近六年吉林中考數(shù)學(xué)第25題動態(tài)幾何與分段函數(shù)問題

1、25（10分）（2017吉林）如圖，在RtABC中，ACB=90°，A=45°，AB=4cm點P從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿邊AB向終點B運動過點P作PQAB交折線ACB于點Q，D為PQ中點，以DQ為邊向右側(cè)作正方形DEFQ設(shè)正方形DEFQ與ABC重疊部分圖形的面積是y（cm2），點P的運動時間為x（s）（1）當(dāng)點Q在邊AC上時，正方形DEFQ的邊長為cm（用含x的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)點P不與點B重合時，求點F落在邊BC上時x的值；（3）當(dāng)0x2時，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（4）直接寫出邊BC的中點落在正方形DEFQ內(nèi)部時x的取值范圍【考點】LO：四邊形綜合題【分析】

2、（1）國際已知條件得到AQP=45°，求得PQ=AP=2x，由于D為PQ中點，于是得到DQ=x；（2）如圖，延長FE交AB于G，由題意得AP=2x，由于D為PQ中點，得到DQ=x，求得GP=2x，列方程于是得到結(jié)論；（3）如圖，當(dāng)0x 時，根據(jù)正方形的面積公式得到y(tǒng)=x2；如圖，當(dāng)x1時，過C作CHAB于H，交FQ于K，則CH=AB=2，根據(jù)正方形和三角形面積公式得到y(tǒng)=x2+20x8；如圖，當(dāng)1x2時，PQ=42x，根據(jù)三角形的面積公式得到結(jié)論；（4）當(dāng)Q與C重合時，E為BC的中點，得到x=1，當(dāng)Q為BC的中點時，BQ=，得到x=，于是得到結(jié)論【解答】解：（1）ACB=90

3、6;，A=45°，PQAB，AQP=45°，PQ=AP=2x，D為PQ中點，DQ=x，故答案為：x；（2）如圖，延長FE交AB于G，由題意得AP=2x，D為PQ中點，DQ=x，GP=2x，2x+x+2x=4，x=；（3）如圖，當(dāng)0x時，y=S正方形DEFQ=DQ2=x2，y=x2；如圖，當(dāng)x1時，過C作CHAB于H，交FQ于K，則CH=AB=2，PQ=AP=2x，CK=22x，MQ=2CK=44x，F(xiàn)M=x（44x）=5x4，y=S正方形DEFQSMNF=DQ2FM2，y=x2（5x4）2=x2+20x8，y=x2+20x8；如圖，當(dāng)1x2時，PQ=42x，DQ=2x，y=

4、SDEQ=DQ2，y=（2x）2，y=x22x+2；（4）當(dāng)Q與C重合時，E為BC的中點，即2x=2，x=1，當(dāng)Q為BC的中點時，BQ=，PB=1，AP=3，2x=3，x=，邊BC的中點落在正方形DEFQ內(nèi)部時x的取值范圍為：1x【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，圖形面積的計算，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵25（10分）（2016吉林）如圖，在等腰直角三角形ABC中，BAC=90°，AC=8cm，ADBC于點D，點P從點A出發(fā)，沿AC方向以cm/s的速度運動到點C停止，在運動過程中，過點P作PQAB交BC于點Q，以線段PQ為邊作等腰直角三角形PQM，且PQM=90&

5、#176;（點M，C位于PQ異側(cè)）設(shè)點P的運動時間為x（s），PQM與ADC重疊部分的面積為y（cm2）（1）當(dāng)點M落在AB上時，x=；（2）當(dāng)點M落在AD上時，x=；（3）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍【考點】三角形綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）當(dāng)點M落在AB上時，四邊形AMQP是正方形，此時點D與點Q重合，由此即可解決問題（2）如圖1中，當(dāng)點M落在AD上時，作PEQC于E，先證明DQ=QE=EC，由PEAD，得=，由此即可解決問題（3）分三種情形當(dāng)0x4時，如圖2中，設(shè)PM、PQ分別交AD于點E、F，則重疊部分為PEF，當(dāng)4x時，如圖3中，設(shè)PM、MQ分別交AD于E、

6、G，則重疊部分為四邊形PEGQ當(dāng)x8時，如圖4中，則重合部分為PMQ，分別計算即可解決問題【解答】解：（1）當(dāng)點M落在AB上時，四邊形AMQP是正方形，此時點D與點Q重合，AP=CP=4，所以x=4故答案為4（2）如圖1中，當(dāng)點M落在AD上時，作PEQC于EMQP，PQE，PEC都是等腰直角三角形，MQ=PQ=PCDQ=QE=EC，PEAD，=，AC=8，PA=，x=÷=故答案為（3）當(dāng)0x4時，如圖2中，設(shè)PM、PQ分別交AD于點E、F，則重疊部分為PEF，AP=x，EF=PE=x，y=SPEF=PEEF=x2當(dāng)4x時，如圖3中，設(shè)PM、MQ分別交AD于E、G，則重疊部分為四邊形P

7、EGQPQ=PC=8x，PM=162x，ME=PMPE=163x，y=SPMQSMEG=（8x）2（163x）2=x2+32x64當(dāng)x8時，如圖4中，則重合部分為PMQ，y=SPMQ=PQ2=（8x）2=x216x+64綜上所述y=【點評】本題考查三角形綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)、分段函數(shù)、三角形面積等知識，解題的關(guān)鍵是正確畫出圖象，學(xué)會分類討論，屬于中考壓軸題25（10分）（2015吉林）兩個三角板ABC，DEF，按如圖所示的位置擺放，點B與點D重合，邊AB與邊DE在同一條直線上（假設(shè)圖形中所有的點，線都在同一平面內(nèi)）其中，C=DEF=90°，ABC=F=30°，AC=

8、DE=6cm現(xiàn)固定三角板DEF，將三角板ABC沿射線DE方向平移，當(dāng)點C落在邊EF上時停止運動設(shè)三角板平移的距離為x（cm），兩個三角板重疊部分的面積為y（cm2）（1）當(dāng)點C落在邊EF上時，x=cm；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）設(shè)邊BC的中點為點M，邊DF的中點為點N直接寫出在三角板平移過程中，點M與點N之間距離的最小值考點： 幾何變換綜合題版權(quán)所有分析： （1）根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得BG的長，根據(jù)線段的和差，可得GE的長，根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得答案；（2）分類討論：當(dāng)0t6時，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；當(dāng)6t12時，當(dāng)12t15時，根據(jù)面積的和差，可得

9、答案；（3）根據(jù)點與直線上所有點的連線中垂線段最短，可得M在線段NG上，根據(jù)三角形的中位線，可得NG的長，根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得MG的長，根據(jù)線段的和差，可得答案解答： 解：（1）如圖1所示：作CGAB于G點，在RtABC中，由AC=6，ABC=30，得BC=6在RtBCG中，BG=BCcos30°=9四邊形CGEH是矩形，CH=GE=BG+BE=9+6=15cm，故答案為：15；（2）當(dāng)0x6時，如圖2所示，GDB=60°，GBD=30°，DB=x，得DG=x，BG=x，重疊部分的面積為y=DGBG=×x×x=x2當(dāng)6x12時，如圖3所示，B

10、D=x，DG=x，BG=x，BE=x6，EH=（x6）重疊部分的面積為y=SBDGSBEH=DGBGBEEH，即y=×x×x（x6）（x6）化簡，得y=x2+2x6；當(dāng)12x15時，如圖4所示，AC=6，BC=6，BD=x，BE=（x6），EG=（x6），重疊部分的面積為y=SABCSBEG=ACBCBEEG，即y=×6×6（x6）（x6），化簡，得y=18（x212x+36）=x2+2x+12；綜上所述：y=；（3）如圖5所示作NGDE于G點，點M在NG上時MN最短，NG是DEF的中位線，NG=EF=MB=CB=3，B=30°，MG=MB=，

11、MN最小=3=點評： 本題考查了幾何變換綜合題，（1）利用了銳角三角函數(shù)，矩形的性質(zhì)；（2）利用面積的和差，分類討論時解題關(guān)鍵，以防遺漏；（3）利用了垂線段最短的性質(zhì)，三角形的中位線定理，銳角三角函數(shù)25（10分）（2014吉林）如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且AC=6cm，BD=8cm，動點P，Q分別從點B，D同時出發(fā)，運動速度均為1cm/s，點P沿BCD運動，到點D停止，點Q沿DOB運動，到點O停止1s后繼續(xù)運動，到B停止，連接AP，AQ，PQ設(shè)APQ的面積為y（cm2）（這里規(guī)定：線段是面積0的幾何圖形），點P的運動時間為x（s）（1）填空：AB=cm，AB與CD之間

12、的距離為cm；（2）當(dāng)4x10時，求y與x之間的函數(shù)解析式；（3）直接寫出在整個運動過程中，使PQ與菱形ABCD一邊平行的所有x的值考點：四邊形綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：（1）根據(jù)勾股定理即可求得AB，根據(jù)面積公式求得AB與CD之間的距離（2）當(dāng)4x10時，運動過程分為三個階段，需要分類討論，避免漏解：當(dāng)4x5時，如答圖11所示，此時點Q與點O重合，點P在線段BC上；當(dāng)5x9時，如答圖12所示，此時點Q在線段OB上，點P在線段CD上；當(dāng)9x10時，如答圖13所示，此時點Q與點B重合，點P在線段CD上（3）有兩種情形，需要分類討論，分別計算：若PQCD，如答圖21所示；若PQBC，如答圖22所示

13、解答：解：（1）菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，ACBD，AB=5，設(shè)AB與CD間的距離為h，ABC的面積S=ABh，又ABC的面積S=S菱形ABCD=×ACBD=×6×8=12，ABh=12，h=（2）設(shè)CBD=CDB=，則易得：sin=，cos=當(dāng)4x5時，如答圖11所示，此時點Q與點O重合，點P在線段BC上PB=x，PC=BCPB=5x過點P作PHAC于點H，則PH=PCcos=（5x）y=SAPQ=QAPH=×3×（5x）=x+6；當(dāng)5x9時，如答圖12所示，此時點Q在線段OB上，點P在線段CD上PC=x5，PD=CDPC=

14、5（x5）=10x過點P作PHBD于點H，則PH=PDsin=（10x）y=SAPQ=S菱形ABCDSABQS四邊形BCPQSAPD=S菱形ABCDSABQ（SBCDSPQD）SAPD=ACBDBQOA（BDOCQDPH）PD×h=×6×8（9x）×3×8×3（x1）（10x）（10x）×=x2+x；當(dāng)9x10時，如答圖13所示，此時點Q與點B重合，點P在線段CD上y=SAPQ=AB×h=×5×=12綜上所述，當(dāng)4x10時，y與x之間的函數(shù)解析式為：y=（3）有兩種情況：若PQCD，如答圖21所

15、示此時BP=QD=x，則BQ=8xPQCD，即，x=；若PQBC，如答圖22所示此時PD=10x，QD=x1PQBC，即，x=綜上所述，滿足條件的x的值為或點評：本題是運動型綜合題，考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、圖形面積、相似等多個知識點，重點考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想本題第（2）（3）問均需分類討論，這是解題的難點；另外，試題計算量較大，注意認(rèn)真計算25.（2013吉林）如圖，在RtABC中，ACB=90°，AC=6，BC=8.點D、E、F分別是邊AB、BC、AC的中點，連接DE、DF，動點P，Q分別從點A、B同時出發(fā)，運動速度均為1/s，點P沿A至F至D的方向運動到點D停止；點Q沿B

16、至 C的方向運動，當(dāng)點P停止運動時，點Q也停止運動.在運動過程中，過點Q作BC的垂線交AB于點M，以點P，M，Q為頂點作平行四邊形PMQN.設(shè)平行四邊形邊形PMQN與矩形FDEC重疊部分的面積為（2）（這里規(guī)定線段是面積為0有幾何圖形），點P運動的時間為（s）（1）當(dāng)點P運動到點F時，CQ= ；（2）在點P從點F運動到點D的過程中，某一時刻，點P落在MQ上，求此時BQ的長度；（3）當(dāng)點P在線段FD上運動時，求與之間的函數(shù)關(guān)系式.（備用題）（第25題）25（2012吉林）如圖，在ABC中，A=90°，AB=2cm，AC=4cm動點P從點A出發(fā)，沿AB方向以1cm/s的速度向點B運動，動

17、點Q從點B同時出發(fā)，沿BA方向以1cm/s的速度向點A運動當(dāng)點P到達點B時，P，Q兩點同時停止運動，以AP為一邊向上作正方形APDE，過點Q作QFBC，交AC于點F設(shè)點P的運動時間為ts，正方形和梯形重合部分的面積為Scm2（1）當(dāng)t=s時，點P與點Q重合；（2）當(dāng)t=s時，點D在QF上；（3）當(dāng)點P在Q，B兩點之間（不包括Q，B兩點）時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式考點：相似形綜合題；勾股定理；正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)。714585 專題：動點型。分析：（1）當(dāng)點P與點Q重合時，此時AP=BQ=t，且AP+BQ=AC=2，由此列一元一次方程求出t的值；（2）當(dāng)點D在QF上時，如答圖1

18、所示，此時AP=BQ=t由相似三角形比例線段關(guān)系可得PQ=t，從而由關(guān)系式AP+PQ+BQ=AC=2，列一元一次方程求出t的值；（3）當(dāng)點P在Q，B兩點之間（不包括Q，B兩點）時，運動過程可以劃分為兩個階段：當(dāng)1t時，如答圖3所示，此時重合部分為梯形PDGQ先計算梯形各邊長，然后利用梯形面積公式求出S；當(dāng)t2時，如答圖4所示，此時重合部分為一個多邊形面積S由關(guān)系式“S=S正方形APDESAQFSDMN”求出解：（1）當(dāng)點P與點Q重合時，AP=BQ=t，且AP+BQ=AC=2，t+t=2，解得t=1s，故填空答案：1（2）當(dāng)點D在QF上時，如答圖1所示，此時AP=BQ=tQFBC，APDE為正方形，PQDABC，DP：PQ=AC：AB=2，則PQ=DP=AP=t由AP+PQ+BQ=AC=2，得t+t+t=2，解得：t=，故填空答案：（3）當(dāng)P、Q重合時，由（1）知，此時t=1；當(dāng)D點在BC上時，如答圖2所示，此時AP=