弧上對坐標的曲線積分，或第二類曲線積分。PS：若為空間曲線： 性質：1）2） （必須注意積分弧段的方向!）PS：定積分是第二類曲線積分的特例。第二類曲線積分的計算：在有向光滑弧上有定義且連續(xù)，的參數(shù)方程為：，則曲線積分存在，且有

24、特別地，：則兩類曲線積分之間的聯(lián)系：切向量的方向余弦為，故令，為在上投影，則4 格林公式GREEN：設區(qū)域是由分段光滑正向曲線圍成，函數(shù) 在上具有連續(xù)一階偏導數(shù)，則有 （將區(qū)域分割為既是X型區(qū)域，又是Y型區(qū)域）PS：域邊界的正向：域的內部靠左。PS：X型區(qū)域： Y型區(qū)域：推論：正向閉曲線所圍區(qū)域的面積為 平面上曲線積分與路徑無關的等價條件：設是單連通域，在上具有連續(xù)一階偏導數(shù)，則以下四個條件等價：3） 沿中任意光滑閉曲線， 4） 在內每一點都有 5） 中任一分段光滑曲線，與路徑無關，只與起止點有關 6） 在內是某一函數(shù)的全微分，即 PS：1）計算曲線積分時, 若在某區(qū)域內，可選擇方便的積分路徑

25、；4） 求曲線積分時，可利用格林公式簡化計算，若積分路徑不是閉曲線，可添加輔助線；5） 可用積分法求在域內的原函數(shù)：取定點及動點，則原函數(shù)為5 第二類曲面積分雙側曲面及其定向：指定了側的曲面叫有向曲面，其方向用法向量指向表示：方向余弦封閉曲面?zhèn)鹊囊?guī)定> 0 為前側> 0 為右側> 0 為上側外側< 0 為后側< 0 為左側< 0 為下側內側PS：設為有向曲面，其面元在面上的投影記為，的面積為，則規(guī)定 類似規(guī)定PS：光滑參數(shù)曲面：，的兩個法向量為 （PS：非單位法向量）顯式曲面：，的法向量 定義：設在光滑的有向曲面上定義向量場，則稱為向量場在曲面上第二類曲面積

26、分。在直角坐標系下，可表示為性質：1）對場的線性，即若，則 2）若由協(xié)調拼接而成，則 = ； 3）兩類曲面積分的關系： 第二類曲面積分的計算法： （單位法向量 面元）PS：1）如果是顯式曲面，則 （計算時注意輪轉對稱性） 2） （上正下負） （前正后負） （右正左負）6 Gauss定理及散度高斯定理：設空間區(qū)域由分片光滑的雙側封閉曲面圍成。若函數(shù)在上連續(xù)，且有一階連續(xù)偏導數(shù)，則向量場的通量：，向量場通過的通量為，如果為雙側封閉曲面，如果，說明內部有產生向量的能力，即為有“源”的；如果，說明向量在內流失，即為有“匯”或“漏”。向量場的散度： 故高斯定理又可以寫成向量形式： 散度的性質：1）=+

27、2）=+7 Stokes定理即旋度Green定理的推廣Stokes定理：設光滑曲面的邊界是按段光滑的連續(xù)曲線。若函數(shù)在（連同）上連續(xù)，且有一階連續(xù)偏導數(shù)，則 （其中的法向與的方向滿足右手法則確定）或 旋度：向量場沿有向曲線的積分定義為環(huán)量，定義向量場的旋度為 （代表流場的渦旋特性）故Stokes定理可以寫成：8 保守場保守場：設是區(qū)域中的連續(xù)向量場，如果沿任何鑄鍛光滑的閉路，都有，則稱是中的一個保守場。恰當微分形式和有勢場：函數(shù)在上連續(xù)，若，則稱是一個恰當微分或全微分。若，則，則稱是有勢場，是的一個勢函數(shù)，同時，也是的勢函數(shù)。全微分的積分：設是內的一個全微分，則光滑曲線上 （與路徑無關）定理：

28、下面三個等價命題1）是有勢場 （即恰當微分 ）2） 與路徑無關3）沿任何中的閉路 （即是保守場）4） （即是無旋場）9、 無窮級數(shù)1 無窮級數(shù)基本性質無窮級數(shù)：；部分和：。若存在，則稱無窮級數(shù)收斂，并記級數(shù)的和。定理：若收斂級數(shù)，則各項乘以常數(shù)所得級數(shù)也收斂，其和為。定理：設兩個收斂級數(shù)和則級數(shù)也收斂，其和為。定理：在級數(shù)前面加上、去掉或改變有限項, 不會影響級數(shù)的斂散性。定理：收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和。定理：設收斂級數(shù)，則必有。2 正項級數(shù)及其審斂法定義：若，則稱為正項級數(shù)。定理：正項級數(shù)收斂 部分和序列有界。定理(比較審斂法)：設，是兩個正項級數(shù)，且存在，對一切，有（常

29、數(shù)），則有：1）若強級數(shù)收斂，則弱級數(shù)也收斂；2）若弱級數(shù)發(fā)散，則強級數(shù)也發(fā)散。定理（柯西積分判別法）：設為定義于上的非負單調遞減函數(shù)，則與同時收斂或同時發(fā)散。定理(比較審斂法的極限形式)：設，是兩個正項級數(shù)，且滿足。則有：1）當時，兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散；2）當時，收斂，也收斂；3）當時，發(fā)散，也發(fā)散。定理（比值審斂法/Dalembert 判別法）：設為正項級數(shù)，且，則：1）當<1時，級數(shù)收斂；2）當>1或時，級數(shù)發(fā)散。定理（根值審斂法/ Cauchy判別法）：設為正項級數(shù)，且，則：1）當<1時，級數(shù)收斂；2）當>1或時，級數(shù)發(fā)散；3）=1時，級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散

30、。3 級數(shù)收斂的一般判別法Cauchy收斂原理：級數(shù)收斂的充分必要條件是：對任意給定的0，存在正整數(shù)N，使得下式對一切與一切正整數(shù)p成立：Leibnitz判別法：設單調趨于零，則級數(shù)收斂。4 絕對收斂與條件收斂定義：對任意項級數(shù)，若收斂，則稱原級數(shù)絕對收斂。若原級數(shù)收斂, 但發(fā)散, 則稱原級數(shù)條件收斂。定理3：設收斂，則也收斂。定理6.14：若級數(shù)絕對收斂，則它的更序級數(shù)也絕對收斂，且和不變，即= 推論：1）絕對收斂的充分必要條件是和都收斂；2）條件收斂則和都發(fā)散。5 冪級數(shù)及其收斂性定義：形如的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù)，其中數(shù)列稱為冪級數(shù)的系數(shù)。后面著重討論的情形，即Abel定理：若冪級數(shù)在點收斂，則對滿足不等式的的一切冪級數(shù)都絕對收斂。反之，若當點發(fā)散，則對滿足不等式的的一切冪級數(shù)都發(fā)散。由Abel定理可以看出，的收斂域是以原點為中心的區(qū)間。用表示冪級數(shù)收斂與發(fā)散的分界點。稱為收斂半徑，稱為收斂區(qū)間，加上收斂的端點稱為收斂域。定理：若的系數(shù)滿足，則：1）當時，；2）當時，；3）當時，。 (比值審斂法) （即 ）定理：若的系數(shù)滿足，則收斂半徑。 (Cauchy判別法)6 傅里葉級數(shù)定理：（三角函數(shù)正交性）組成三角級數(shù)的函數(shù)系在上正交，即其中任意兩個不同的函數(shù)之積在上的積分等于0。定理：設是周期為的周期函數(shù)，且右端級數(shù)可逐項積分，則有狄利克雷(Dirich