微分幾何習(xí)題解答曲線論

1、第一章 曲線論§2 向量函數(shù) 5. 向量函數(shù)具有固定方向的充要條件是 × = 。 分析：一個向量函數(shù)一般可以寫成=的形式，其中為單位向量函數(shù)，為數(shù)量函數(shù)，那么具有固定方向的充要條件是具有固定方向，即為常向量，（因為的長度固定）。 證 對于向量函數(shù)，設(shè)為其單位向量，則=，若具有固定方向，則為常向量，那么=，所以 ×=（×）=。反之，若×= ，對= 求微商得=+，于是×=（×）=，則有 = 0 或×= 。當= 0時，=可與任意方向平行；當0時，有×=，而（×=-(·，（因為具有固定長， &

2、#183;= 0） ，所以 =，即為常向量。所以，具有固定方向。6向量函數(shù)平行于固定平面的充要條件是（）=0 。分析：向量函數(shù)平行于固定平面的充要條件是存在一個定向向量，使· = 0 ，所以我們要尋求這個向量及與，的關(guān)系。證 若平行于一固定平面，設(shè)是平面的一個單位法向量，則為常向量，且· = 0 。兩次求微商得· = 0 ，· = 0 ，即向量，垂直于同一非零向量，因而共面，即（）=0 。反之, 若（）=0，則有×= 或×。若×=，由上題知具有固定方向，自然平行于一固定平面，若×，則存在數(shù)量函數(shù)、，使= + 令=&

3、#215;，則，且。對=×求微商并將式代入得=×=（×）=，于是×=，由上題知有固定方向，而，即平行于固定平面。§3 曲線的概念1 求圓柱螺線=，=，=在（1,0,0）的切線和法平面。解 令=1,=0, =0得=0, (0)= -,1| =0,1,1,曲線在(0,1,1)的切線為 ，法平面為 y + z = 0 。2 求三次曲線在點的切線和法平面。解 ，切線為，法平面為 。3. 證明圓柱螺線= a ,a, ()的切線和z軸作固定角。證明 = -a ,a,設(shè)切線與z軸夾角為,則 =為常數(shù)，故為定角（其中為z軸的單位向量）。4. 求懸鏈線=，（-）

4、從=0起計算的弧長。解=1，| |= = ，。求曲線在平面與y = 9a之間的弧長。解曲線的向量表示為，曲面與兩平面與y = 9a的交點分別為x=a 與x=3a , ，所求弧長為。10. 將圓柱螺線=a，a，b化為自然參數(shù)表示。解 = -a,a,b，s = ，所以，代入原方程得 =a, a, 11.求用極坐標方程給出的曲線的弧長表達式。解 由，知=-，+，| = ，從到的曲線的弧長是s= 。§4 空間曲線1求圓柱螺線=a，=a，= b在任意點的密切平面的方程。解 = -a,a,b,=-a,- a,0 所以曲線在任意點的密切平面的方程為 = 0 ，即(b)x-(b)y+az-abt=0

5、 .2. 求曲線 = t,t,t 在原點的密切平面、法平面、從切面、切線、主法線、副法線。解 原點對應(yīng)t=0 , (0)= +t,- t,+t=0,1,1，2+ t,- t,2+t =2,0,2 ， 所以切線方程是 ，法面方程是 y + z = 0 ；密切平面方程是=0 ，即x+y-z=0 ，主法線的方程是 即 ；從切面方程是2x-y+z=0 ,副法線方程式 。3證明圓柱螺線=a，=a，= b的主法線和z軸垂直相交。證 = -a,a,b, =-a,- a,0 ，由知為主法線的方向向量，而 所以主法線與z軸垂直；主法線方程是與z軸有公共點(o,o,bt)。故圓柱螺線的主法線和z軸垂直相交。4.在

6、曲線x = coscost ,y = cossint , z = tsin的副法線的正向取單位長，求其端點組成的新曲線的密切平面。解 = -cossint, coscost, sin , = -coscost,- cossint , 0 sinsint ,- sincost , cos 新曲線的方程為= coscost + sinsint ，cossint- sincost ，tsin + cos 對于新曲線=-cossint+ sincost ，coscost+ sinsint，sin =sin(-t), cos(-t), sin , = -cos(-t), sin(-t),0 ,其密切平面

7、的方程是即 sin sin(t-) x sin cos(t-) y + z tsin cos = 0 .5 證明曲線是球面曲線的充要條件是曲線的所有法平面通過一定點。證 方法一：設(shè)一曲線為一球面曲線，取球心為坐標原點，則曲線的向徑具有固定長，所以·= 0，即曲線每一點的切線與其向徑垂直，因此曲線在每一點的法平面通過這點的向徑，也就通過其始點球心。若一曲線的所有法平面通過一定點，以此定點為坐標原點建立坐標系，則·= 0，具有固定長，對應(yīng)的曲線是球面曲線。方法二：是球面曲線存在定點（是球面中心的徑矢）和常數(shù)R（是球面的半徑）使 ，即 （）而過曲線上任一點的法平面方程為 ?？芍?/p>

8、平面過球面中心（）成立。所以，曲線是球面曲線的充要條件是曲線的所有法平面通過一定點。6.證明過原點平行于圓柱螺線=a，a，b的副法線的直線軌跡是錐面.證 = -a,a, , =-a,- a,0 ，×=為副法線的方向向量，過原點平行于副法線的直線的方程是 ，消去參數(shù)t得。7求以下曲面的曲率和撓率 , 。解 ，所以 。 ， ×= ， 。 8已知曲線，求基本向量；曲率和撓率；驗證伏雷內(nèi)公式。分析 這里給出的曲線的方程為一般參數(shù)，一般地我們可以根據(jù)公式去求基本向量和曲率撓率，我們也可以利用定義來求。解 ，（設(shè)sintcost>0）， 則， ， ， ， ，由于與方向相反，所以

9、顯然以上所得 滿足 ，而 也滿足伏雷內(nèi)公式 。9.證明如果曲線的所有切線都經(jīng)過一的定點，則此曲線是直線。證方法一：取定點為坐標原點建坐標系，曲線的方程設(shè)為，則曲線在任意點的切線方程是，由條件切線都過坐標原點，所以，可見，所以具有固定方向，故是直線。方法二：取定點為坐標原點建坐標系，曲線的方程設(shè)為，則曲線在任意點的切線方程是，由條件切線都過坐標原點，所以，于是，從而×，所以由曲率的計算公式知曲率k，所以曲線為直線。方法二：設(shè)定點為，曲線的方程為，則曲線在任意點的切線方程是，由條件切線都過定點，所以，兩端求導(dǎo)得: , 即 ，而無關(guān)，所以，可知，因此曲線是直線。10. 證明如果曲線的所有密

10、切平面都經(jīng)過一的定點，則此曲線是平面曲線。證方法一：取定點為坐標原點建坐標系，曲線的方程設(shè)為，則曲線在任意點的密切平面的方程是，由條件，即（）=0，所以平行于一固定平面，即是平面曲線。方法二：取定點為坐標原點建坐標系，曲線的方程設(shè)為，則曲線在任意點的密切平面方程是，由條件，兩邊微分并用伏雷內(nèi)公式得 。若,又由可知,所以平行于固定方向，這時表示直線,結(jié)論成立。否則，從而知曲線是平面曲線。方法三：取定點為坐標原點建坐標系，曲線的方程設(shè)為，則曲線在任意點的密切平面方程是，由條件，即（）=0，所以，共面，若，則是直線，否則可設(shè)，所以共面，所以，從而知曲線是平面曲線。 11. 證明如果一條曲線的所有法平

11、面包含常向量，那么曲線是直線或平面曲線。證 方法一：根據(jù)已知，若是常向量，則k=0 ，這時曲線是直線。否則在兩邊微分得·=，即 k·=,所以·=，又因，所以，而為單位向量，所以可知為常向量，于是，即，此曲線為平面曲線。方法二：曲線的方程設(shè)為，由條件·，兩邊微分得·，·，所以， ，共面，所以（）。由撓率的計算公式可知，故曲線為平面曲線。當×時是直線。方法三：曲線的方程設(shè)為，由條件·，兩邊積分得（是常數(shù)）。因是平面的方程，說明曲線在平面上，即曲線是平面曲線，當有固定方向時為直線。12證明曲率為常數(shù)的空間曲線的曲率中心的

12、軌跡仍是曲率為常數(shù)的曲線。證明 設(shè)曲線（C）：的曲率k為常數(shù),其曲率中心的軌跡（）的方程為： ，（為曲線（C）的主法向量），對于曲線（）兩邊微分得 ，（，分別為曲線（C）的單位切向量，副法向量和撓率），曲線（）的曲率為 為常數(shù)。13.證明曲線x=1+3t+2,y=2-2t+5,z=1-為平面曲線，并求出它所在的平面方程 。證 =3+4t, -+10t,-2t， =4，10，-， ，0，0曲線的撓率是，所以曲線為平面曲線。曲線所在平面是曲線在任一點的密切平面。對于=, =,，=3, -,， =4，10，-， ，0，0。所以曲線的密切平面，即曲線所在平面是，即2x+3y+19z 2714設(shè)在兩條曲

13、線、的點之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，使它們在對應(yīng)點的切線平行，證明它們在對應(yīng)點的主法線以及副法線也互相平行。證 設(shè)曲線：=與：點s與一一對應(yīng)，且對應(yīng)點的切線平行，則=, 兩端對s求微商得, 即 ，(這里k0，若k=0，則無定義)，所以，即主法線平行，那么兩曲線的副法線也平行。15設(shè)在兩條曲線、的點之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，使它們在對應(yīng)點的主法線平行，證明它們在對應(yīng)點的切線作固定角。證 設(shè),分別為曲線、的切向量, 分別為曲線、的主法向量,則由已知，而將式代入。所以·常數(shù)，故量曲線的切線作固定角。16.若曲線的主法線是曲線的副法線, 的 曲率、撓率分別為。求證k=(+) ,其中為常數(shù)。證 設(shè)的

14、向量表示為=，則可表示為=+， 的切向量=+（k+）與垂直，即·，所以為常數(shù)，設(shè)為，則（k）+。再求微商有k（k）k，·（k）k，所以有k=(+)。17曲線=a(t-sint),a(1-cost),4acos在那點的曲率半徑最大。解 = a1-cost,sint,-2sin , = asint,cost,-cos, ,×=,|×|= , , ,所以在t=(2k+1)，k為整數(shù)處曲率半徑最大。18 已知曲線上一點的鄰近一點，求點到點的密切平面、法平面、從切平面的距離（設(shè)點的曲率、撓率分別為）。解 ，設(shè)，其中。則上式中的三個系數(shù)的絕對值分別是點到的法平面、從

15、切平面、密切平面的距離。 §5 一般螺線5. 證明如果所有密切平面垂直于固定直線,那么它是平面直線.證法一: 當曲線的密切平面垂直于某固定直線時,曲線的副法向量是常向量.即=。曲線的撓率的絕對值等于|為零，所以曲線為平面曲線。證法二：設(shè)是固定直線一向量，則·=0 ，積分得·= ,說明曲線在以為法向量的一個平面上,因而為平面直線。證法三：設(shè)是固定直線一向量，則·=0 ，再微分得·=0 ，·=0 。所以 、 、三向量共面，于是（）= 0 ，由撓率的計算公式知=0，因此曲線為平面曲線。7 如果兩曲線在對應(yīng)點有公共的副法線，則它們是平面曲線。

16、證 設(shè)一曲線為：，則另一曲線的表達式為： ，為曲線在點s的主法向量，也應(yīng)為在對應(yīng)點的副法線的方向向量。與正交，即·，于是，為常數(shù)。，k（k）也與正交，即·-=0,而,所以有，曲線為平面曲線。同理曲線為平面曲線。8. 如果曲線：為一般螺線, 、為的切向量和主法向量，R為的曲率半徑。證明：=R也是一般螺線。證因為為一般螺線, 所以存在一非零常向量使與成固定角,對于曲線,其切向量=與共線,因此也與非零常向量成固定角, 所以也為一般螺線。9證明曲線為一般螺線的充要條件為證，其中k0.曲線為一般螺線的充要條件為 為常數(shù),即=0,也就是 。方法二： ，即。曲線為一般螺線，則存在常向量，使·=常數(shù)，所以所以共面，從而（）=0。反之，若（）=0，則平行于固定平面，設(shè)固定平面的法矢為，則有，從而·= p (常數(shù))，所以為一般螺線。方法三：曲線為一般螺線存在常向量使，即平行于固定平面（以為法向量的平面）平行于一固定平面 。方法四：設(shè)為一般螺線，存在常向量使=常數(shù)，即常數(shù)，連續(xù)三次求微商得， ，所以。因為，所以平行于固定平面，設(shè)固定平面的法矢為（常向量），則，而，所以曲線為一般螺線。10. 證明一條曲線的所有切線不可能同時都是另一條曲線的切線。證 設(shè)曲線與在對應(yīng)點有公共的切線，且的表達式為： ，則：，其切向