常微分方程的初等解法與求解技巧

1、山西師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）常微分方程的初等解法與求解技巧姓 名張娟院 系數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院專 業(yè)信息與計(jì)算科學(xué)班 級(jí)12510201學(xué) 號(hào)1251020126指導(dǎo)教師王曉鋒答辯日期成 績(jī)常微分方程的初等解法與求解技巧內(nèi)容摘要常微分方程在數(shù)學(xué)中發(fā)揮著舉足輕重的作用，同時(shí)它的應(yīng)用在日常生活里隨處可見(jiàn)，因此掌握常微分方程的初等解法與求解技巧是非常必要的.本論文主要論述了其發(fā)展、初等解法與求解技巧，前者主要有變量分離、積分因子、一階隱式微分方程的參數(shù)表示，通過(guò)舉例從中總結(jié)出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧.【關(guān)鍵詞】變量分離 一階隱式微分方程 積分因子 求解技巧Elementary Solut

2、ion and Solving Skills of Ordinary Differential EquationAbstractOrdinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, its necessary to grasp the elementary solution of ordinary dif

3、ferential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representa

4、tion, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve.【Key Words】the separation of variables the first order implicit differential equation integrating factor solution techniques目錄1.引論12.變量分離方程與變量變換12.1變量分離方程的解法12.2變量分離方程的舉例12.3變量分離方程的幾種類型23.線性微分方程和常數(shù)變

5、易法63.1線性微分方程與常數(shù)變易法63.2伯努利微分方程84.恰當(dāng)微分方程與積分因子94.1恰當(dāng)微分方程94.2積分因子115.一階隱式微分方程與參數(shù)表示135.1一階隱式微分方程的主要類型136.常微分方程的若干求解技巧186.1將一階微分方程變?yōu)榈男问?86.2分項(xiàng)組合196.3積分因子的選擇207.總結(jié)21參考文獻(xiàn)21致謝22常微分方程的初等解法與求解技巧學(xué)生姓名：張娟 指導(dǎo)教師：王曉鋒1.引論常微分方程的實(shí)質(zhì)就是一個(gè)關(guān)系式，這個(gè)關(guān)系式是由自變量、未知函數(shù)和未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)組成的，且自變量的個(gè)數(shù)為一個(gè)1丁同仁，李承治.常微分方程教程M.北京：高等教育出版社，1998，1-27.1.其發(fā)展

6、歷史經(jīng)歷了一個(gè)很漫長(zhǎng)的過(guò)程，在這個(gè)發(fā)展過(guò)程中涌現(xiàn)出很多科學(xué)家例如歐拉、拉格朗日、柯西等，他們對(duì)常微分方程的發(fā)展做出了很大的貢獻(xiàn).常微分方程的發(fā)展歷史可分為三個(gè)階段，分別是“求通解”階段、“求定解”階段、“求所有解”的新階段1.常微分方程在數(shù)學(xué)中占有很重要的地位，有很多偉人例如賽蒙斯都曾評(píng)價(jià)過(guò)常微分方程在數(shù)學(xué)中的地位，指出其在數(shù)學(xué)中的不可替代的作用2 美塞蒙斯GF.微分方程M.張理京譯.北京：人民教育出版社，1981.3王高雄，周之銘，朱思銘等.常微分方程(第三版)M.北京:高等教育出版社，2006.7,1-80.4焦洪田.一階非線性微分方程的常數(shù)變易法J.雁北師范學(xué)院學(xué)報(bào)，1999.12，44

7、-45. 5鄭重武. 一類微分方程的積分因子及其解法.運(yùn)城學(xué)院報(bào).2008.6華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第三版上冊(cè)）M.北京：高等教育出本社,2001.6,1-23.7孫清華，李金蘭，孫昊.常微分方程內(nèi)容.方法與技巧M武漢：華中大學(xué)科技出版，2006,8-10.8黃啟星，任永泰，陳秀東等.常微分方程M.上海:人民教育出版社，2008,173-180.致謝: 從論文的選題開(kāi)始到現(xiàn)在，碰到過(guò)許許多多的問(wèn)題，每次出現(xiàn)問(wèn)題王老師都會(huì)給予細(xì)心指導(dǎo)，非常謝謝他對(duì)我的幫助，對(duì)他的感激之情是無(wú)法用言語(yǔ)表達(dá).其次，感謝全部幫助過(guò)我的舍友們，在我困惑之余伸出援手，他們傳授的知識(shí)是我完成論文的基礎(chǔ)，論文中遇到的

8、問(wèn)題如果不與她們討論是不可能順利解決的.最后，感謝各位評(píng)審老師對(duì)此論文不足之處的指導(dǎo)糾正.2.常微分方程非常重要，其初等解法有很多種，我們應(yīng)該掌握其初等解法與技巧.2.變量分離方程與變量變換2.1變量分離方程的解法 對(duì)于變量分離方程，若，則有 ： ，兩邊積分，得到:，為任意實(shí)數(shù).如果 得，驗(yàn)證一下是否包括在中，若不包括，需補(bǔ)上特解.2.2變量分離方程的舉例（1），求該方程的解解：當(dāng)時(shí)，兩邊積分，得到：，為任意實(shí)數(shù)故 ，為任意實(shí)數(shù)顯然y=0包括在中，故方程的通解為：，為任意實(shí)數(shù)2.3變量分離方程的幾種類型2.3.1齊次微分方程 對(duì)于齊次微分方程，解法：令 則有： ， （2-1）兩邊對(duì)求導(dǎo)得：，

9、（2-2）將（2-1），（2-2）代入齊次微分方程中可得：，即 ，從而可以求得其解舉例：求解方程.解：原方程可化解為：，這個(gè)方程為齊次微分方程，令，則有 ，兩邊對(duì)求導(dǎo)得： ，將和代入原方程中得：，這個(gè)方程為可分離變量方程，當(dāng)時(shí)解之可得： ,其中為使等式有意義的任意常數(shù).即當(dāng)時(shí)，顯然是的解，且不包含在中，將代入或中可得：2.3.2有理比式的三種類型類型一（常數(shù)）情形，則原方程變?yōu)椋?，故方程的通解為：，其中為任意常?shù).舉例：求解下列方程的解.解：根據(jù)題意可得：，即 ，故可得： ，為任意常數(shù).因此原方程的通解為：，為任意常數(shù).類型二情形，令，兩邊對(duì)求導(dǎo)可得：，這個(gè)方程是變量分離方程.舉例：做適當(dāng)變換

10、求解方程.解：經(jīng)判斷為第二種類型，令 ，兩邊對(duì)x求導(dǎo)可得：，故可得:，解之可得： ，為任意常數(shù).將代入并化簡(jiǎn)可得：，為任意常數(shù).類型三情形，如果方程中的，不全等于零，都是，的一次多項(xiàng)式，則 （2-3）可以求得解為： 令 則（2-3）化解為： 故化為:，故可以解出該方程的解，解出其解，再將 帶入其解中，從而得到所求方程的解.舉例：解下列方程 .解：顯然，故為第三種類型，解方程組 得： ，.于是令 代入原方程中，則有：，這個(gè)方程為可變量分離方程，故令，則 ，等式兩邊對(duì)求導(dǎo)可得：，將代入中得到：,化解得：，解之可得： ，換入原來(lái)的變量得：，其中為任意常數(shù).故原方程的解為：，其中c為任意常數(shù).上面三種

11、類型解題方法和步驟也適用于下列類型的方程：(1)，(2)，(3)，(4).3.線性微分方程和常數(shù)變易法3.1線性微分方程與常數(shù)變易法如果一階線性微分方程可表示為：，這里，在定義域上是連續(xù)的函數(shù).如果，則原式變成，故形如的類型通常叫做一階齊次線性微分方程1.如果，則原式變成，故形如的類型通常叫做一階非齊次線性微分方程1.因?yàn)樽兞糠蛛x方程，其通解為：，為任意常數(shù).下面討論形如形式的方程解的求法.由上可知其所對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的解為：，令 ， （3-1）兩邊對(duì)求導(dǎo)可得： ， （3-2）將（3-1），（3-2）代入中并化簡(jiǎn)可得：，兩邊積分得：，其中是任意常數(shù).因此可得原方程的通解為： ，這里是任意常數(shù)

12、.這種方法叫做常數(shù)變易法1.舉例：求解方程.解：該方程所對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程為：，解之得： ，為任意常數(shù).令， （3-3）兩邊對(duì)求導(dǎo)可得： ， （3-4）將（3-3），（3-4）都代到中并化解可得：，因此有： ，從而可以求得該方程的解為：，為任意常數(shù).因此可得原方程的通解為： ，這里為任意常數(shù).3.2伯努利微分方程定義：形如的類型，并且是常數(shù)，其中，關(guān)于是連續(xù)的，故我們稱為伯努利微分方程2解法：明顯是這個(gè)方程的一個(gè)解.當(dāng)時(shí)，在這個(gè)方程兩端同乘得：， （3-5）于是令 ， (3-6)兩端對(duì)x求導(dǎo)有： ， (3-7)將(3-6)等式、(3-7)等式代到(3-5)等式里并化簡(jiǎn)可得：，從而可以求得該

13、方程的通解.舉例：求方程的解.解：顯然為方程的解.當(dāng)時(shí)，兩邊同乘得：， (3-8)令 ， （3-9)兩邊對(duì)求導(dǎo)可得：， (3-10)將(3-9),(3-10)代到(3-8)并化解變?yōu)椋海?(3-11)其所對(duì)應(yīng)的齊次微分方程為：,其解為： ,為任意常數(shù).利用常數(shù)變易法求解， 令 ， (3-12)兩邊對(duì)求導(dǎo)得：， (3-13)由等式(3-11)、 (3-12)、(3-13)聯(lián)立并化解可得：，從而可求得其解為：, 其中為任意常數(shù).則 ，其中為任意常數(shù).將原變量代入得： ，故原方程的解為： 或.4.恰當(dāng)微分方程與積分因子4.1恰當(dāng)微分方程定義： 一階微分方程可表示為 ，其中，在使，有意義的范圍上關(guān)于，

14、可導(dǎo)且連續(xù)，若，則稱為恰當(dāng)微分方程.判定：判定為恰當(dāng)微分方程等價(jià)條件是：.求解：顯然恰當(dāng)微分方程的通解就是其中為常數(shù).由恰當(dāng)微分方程可得： ， （4-1） ， （4-2）從關(guān)系式（4-1）出發(fā)，把看做未知參數(shù)，解這個(gè)方程可得：， （4-3）其中是的任意可微函數(shù).選擇使同時(shí)滿足（4-2），即，故有 ， （4-4）則有（4-4）的右端只與有關(guān)，事實(shí)上是僅僅需證明（4-4）的右端滿足下列等式，故（4-4）式的右端只與有關(guān)，故可以得到：，將代入（4-3）中求得：，為任意常數(shù).舉例：驗(yàn)證方程是恰當(dāng)微分方程，并求出其解.解：先驗(yàn)證是恰當(dāng)微分方程，因，.且有 ，.即可得，則原方程為恰當(dāng)微分方程.故可設(shè)：，則

15、有： ， （4-5）， （4-6）由方程（4-5）可以解得：，為了確定，在的兩端對(duì)求導(dǎo)數(shù)，并使之滿足等式：，于是可得： ，積分后可得： ，故 ，因此可得原方程的通解為： ，這里為任意常數(shù).4.2積分因子定義：如果存在且為連續(xù)可微的函數(shù)，使得：，恰好為恰當(dāng)微分方程，也就是存在一個(gè),滿足下列等式：，則函數(shù)稱為方程的積分因子，的解為：，為任意常數(shù).它也是方程的通解.求法：方程 有只與有關(guān)的積分因子的等價(jià)條件是：，這里僅為的函數(shù).則方程的一個(gè)積分因子為：，方程有只與有關(guān)的積分因子的等價(jià)條件是：,這里僅為函數(shù)，則方程的一個(gè)積分因子為：.舉例：求方程的解 .解：由題意可知：,則有： ，故可求得積分因子為:

16、 ，原式兩邊同乘可得：，則有 ， （4-7）， （4-8）由（4-7）式兩邊積分得： ，為了確定，在的兩邊對(duì)求偏導(dǎo)，得：，與（4-8）比較可得： ，兩邊積分可得： ,故原方程的解為： ，為任意常數(shù).5.一階隱式微分方程與參數(shù)表示5.1一階隱式微分方程的主要類型在這一章中，主要介紹以下四種類型：（1）；（2）；（3）；（4）.5.1.1一階隱式微分方程的參數(shù)表示類型一：.首先討論形如方程的解法，其中具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)為了討論的簡(jiǎn)單引入?yún)?shù)，代入中可得：，對(duì)進(jìn)行對(duì)求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，其中僅與有關(guān)，并將代入，因此得：，可以求得該方程的解.（1） 若解出的值：，則可以得到：，因此原方程的通解為： ，這里為任意

17、常數(shù).（2）若解出的值：，于是原方程的通解為： 其中為參數(shù)，為任意常數(shù).（3）若解出的表達(dá)式滿足：因此得到原方程的通解為： 其中為參數(shù)，為任意常數(shù).舉例：求方程的解.解：由題可知這個(gè)方程為的類型，故引入?yún)?shù)，令，代入原式中，并解出，即 ，在這個(gè)式子兩邊對(duì)求導(dǎo)數(shù)，得到:，化解得： ，則有： 或.當(dāng)時(shí)，解得：，將之代入中化簡(jiǎn)得： ，為任意常數(shù)當(dāng)時(shí)，解得，將之代入中又得到方程一個(gè)解為：，故方程的解為： ，（為任意常數(shù)）或.類型二：討論的解法，假設(shè)函數(shù)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù).同樣為了討論方便引入?yún)?shù)，代入中得：，兩邊對(duì)求導(dǎo)數(shù)，其中將代入得到：，這個(gè)方程為關(guān)于，的一階微分方程，故可運(yùn)用前面學(xué)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)來(lái)求其通解

18、，不妨設(shè)求得通解為： ，則得原方程的通解為： 舉例：求解方程.解：該方程為第二種類型，可解出,并引入?yún)?shù)代入的表達(dá)式中可得：，,等式兩邊對(duì)求導(dǎo)可得： ，化簡(jiǎn)得： ，從而可以解得該方程的解為： ，將之代入中可得：，所以方程的通解為： ，其中為任意常數(shù).顯然也是方程的解.類型三：.現(xiàn)在討論形如的方程的解法，為了討論的簡(jiǎn)便引入?yún)?shù)：，代入原方程中得；，從而可以選擇恰當(dāng)?shù)膮?shù)形式： 為參數(shù).且滿足關(guān)系，因此可將和代入得到： ，等式兩邊積分可得： ，故原方程參數(shù)形式的通解為： 為任意常數(shù).舉例：求解下列方程的解.解：可以判斷為第三種類型，故引入?yún)?shù)，則原方程的參數(shù)形式為： t為參數(shù).又滿足，將的參數(shù)形式

19、代入得：，兩邊積分可得： ，為任意常數(shù).故原方程的參數(shù)形式通解為：t 為參數(shù)，為任意常數(shù).類型四：.現(xiàn)在討論形如的方程的解法，為了討論的簡(jiǎn)便引入?yún)?shù)：代入原方程中得：,從而可以選擇恰當(dāng)?shù)膮?shù)形式： t為參數(shù)，且滿足關(guān)系，因此可將和代入得到： ，該方程為變量分離方程，故可得：，為任意常數(shù).因此原方程的通解為：這里為任意常數(shù)，為參數(shù).舉例：求解下列方程：.解：該方程為第四種類型,引入?yún)?shù)令，即，代入原式可化得： ,代入中可得： ，兩邊積分得： ，為任意常數(shù).故原方程的解為： ，為任意常數(shù).6.常微分方程的若干求解技巧6.1將一階微分方程變?yōu)榈男问饺粢浑A齊次微分方程可化簡(jiǎn)的類型.而這種類型不容易求解，這時(shí)需對(duì)式子兩邊取倒數(shù)，即將其化為的類型，這里為未知函數(shù)，為自變量，有時(shí)這種類型更容易求解.舉例：求方程的通解.解：顯然是方程的解，當(dāng) 時(shí)直接求解不容易，因此我們可以考慮將原式化為:，求出其對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解為：， （6-1）再利用常數(shù)變易法，令 ， （6-2）故有：， （6-3）把（6-2