機(jī)器人運動學(xué)

1、第2章 機(jī)器人位置運動學(xué)2.1 引言本章將研究機(jī)器人正逆運動學(xué)。當(dāng)已知所有的關(guān)節(jié)變量時，可用正運動學(xué)來確定機(jī)器人末端手的位姿。如果要使機(jī)器人末端手放在特定的點上并且具有特定的姿態(tài)，可用逆運動學(xué)來計算出每一關(guān)節(jié)變量的值。首先利用矩陣建立物體、位置、姿態(tài)以及運動的表示方法，然后研究直角坐標(biāo)型、圓柱坐標(biāo)型以及球坐標(biāo)型等不同構(gòu)型機(jī)器人的正逆運動學(xué)，最后利用Denavit-Hartenberg(D-H)表示法來推導(dǎo)機(jī)器人所有可能構(gòu)型的正逆運動學(xué)方程。實際上，機(jī)器手型的機(jī)器人沒有末端執(zhí)行器，多數(shù)情況下，機(jī)器人上附有一個抓持器。根據(jù)實際應(yīng)用，用戶可為機(jī)器人附加不同的末端執(zhí)行器。顯然，末端執(zhí)行器的大小和長度決

2、定了機(jī)器人的末端位置，即如果末端執(zhí)行器的長短不同，那么機(jī)器人的末端位置也不同。在這一章中，假設(shè)機(jī)器人的末端是一個平板面，如有必要可在其上附加末端執(zhí)行器，以后便稱該平板面為機(jī)器人的“手”或“端面”。如有必要，還可以將末端執(zhí)行器的長度加到機(jī)器人的末端來確定末端執(zhí)行器的位姿。2.2 機(jī)器人機(jī)構(gòu)機(jī)器手型的機(jī)器人具有多個自由度（DOF），并有三維開環(huán)鏈?zhǔn)綑C(jī)構(gòu)。在具有單自由度的系統(tǒng)中，當(dāng)變量設(shè)定為特定值時，機(jī)器人機(jī)構(gòu)就完全確定了，所有其他變量也就隨之而定。如圖2.1所示的四桿機(jī)構(gòu)，當(dāng)曲柄轉(zhuǎn)角設(shè)定為120°時，則連桿與搖桿的角度也就確定了。然而在一個多自由度機(jī)構(gòu)中，必須獨立設(shè)定所有的輸入變量才能知

3、道其余的參數(shù)。機(jī)器人就是這樣的多自由度機(jī)構(gòu)，必須知道每一關(guān)節(jié)變量才能知道機(jī)器人的手處在什么位置。圖2.1 具有單自由度閉環(huán)的四桿機(jī)構(gòu) 如果機(jī)器人要在空間運動，那么機(jī)器人就需要具有三維的結(jié)構(gòu)。雖然也可能有二維多自由度的機(jī)器人，但它們并不常見。機(jī)器人是開環(huán)機(jī)構(gòu)，它與閉環(huán)機(jī)構(gòu)不同（例如四桿機(jī)構(gòu)），即使設(shè)定所有的關(guān)節(jié)變量，也不能確保機(jī)器人的手準(zhǔn)確地處于給定的位置。這是因為如果關(guān)節(jié)或連桿有絲毫的偏差，該關(guān)節(jié)之后的所有關(guān)節(jié)的位置都會改變且沒有反饋。例如，在圖2.2所示的四桿機(jī)構(gòu)中，如果連桿AB偏移，它將影響桿。而在開環(huán)系統(tǒng)中（例如機(jī)器人），由于沒有反饋，之后的所有構(gòu)件都會發(fā)生偏移。于是，在開環(huán)系統(tǒng)中，必須

4、不斷測量所有關(guān)節(jié)和連桿的參數(shù)，或者監(jiān)控系統(tǒng)的末端，以便知道機(jī)器的運動位置。通過比較如下的兩個連桿機(jī)構(gòu)的向量方程，可以表示出這種差別，該向量方程表示了不同連桿之間的關(guān)系。（2.1）（2.2）可見，如果連桿AB偏移，連桿也會相應(yīng)地移動，式（2.1）的兩邊隨連桿的變化而改變。而另一方面，如果機(jī)器人的連桿AB偏移，所有的后續(xù)連桿也會移動，除非有其他方法測量，否則這種變化是未知的。為了彌補(bǔ)開環(huán)機(jī)器人的這一缺陷，機(jī)器人手的位置可由類似攝像機(jī)的裝置來進(jìn)行不斷測量，于是機(jī)器人需借助外部手段（比如輔助手臂或激光束）來構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)。或者按照常規(guī)做法，也可通過增加機(jī)器人連桿和關(guān)節(jié)強(qiáng)度來減少偏移，采用這種方法將導(dǎo)致機(jī)

5、器人重量重、體積大、動作慢，而且它的額定負(fù)載與實際負(fù)載相比非常小。圖2.2 (a)閉環(huán)機(jī)構(gòu)；(b)開環(huán)機(jī)構(gòu)2.3 機(jī)器人運動學(xué)的矩陣表示 矩陣可用來表示點、向量、坐標(biāo)系、平移、旋轉(zhuǎn)以及變換，還可以表示坐標(biāo)系中的物體和其他運動元件。2.3.1 空間點的表示空間點P（如圖2.3所示）可以用它的相對于參考坐標(biāo)系的三個坐標(biāo)來表示： (2.3)其中， 是參考坐標(biāo)系中表示該點的坐標(biāo)。顯然，也可以用其他坐標(biāo)來表示空間點的位置。圖2.3 空間點的表示2.3.2 空間向量的表示 向量可以由三個起始和終止的坐標(biāo)來表示。如果一個向量起始于點A，終止于點B，那么它可以表示為。特殊情況下，如果一個向量起始于原點（如圖2

6、.4所示），則有：（2.4）其中是該向量在參考坐標(biāo)系中的三個分量。實際上，前一節(jié)的點P就是用連接到該點的向量來表示的，具體地說，也就是用該向量的三個坐標(biāo)來表示。圖2.4 空間向量的表示向量的三個分量也可以寫成矩陣的形式，如式（2.5）所示。在本書中將用這種形式來表示運動分量：（2.5）這種表示法也可以稍做變化：加入一個比例因子w,如果x, y, z各除以w,則得到。于是，這時向量可以寫為：，其中等等 （2.6）變量w可以為任意數(shù)，而且隨著它的變化，向量的大小也會發(fā)生變化，這與在計算機(jī)圖形學(xué)中縮放一張圖片十分類似。隨著w值的改變，向量的大小也相應(yīng)地變化。如果w大于1，向量的所有分量都變大；如果w

7、小于1，向量的所有分量都變小。這種方法也用于計算機(jī)圖形學(xué)中改變圖形與畫片的大小。 如果w是1，各分量的大小保持不變。但是，如果w=0，則為無窮大。在這種情況下，x，y和z（以及）表示一個長度為無窮大的向量，它的方向即為該向量所表示的方向。這就意味著方向向量可以由比例因子w=0的向量來表示，這里向量的長度并不重要，而其方向由該向量的三個分量來表示。例2.1 有一個向量P=3i+5j+2k,按如下要求將其表示成矩陣形式：（1）比例因子為2（2）將它表示為方向的單位向量解：該向量可以表示為比例因子為2的矩陣形式，當(dāng)比例因子為0時，則可以表示為方向向量，結(jié)果如下： 和 然而，為了將方向向量變?yōu)閱挝幌蛄?/p>

8、，須將該向量歸一化使之長度等于1。這樣，向量的每一個分量都要除以三個分量平方和的開方：，等等和2.3.3 坐標(biāo)系在固定參考坐標(biāo)系原點的表示 一個中心位于參考坐標(biāo)系原點的坐標(biāo)系由三個向量表示，通常著三個向量相互垂直，稱為單位向量，分別表示法線（normal）、指向（orientation）和接近（approach）向量（如圖2.5所示）。正如2.3.3節(jié)所述，每一個單位向量都由它們所在參考坐標(biāo)系著的三個分量表示。這樣，坐標(biāo)系F可以由三個向量以矩陣的形式表示為：（2.7）圖2.5 坐標(biāo)系在參考坐標(biāo)系原點的表示2.3.4 坐標(biāo)系在固定參考坐標(biāo)系中的表示如果一個坐標(biāo)系不再固定參考坐標(biāo)系的原點（實際上也

9、可包括在原點的情況），那么該坐標(biāo)系的原點相對于參考坐標(biāo)系的位置也必須表示出來。為此，在該坐標(biāo)系原點與參考坐標(biāo)系原點之間做一個向量來表示該坐標(biāo)系的位置（如圖2.6所示）。這個向量由相對于參考坐標(biāo)系的三個向量來表示。這樣，這個坐標(biāo)系就可以由三個表示方向的單位向量以及第四個位置向量來表示。（2.8）圖2.6 一個坐標(biāo)系在另一個坐標(biāo)系中的表示如式（2.8）所示，前三個向量是w=0的方向向量，表示該坐標(biāo)系的三個單位向量的方向，而第四個w=1的向量表示該坐標(biāo)系原點相對于參考坐標(biāo)系的位置。與單位向量不同，向量P的長度十分重要，因而使用比例因子為1。坐標(biāo)系也可以由一個沒有比例因子的34矩陣表示，但不常用。例2

10、.2 如圖2.7所示的F坐標(biāo)系位于參考坐標(biāo)系中3，5，7的位置，它的n軸與x軸平行，o軸相對于y軸的角度為45°，a軸相對于z軸的角度為45°。該坐標(biāo)系可以表示為：圖2.7 坐標(biāo)系在空間的表示舉例2.3.5 剛體的表示一個物體在空間的表示可以這樣實現(xiàn)：通過在它上面固連一個坐標(biāo)系，再將該固連的坐標(biāo)系在空間表示出來。由于這個坐標(biāo)系一直固連在該物體上，所以該物體相對于坐標(biāo)系的位姿是已知的。因此，只要這個坐標(biāo)系可以在空間表示出來，那么這個物體相對于固定坐標(biāo)系的位姿也就已知了（如圖2.8所示）。如前所述，空間坐標(biāo)系可以用矩陣表示，其中坐標(biāo)原點以及相對于參考坐標(biāo)系的表示該坐標(biāo)系姿態(tài)的三

11、個向量也可以由該矩陣表示出來。于是有： （2.9）如第1章所述，空間中的一個點只有三個自由度，它只能沿三條參考坐標(biāo)軸移動。但在空間的一個鋼體有六個自由度，也就是說，它不僅可以沿著X,Y,Z三軸移動，而且還可繞這三個軸轉(zhuǎn)動。因此，要全面地定義空間以物體，需要用6條獨立的信息來描述物體原點在參考坐標(biāo)系中相對于三個參考坐標(biāo)軸的位置，以及物體關(guān)于這三個坐標(biāo)軸的姿態(tài)。而式（2.9）給出了12條信息，其中9條為姿態(tài)信息，三條為位置信息（排除矩陣中最后一行的比例因子，因為它們沒有附加信息）。顯然，在該表達(dá)式中必定存在一定的約束條件將上述信息數(shù)限制為6。因此，需要用6個約束方程將12條信息減少到6條信息。這些

12、約束條件來自于目前尚未利用的已知的坐標(biāo)系特性，即：三個向量相互垂直每個單位向量的長度必須為1圖2.8 空間物體的表示我們可以將其轉(zhuǎn)換為以下六個約束方程：（1）（2）（3）（4）（向量的長度必須為1） （2.10）（5）（6）因此，只有前述方程成立時，坐標(biāo)系的值才能用矩陣表示。否則，坐標(biāo)系將不正確。式（2.10）中前三個方程可以換用如下的三個向量的叉積來代替： （2.11）例2.3對于下列坐標(biāo)系，求解所缺元素的值，并用矩陣來表示這個坐標(biāo)系。解：顯然，表示坐標(biāo)系原點位置的值5，3，2對約束方程無影響。注意在三個方向向量中只有三個值是給定的，但這也已足夠了。根據(jù)式（2.10），得： 或 或 或 或

13、或 或 將這些方程化簡得：解這六個方程得：。應(yīng)注意，必須同號。非唯一解的原因是由于給出的參數(shù)可能得到兩組在相反方向上相互垂直的向量。最終得到的矩陣如下： 或 由此可見，兩個矩陣都滿足約束方程的要求。但應(yīng)注意三個方向向量所表述的值不是任意的，而是受這些約束方程的約束，因此不可任意給矩陣賦值。同樣，可通過叉乘并令其等于，即來求解，表示如下：或表示為： 將值代入方程得： 同時解下面這三個方程：以此來代替三個點乘方程。聯(lián)立三個單位向量長度的約束方程，便得到六個方程，求解這六個方程，可得到相同的未知參數(shù)的解。2.4 齊次變換矩陣由于各種原因，變換矩陣應(yīng)寫成方型形式，33或44均可。首先，如后面看到的，計

14、算方形矩陣的逆要比計算長方形矩陣的逆容易得多。其次，為使兩矩陣相乘，它們的維數(shù)必須匹配，即第一矩陣的列數(shù)必須與第二矩陣的行數(shù)相同。如果兩矩陣是方陣則無上述要求。由于要以不同順序?qū)⒃S多矩陣乘在一起得到機(jī)器人運動方程，因此，應(yīng)采用方陣進(jìn)行計算。為保證所表示的矩陣為方陣，如果在同一矩陣中既表示姿態(tài)又表示位置，那么可在矩陣中加入比例因子使之成為44矩陣。如果只表示姿態(tài)，則可去掉比例因子得到33矩陣，或加入第四列全為0的位置數(shù)據(jù)以保持矩陣為方陣。這種形式的矩陣稱為齊次矩陣，它們寫為： （2.12） 2.5 變換的表示變換定義為空間的一個運動。當(dāng)空間的一個坐標(biāo)系（一個向量、一個物體或一個運動坐標(biāo)系）相對于

15、固定參考坐標(biāo)系運動時，這一運動可以用類似于表示坐標(biāo)系的方式來表示。這是因為變換本身就是坐標(biāo)系狀態(tài)的變化（表示坐標(biāo)系位姿的變化），因此變換可以用坐標(biāo)系來表示。變換可為如下幾種形式中的一種：純平移繞一個軸的純旋轉(zhuǎn)平移與旋轉(zhuǎn)的結(jié)合 為了解它們的表示方法，我們將逐一進(jìn)行探討。2.5.1 純平移變換的表示如果一坐標(biāo)系（它也可能表示一個物體）在空間以不變的姿態(tài)運動，那么該坐標(biāo)就是純平移。在這種情況下，它的方向單位向量保持同一方向不變。所有的改變只是坐標(biāo)系原點相對于參考坐標(biāo)系的變化，如圖2.9所示。相對于固定參考坐標(biāo)系的新的坐標(biāo)系的位置可以用原來坐標(biāo)系的原點位置向量加上表示位移的向量求得。若用矩陣形式，新坐

16、標(biāo)系的表示可以通過坐標(biāo)系左乘變換矩陣得到。由于在純平移中方向向量不改變，變換矩陣T可以簡單地表示為： （2.13） 圖2.9 空間純平移變換的表示其中是純平移向量相對于參考坐標(biāo)系軸的三個分量。可以看到，矩陣的前三列表示沒有旋轉(zhuǎn)運動（等同于單位陣），而最后一列表示平移運動。新的坐標(biāo)系位置為： （2.14） 這個方程也可用符號寫為： （2.15） 首先，如前面所看到的，新坐標(biāo)系的位置可通過在坐標(biāo)系矩陣前面左乘變換矩陣得到，后面將看到，無論以何種形式，這種方法對于所有的變換都成立。其次可以注意到，方向向量經(jīng)過純平移后保持不變。但是，新的坐標(biāo)系的位置是和向量相加的結(jié)果。最后應(yīng)該注意到，齊次變換矩陣與矩

17、陣乘法的關(guān)系使得到的新矩陣的維數(shù)和變換前相同。例2.4 坐標(biāo)系F沿參考坐標(biāo)系的x軸移動9個單位，沿z軸移動5個單位。求新的坐標(biāo)系位置。解：由式（2.14）或式（2.15）得：= 和2.5.2 繞軸純旋轉(zhuǎn)變換的表示為簡化繞軸旋轉(zhuǎn)的推導(dǎo)，首先假設(shè)該坐標(biāo)系位于參考坐標(biāo)系的原點并且與之平行，之后將結(jié)果推廣到其他的旋轉(zhuǎn)以及旋轉(zhuǎn)的組合。假設(shè)坐標(biāo)系（）位于參考坐標(biāo)系（）的原點，坐標(biāo)系（）繞參考坐標(biāo)系的x軸旋轉(zhuǎn)一個角度，再假設(shè)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系（）上有一點P相對于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)為，相對于運動坐標(biāo)系的坐標(biāo)為。當(dāng)坐標(biāo)系繞x軸旋轉(zhuǎn)時，坐標(biāo)系上的點P也隨坐標(biāo)系一起旋轉(zhuǎn)。在旋轉(zhuǎn)之前，P點在兩個坐標(biāo)系中的坐標(biāo)是相同的（這時兩個

18、坐標(biāo)系位置相同，并且相互平行）。旋轉(zhuǎn)后，該點坐標(biāo)在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系（x ,y ,z）中保持不變，但在參考坐標(biāo)系中卻改變了（如圖2.10所示）?，F(xiàn)在要求找到運動坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)后P相對于固定參考坐標(biāo)系的新坐標(biāo)。 讓我們從x軸來觀察在二維平面上的同一點的坐標(biāo)，圖2.10顯示了點P在坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)前后的坐標(biāo)。點P相對于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)是，而相對于旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系（點P所固連的坐標(biāo)系）的坐標(biāo)仍為。由圖2.11可以看出，不隨坐標(biāo)系統(tǒng)x軸的轉(zhuǎn)動而改變，而和卻改變了，可以證明： （2.16）寫成矩陣形式為：（2.17） 圖2.10 在坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)前后的點的坐標(biāo)圖2.11 相對于參考坐標(biāo)系的點的坐標(biāo)和從x軸上觀察旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系可見，為了

19、得到在參考坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的點P（或向量P）的坐標(biāo)必須左乘旋轉(zhuǎn)矩陣。這個旋轉(zhuǎn)矩陣只適用于繞參考坐標(biāo)系的x軸做純旋轉(zhuǎn)變換的情況，它可表示為： （2.18） 注意在式（2.17）中，旋轉(zhuǎn)矩陣的第一列表示相對于x軸的位置，其值為1，0，0，它表示沿x軸的坐標(biāo)沒有改變。為簡化書寫，習(xí)慣用符號表示以及用表示。因此，旋轉(zhuǎn)矩陣也可寫為： （2.19） 可用同樣的方法來分析坐標(biāo)系繞參考坐標(biāo)系y軸和z軸旋轉(zhuǎn)的情況，可以證明其結(jié)果為： 和 （2.20）式（2.18）也可寫為習(xí)慣的形式，以便于理解不同坐標(biāo)系間的關(guān)系，為此，可將該變換表示為 (讀作坐標(biāo)系R相對于坐標(biāo)系U（Universe）的變換)，將表示

20、為（P相對于坐標(biāo)系R），將表示為（P相對于坐標(biāo)系U），式（2.18）可簡化為： （2.21） 由上式可見，去掉R便得到了P相對于坐標(biāo)系U的坐標(biāo)。例2.5旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中有一點P，此坐標(biāo)系繞參考坐標(biāo)系x軸旋轉(zhuǎn)90度。求旋轉(zhuǎn)后該點相對于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)，并且用圖解法檢驗結(jié)果。解：由于點P固連在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中，因此點P相對于旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的坐標(biāo)在旋轉(zhuǎn)前后保持不變。該點相對于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)為：如圖2.12所示，根據(jù)前面的變換，得到旋轉(zhuǎn)后P點相對于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)為2，-4，3.圖2.12 相對于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)2.5.3 復(fù)合變換的表示復(fù)合變換是由固定參考坐標(biāo)系或當(dāng)前運動坐標(biāo)系的一系列沿軸平移和繞軸旋轉(zhuǎn)

21、變換所組成的。任何變換都可以分解為按一定順序的一組平移和旋轉(zhuǎn)變換。例如，為了完成所要求的變換，可以先繞x軸旋轉(zhuǎn)，再沿軸平移，最后繞y軸旋轉(zhuǎn)。在后面將會看到，這個變換順序很重要，如果顛倒兩個依次變換的順序，結(jié)果將會完全不同。 為了探討如何處理復(fù)合變換，假定坐標(biāo)系（）相對于參考坐標(biāo)系（）依次進(jìn)行了下面三個變換：（1）繞x軸旋轉(zhuǎn)度；（2）接著平移（分別相對于軸）；（3）最后繞y軸旋轉(zhuǎn)度。比如點固定在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，開始時旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的原點與參考坐標(biāo)系的原點重合。隨著坐標(biāo)系（）相對于參考坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)或者平移時，坐標(biāo)系中的P點相對于參考坐標(biāo)系也跟著改變。如前面所看到的，第一次變換后，P點相對于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)可

22、用下列方程進(jìn)行計算。 （2.22） 其中，是第一次變換后該點相對于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)。第二次變換后，該點相對于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)是： 同樣，第三次變換后，該點相對于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)為： 可見，每次變換后該點相對于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)都是通過用每個變換矩陣左乘該點的坐標(biāo)得到的。當(dāng)然，矩陣的順序不能改變。同時還應(yīng)注意，對于相對于參考坐標(biāo)系的每次變換，矩陣都是左乘的。因此，矩陣書寫的順序和進(jìn)行變換的順序正好相反。例2.6 固連在坐標(biāo)系（）上的點P經(jīng)歷如下變換，求出變換后該點相對于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)。(1)繞z軸旋轉(zhuǎn)90度；(2)接著繞y軸旋轉(zhuǎn)90度；(3)接著再平移4，-3，7。解：表示該變換的矩陣方程為：從

23、圖2.13可以看到，（）坐標(biāo)系首先繞z軸旋轉(zhuǎn)90度，接著繞y軸旋轉(zhuǎn)，最后相對于參考坐標(biāo)系的軸平移。坐標(biāo)系中的P點相對于軸的位置如圖所示，最后該點在軸上的坐標(biāo)分別為4+2=6，-3+7=4，7+3=10。請確認(rèn)也能從圖中理解上述結(jié)果。圖2.13 三次順序變換的結(jié)果例2.7根據(jù)上例，假定()坐標(biāo)系上的點經(jīng)歷相同變換，但變換按如下不同順序進(jìn)行，求出變換后該點相對于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)。（1）繞z軸旋轉(zhuǎn)90度；（2）接著平移4，-3，7；（3）接著再繞y軸旋轉(zhuǎn)90度。解：表示該變換的矩陣方程為：不難發(fā)現(xiàn)，盡管所有的變換與例2.6完全相同，但由于變換的順序變了，該點最終坐標(biāo)與前例完全不同。用圖2.14可以清

24、楚地說明這點，這時可以看出，盡管第一次變換后坐標(biāo)系的變化與前例完全相同，但第二次變換后結(jié)果就完全不同，這是由于相對于參考坐標(biāo)系軸的平移使得旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系向外移動了。經(jīng)第三次變換，該坐標(biāo)系將繞參考坐標(biāo)系y軸旋轉(zhuǎn)，因此向下旋轉(zhuǎn)了，坐標(biāo)系上點P的位置也顯示在圖中。請證明該點相對于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)為7+2=9，-3+7=4和-4+3=-1，它與解析的結(jié)果相同。圖2.14 變換的順序改變將改變最終結(jié)果2.5.4 相對于旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的變換到目前為止，本書所討論的所有變換都是相對于固定參考坐標(biāo)系。也就是說，所有平移、旋轉(zhuǎn)和距離（除了相對于運動坐標(biāo)系的點的位置）都是相對參考坐標(biāo)系軸來測量的。然而事實上，也有可能做相

25、對于運動坐標(biāo)系或當(dāng)前坐標(biāo)系的軸的變換。例如，可以相對于運動坐標(biāo)系（也就是當(dāng)前坐標(biāo)系）的n軸而不是參考坐標(biāo)系的x軸旋轉(zhuǎn)90度。為計算當(dāng)前坐標(biāo)系中的點的坐標(biāo)相對于參考坐標(biāo)系的變化，這時需要右乘變換矩陣而不是左乘。由于運動坐標(biāo)系中的點或物體的位置總是相對于運動坐標(biāo)系測量的，所以總是右乘描述該點或物體的位置矩陣。例2.8 假設(shè)與例2.7中相同的點現(xiàn)在進(jìn)行相同的變換，但所有變換都是相對于當(dāng)前的運動坐標(biāo)系，具體變換出如下。求出變換完成后該點相對于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)。（1）繞軸旋轉(zhuǎn)90度；（2）然后沿軸平移4，-3，7；（3）接著繞軸旋轉(zhuǎn)90度。解：在本例中，因為所作變換是相對于當(dāng)前坐標(biāo)系的，因此右乘每個變換

26、矩陣，可得表示該坐標(biāo)的方程為：如所期望的，結(jié)果與其他各例完全不同，不僅因為所作變換是相對于當(dāng)前坐標(biāo)系的，而且也因為矩陣順序的改變。下面的圖展示了這一結(jié)果，應(yīng)注意它是怎樣相對于當(dāng)前坐標(biāo)來完成這個變換的。同時應(yīng)注意，在當(dāng)前坐標(biāo)系中p點的坐標(biāo)7，3，2是變換后得到相對于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)0，6，0的。圖2.15 相對于當(dāng)前坐標(biāo)系的變換例2.9 坐標(biāo)系B繞x軸旋轉(zhuǎn)90°，然后沿當(dāng)前坐標(biāo)系a軸做了3英寸的平移，然后在繞z軸旋轉(zhuǎn)90，最后沿當(dāng)前坐標(biāo)系o軸做5英寸的平移。(a)寫出描述該運動的方程。(b)求坐標(biāo)系中的點p（1，5，4）相對于參考坐標(biāo)系的最終位置。解：在本例中，相對于參考坐標(biāo)系以及當(dāng)前

27、坐標(biāo)系的運動是交替進(jìn)行的。(a)相應(yīng)地左乘或右乘每個運動矩陣，得到：=Rot（z,90)Rot(x,90)Trans(0,0,3)Trans(0,5,0)(b)帶入具體的矩陣并將它們相乘，得到：2.6 變換矩陣的逆 正如前面所提到的，在機(jī)器人分通過析中有很多地方要用到矩陣的逆，在下面的例子中可以看到一種涉及變換矩陣的情況。在圖2.16中，假設(shè)機(jī)器人要在零件p上鉆孔而須向零件p處移動。機(jī)器人基座相對于參考坐標(biāo)系u的位置用坐標(biāo)系R來描述，機(jī)器人手用坐標(biāo)系H來描述，末端執(zhí)行器（即用來鉆孔的鉆頭的末端）用坐標(biāo)系E來描述，零件的位置用坐標(biāo)系P來描述。鉆孔的點的位置于參考坐標(biāo)系U可以通過兩個獨立的路徑發(fā)生

28、聯(lián)系：一個是通過該零件的路徑，另一個是通過機(jī)器人的路徑。因此，可以寫出下面的方程： （2.24） 這就是說，該零件中點E的位置可以通過從U變換到P，并從P變換到E來完成，或者從U變換到R，從R變換到H，再從H變換到E。圖2.16 全局坐標(biāo)系、機(jī)器人坐標(biāo)系、手坐標(biāo)系、零件坐標(biāo)系及末端執(zhí)行器坐標(biāo)系事實上，由于在任何情況下機(jī)器人的基座位置在安裝時就是已知的，因此變換(坐標(biāo)系R相對于坐標(biāo)系U的變換)時已知的。比如，一個機(jī)器人安裝在一個工作臺上，由于它被緊固在工作臺上，所以它的基座的位置時已知的。即使機(jī)器人時可移的或放在傳送帶上，因為控制器始終掌控著機(jī)器人基座的運動，因此它在任意時刻的位置也是已知的。由

29、于用于末端執(zhí)行器的任何器械都是已知的，而且其尺寸和結(jié)構(gòu)也是已知的，所以（機(jī)器人末端執(zhí)行器相對于機(jī)器人手的變換）也是已知的。此外，（零件相對于全局坐標(biāo)系的變換）也是已知的，還必須要知道將在其上面鉆孔的零件的位置，該位置可以通過將該零件放在鉆模上，讓后用照相機(jī)，視覺系統(tǒng)，傳送帶，傳感器或其他類似儀器來確定。最后需要知道零件上鉆孔的位置，所以也是已知的。此時，唯一未知的變換就是（機(jī)器人手相對于機(jī)器人基座的變換）。因此，必須找出機(jī)器人的關(guān)節(jié)變量（機(jī)器人旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的角度以及滑動關(guān)節(jié)的連桿長度），以便將末端執(zhí)行器定位在要鉆孔的位置上?？梢?，必須要計算出這個變換，它指出機(jī)器人需要完成的工作。后面將用所求出的變

30、換來求解機(jī)器人關(guān)節(jié)的角度和連桿的長度。不能像在代數(shù)方程中那樣來計算這個矩陣，即不能簡單的用方程的右邊除以方程的左邊，而應(yīng)該用合適的矩陣的逆并通過左乘或右乘來將它們從左邊去調(diào)。因此有： （2.25）由于和，式（2.25）的左邊可簡化為,于是得： （2.26）該方程的正確性可以通過認(rèn)為與相同來加以檢驗。因此，該方程可重寫為： （2.27）顯然為了對機(jī)器人運動學(xué)進(jìn)行分析，需要能夠計算變換矩陣的逆。我們來看看關(guān)于x軸的簡單旋轉(zhuǎn)矩陣的求逆計算情況。關(guān)于x軸的旋轉(zhuǎn)矩陣是： （2.28）必須采用一下的步驟來計算矩陣的逆：計算矩陣的行列式；將矩陣轉(zhuǎn)置；將轉(zhuǎn)置矩陣的每個元素用它的子行列式（伴隨矩陣）代替；用轉(zhuǎn)換

31、后的矩陣除以行列式。將上面的步驟用到該旋轉(zhuǎn)，得到：現(xiàn)在計算每一個子行列式（伴隨矩陣）。例如，元素2，2的子行列式是，元素1，1的子行列式。可以注意到，這里的每一個元素的子行列式與其本身相同，因此有：由于原旋轉(zhuǎn)矩陣的行列式為1，因此用矩陣除以行列式仍得出相同的結(jié)果。因此，關(guān)于x軸的旋轉(zhuǎn)矩陣的逆的行列式與它的轉(zhuǎn)置矩陣相同，即： （2.29）當(dāng)然，如果采用附錄A中提到的第二種方法也能得到同樣的結(jié)果。具有這種特征的矩陣稱為酉矩陣，也就是說所有的旋轉(zhuǎn)矩陣都是酉矩陣。因此，計算旋轉(zhuǎn)矩陣的逆就是將該矩陣轉(zhuǎn)置。可以證明，關(guān)于y軸和z軸的旋轉(zhuǎn)矩陣同樣也是酉矩陣。應(yīng)注意，只有旋轉(zhuǎn)矩陣才是酉矩陣。如果一個矩陣不是一

32、個簡單的旋轉(zhuǎn)矩陣，那么它也許就不是酉矩陣。 以上結(jié)論只對簡單的不表示位置的3×3旋轉(zhuǎn)矩陣成立。對一個齊次的4×4變換矩陣而言，它的求逆可以將矩陣分為兩部分。矩陣的旋轉(zhuǎn)部分仍是酉矩陣，只需簡單的轉(zhuǎn)置；矩陣的位置部分是向量分別與向量點積的負(fù)值，其結(jié)果為： （2.30）如上所示，矩陣的旋轉(zhuǎn)部分是簡單的轉(zhuǎn)置，位置的部分由點乘的負(fù)值代替，而最后一行（比例因子）則不受影響。這樣做對于計算變換矩陣的逆是很有幫助的，而直接計算4×4矩陣的逆是一個很冗長的過程。例2.10計算表示的矩陣解：繞x軸旋轉(zhuǎn)40°的矩陣為：其矩陣的逆是： 需注意的是，由于矩陣的位置向量為0，它與向

33、量的點積也為零。例2.11 計算如下變換矩陣的逆。解：根據(jù)先前的計算，變換矩陣的逆是：可以證明是單位陣。例2.12 一個具有六個自由度的機(jī)器人的第五個連桿上裝有照相機(jī)，照相機(jī)觀察物體并測定它相對于照相機(jī)坐標(biāo)系的位置，然后根據(jù)以下數(shù)據(jù)來確定末端執(zhí)行器要到達(dá)物體所必須完成的運動。解：參照式（2.24），可以寫出一個與它類似的方程，它將不同的變換和坐標(biāo)系聯(lián)系在一起。由于方程兩邊都有，所以可以將它消去。除了之外所有其他矩陣都是已知的，所以：將矩陣及矩陣的逆代入前面的方程，得：2.7 機(jī)器人的正逆運動學(xué)假設(shè)有一個構(gòu)型已知的機(jī)器人，即它的所有連桿長度和關(guān)節(jié)角度都是已知的，那么計算機(jī)器人手的位姿就稱為正運動

34、學(xué)分析。換言之，如果已知所有機(jī)器人關(guān)節(jié)變量，用正運動學(xué)方程就能計算任一瞬間機(jī)器人的位姿。然而，如果想要將機(jī)器人的手放在一個期望的位姿，就必須知道機(jī)器人的每一個連桿的長度和關(guān)節(jié)的角度，才能將手定位在所期望的位姿，這就叫做逆運動學(xué)分析，也就是說，這里不是把已知的機(jī)器人變量代入正向運動學(xué)方程中，而是要設(shè)法找到這些方程的逆，從而求得所需的關(guān)節(jié)變量，使機(jī)器人放置在期望的位姿。事實上，逆運動學(xué)方程更為重要，機(jī)器人的控制器將用這些方程來計算關(guān)節(jié)值，并以此來運行機(jī)器人到達(dá)期望的位姿。下面首先推導(dǎo)機(jī)器人的正運動學(xué)方程，然后利用這些方程來計算逆運動學(xué)方程。對正運動學(xué)，必須推導(dǎo)出一組與機(jī)器人特定構(gòu)型（將構(gòu)件組合在一

35、起構(gòu)成機(jī)器人的方法）有關(guān)的方程，以使得將有關(guān)的關(guān)節(jié)和連桿變量代入這些方程就能計算出機(jī)器人的位姿，然后可用這些方程推出逆運動學(xué)方程。根據(jù)第一章中的相關(guān)內(nèi)容，要確定一個剛體在空間的位姿，須在物體上固連一個坐標(biāo)系，然后描述該坐標(biāo)系的原點位置和它三個軸的姿態(tài)，總共需要六個自由度或六條信息來完整地定義該物體的位姿。同理，如果要確定或找到機(jī)器人手在空間的位姿，也必須在機(jī)器人手上固連一個坐標(biāo)系并確定機(jī)器人手坐標(biāo)系的位姿，這正是機(jī)器人正運動學(xué)方程所要完成的任務(wù)。換言之，根據(jù)機(jī)器人連桿和關(guān)節(jié)的構(gòu)型配置，可用一組特定的方程來建立機(jī)器人手的坐標(biāo)系和參考坐標(biāo)系之間的聯(lián)系。圖2.17所示為機(jī)器人手的坐標(biāo)系、參考坐標(biāo)系以

36、及它們的相對位姿，兩個坐標(biāo)系之間的關(guān)系與機(jī)器人的構(gòu)型有關(guān)。當(dāng)然，機(jī)器人可能有許多不同的構(gòu)型，后面將會看到將如何根據(jù)機(jī)器人的構(gòu)型來推導(dǎo)出與這兩個坐標(biāo)系相關(guān)的方程。為使過程簡化，可分別分析位置和姿態(tài)問題，首先推導(dǎo)出位置方程，然后再推導(dǎo)出姿態(tài)方程，再將兩者結(jié)合在一起而形成一組完整的方程。最后，將看到關(guān)于Denavit-Hartenberg表示法的應(yīng)用，該方法可用于對任何機(jī)器人構(gòu)型建模。圖2.17 機(jī)器人的手坐標(biāo)系相對于參考坐標(biāo)系2.7.1 位置的正逆運動學(xué)方程對于機(jī)器人的定位，可以通過相對于任何慣用坐標(biāo)系的運動來實現(xiàn)。比如，基于直角坐標(biāo)系對空間的一個點定位，這意味著有三個關(guān)于軸的線性運動，此外，如果

37、用球坐標(biāo)來實現(xiàn)，就意味著需要有一個線性運動和兩個旋轉(zhuǎn)運動。常見的情況有：(a)笛卡爾（臺架，直角）坐標(biāo)(b)圓柱坐標(biāo)(c)球坐標(biāo)(d)鏈?zhǔn)?擬人或全旋轉(zhuǎn))坐標(biāo)2.7.1.1 笛卡爾(臺架，直角)坐標(biāo)這種情況下有三個沿軸的線性運動，這一類型的機(jī)器人所有的驅(qū)動機(jī)構(gòu)都是線性的（比如液壓活塞或線性動力絲杠），這時機(jī)器人手的定位是通過三個線性關(guān)節(jié)分別沿三個軸的運動來完成的（如圖2.18所示）。臺架式機(jī)器人基本上就是一個直角坐標(biāo)機(jī)器人，只不過是將機(jī)器人固連在一個朝下的直角架上。IBM7565機(jī)器人就是一個臺架式直角坐標(biāo)機(jī)器人。圖2.18 直角坐標(biāo)當(dāng)然，如果沒有旋轉(zhuǎn)運動，表示向P點運動的變換矩陣是一種簡單的

38、平移變換矩陣，下面將可以看到這一點。注意這里只涉及坐標(biāo)系原點的定位，而不涉及姿態(tài)。在直角坐標(biāo)系中，表示機(jī)器人手位置的正運動學(xué)變換矩陣為： （2.31）其中是參考坐標(biāo)系與手坐標(biāo)系原點P的變換矩陣，而表示直角坐標(biāo)變換矩陣。對于逆運動學(xué)的求解，只需簡單地設(shè)定期望的位置等于P.例2.13要求笛卡爾坐標(biāo)機(jī)器人手坐標(biāo)系原點定位在點P=，計算所需要的笛卡兒坐標(biāo)運動。解：設(shè)定正運動學(xué)方程用式（2.31）中的矩陣表示，根據(jù)期望的位置可得知如下結(jié)果：2.7.1.2 圓柱坐標(biāo)圓柱型坐標(biāo)系統(tǒng)包括兩個線性平移運動和一個旋轉(zhuǎn)運動。其順序為：先沿軸移動,再繞軸旋轉(zhuǎn)角，最后沿軸移動，如圖2.19所示。這三個變換建立了手坐標(biāo)系

39、與參考坐標(biāo)系之間的聯(lián)系。由于這些變換都是相對于全局參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸的，因此由這三個變換所產(chǎn)生的總變換可以通過依次左乘每一個矩陣而求得： （2.32） （2.33）經(jīng)過一系列變換后，前三列表示了坐標(biāo)系的姿態(tài)，然而我們只對坐標(biāo)系的原點位置即最后一列感興趣。顯然，在圓柱型坐標(biāo)運動中，由于繞z軸旋轉(zhuǎn)了角，運動坐標(biāo)系的姿態(tài)也將改變，這一改變將在后面討論。實際上，可以通過繞坐標(biāo)系中的軸旋轉(zhuǎn)角度使坐標(biāo)系回轉(zhuǎn)到和初始參考坐標(biāo)系平行的狀態(tài)，它等效于圓柱坐標(biāo)矩陣右乘旋轉(zhuǎn)矩陣，其結(jié)果是，該坐標(biāo)系的位置仍在同一地方，但其姿態(tài)再次平行于參考坐標(biāo)系，如下所示：圖2.19 圓柱坐標(biāo)由此可見，運動坐標(biāo)系的原點位置沒有改變，

40、但它轉(zhuǎn)回到了與參考坐標(biāo)系平行的狀態(tài)。需注意的是，最后的旋轉(zhuǎn)是繞本地坐標(biāo)系的軸的，其目的是為了不引起坐標(biāo)系位置的任何改變，而只改變姿態(tài)。例2.14 假設(shè)要將圓柱坐標(biāo)機(jī)器人手坐標(biāo)系的原點放在,計算該機(jī)器人的關(guān)節(jié)變量。解：根據(jù)式（2.33）的矩陣，將手坐標(biāo)系原點的位置分量設(shè)置為期望值，可以得到：于是有： 將代入其中任何一個方程，可得，最終結(jié)果是：應(yīng)注意：必須確保在機(jī)器人運動學(xué)中計算的角度位于正確的象限。在這個例子中，請注意和都是正的，并且也是正的，這樣角度便在第一象限，且為53.1°。2.7.1.3 球坐標(biāo)如圖2.20所示，球坐標(biāo)系統(tǒng)由一個線性運動和兩個旋轉(zhuǎn)運動組成，運動順序為：先沿z軸平

41、移r,再繞y軸旋轉(zhuǎn)并繞z軸旋轉(zhuǎn)。這三個變換建立了手坐標(biāo)系與參考坐標(biāo)系之間的聯(lián)系。由于這些變換都是相對于全局參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸的，因此有這三個變換所產(chǎn)生的總變換可以通過一次左乘每一個矩陣而求得： (2.34) (2.35)圖2.20球坐標(biāo)前三列表是了經(jīng)過一系列變換后的坐標(biāo)系的姿態(tài)，而最后一列則表示了坐標(biāo)系原點的位置。以后還要進(jìn)一步討論該矩陣的姿態(tài)部分。這里也可回轉(zhuǎn)最后一個坐標(biāo)系，使它與參考坐標(biāo)系平行。這一問題將作為練習(xí)留給讀者，要求找出正確的運動順序來獲得正確的答案。球坐標(biāo)的逆運動學(xué)方程比簡單的直角坐標(biāo)和圓柱坐標(biāo)更復(fù)雜，因為兩個角度和是耦合的。讓我們通過下例來說明如何求解球坐標(biāo)的逆運動學(xué)方程。例

42、2.15 假設(shè)要將球坐標(biāo)機(jī)器人手坐標(biāo)系原點放在，計算機(jī)器人的關(guān)節(jié)變量。解：根據(jù)式（2.35）的矩陣，將手坐標(biāo)系原點的位置分量設(shè)置為期望值，可以得到：=3=4=7由第三個方程，我們得出是正數(shù)，但沒有關(guān)于是正或負(fù)的信息。將前兩個方程彼此相除，因為不知道的實際符號是什么，因此可能會有兩個解。下面的方法給出了兩個可能的解，后面還必須對這最后的結(jié)果進(jìn)行檢驗以確保它們是正確的。tan=或 233.1S=0.8 或 -0.8C=0.6 或 -0.6S=5 或 -5C=7 =35.5或 -35.5=8.6可以對這兩組解進(jìn)行檢驗并正是這兩組解都能滿足所有的位置方程。如果沿給定的三維坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)這些角度，物理上的確

43、能到達(dá)同一點。然而必須注意，其中只有一組解能滿足姿態(tài)方程。換句話說，前兩種解將產(chǎn)生同樣的位置，但處于不同的姿態(tài)。由于目前并不關(guān)心手坐標(biāo)系在這點的姿態(tài)，因此兩個位置解都是正確的。實際上，由于不能對三自由度的機(jī)器人指定姿態(tài)，所以無法確定兩個解中哪一個和特定的姿態(tài)有關(guān)。鏈?zhǔn)阶鴺?biāo)如圖2.21所示，鏈?zhǔn)阶鴺?biāo)由三個旋轉(zhuǎn)組成。后面在討論Denavit-Hartenberg表示法時，將推導(dǎo)鏈?zhǔn)阶鴺?biāo)的矩陣表示法。圖2.21鏈?zhǔn)阶鴺?biāo)2.7.2 姿態(tài)的正逆運動學(xué)方程假設(shè)固連在機(jī)器人手上的運動坐標(biāo)系已經(jīng)運動到期望的位置上，但它仍然平行于參考坐標(biāo)系，或者假設(shè)其姿態(tài)并不是所期望的，下一步是要在不改變位置的情況下，適當(dāng)?shù)匦?/p>

44、轉(zhuǎn)坐標(biāo)系而使其達(dá)到所期望的姿態(tài)。合適的旋轉(zhuǎn)順序取決于機(jī)器人手腕的設(shè)計以及關(guān)節(jié)裝配在一起的方式。考慮以下三中常見的構(gòu)型配置：（a） 滾動角、俯仰角、偏航（RPY）角（b） 歐拉角（c） 鏈?zhǔn)疥P(guān)節(jié)2.7.2.1 滾動角、俯仰角和偏航角這是分別繞當(dāng)前軸的三個旋轉(zhuǎn)順序，能夠把機(jī)器人的手調(diào)整到所期望的姿態(tài)。此時，假定當(dāng)前的坐標(biāo)系平行于參考坐標(biāo)系，于是機(jī)器人手的姿態(tài)在RPY（滾動角、俯仰角、偏航角）運動前與參考坐標(biāo)系相同。如果當(dāng)前坐標(biāo)系不平行于參考坐標(biāo)系，那么機(jī)器人手最終的姿態(tài)將會是先前的姿態(tài)與RPY右乘的結(jié)果。因為不希望運動坐標(biāo)系原點的位置有任何改變（它已被放在一個期望的位置上，所以只需要旋轉(zhuǎn)她到所期望

45、的姿態(tài)），所以RPY的旋轉(zhuǎn)運動都是相對于當(dāng)前的運動軸的。否則。如前面所看到的，運動坐標(biāo)系的位置將會改變。于是，右乘所有由RPY和其他旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的與姿態(tài)改變有關(guān)的矩陣。圖2.22繞當(dāng)前坐標(biāo)軸的RPY旋轉(zhuǎn)參考圖2.22，可看到RPY旋轉(zhuǎn)包括以下幾種：l 繞軸（運動坐標(biāo)系的z軸）旋轉(zhuǎn)叫滾動；l 繞軸（運動坐標(biāo)系的y軸）旋轉(zhuǎn)叫俯仰；l 繞軸（運動坐標(biāo)系的x軸）旋轉(zhuǎn)叫偏航。表示RPY姿態(tài)變化的矩陣為：（2.36）這個矩陣表示了僅由RPY引起的姿態(tài)變化。該坐標(biāo)系相對于參考坐標(biāo)系的位置和最終姿態(tài)是表示位置變化和RPY的兩個矩陣的乘積。例如，假設(shè)一個機(jī)器人是根據(jù)球坐標(biāo)和RPY來設(shè)計的，那么這個機(jī)器人就可以表示

46、為：關(guān)于RPY的你運動學(xué)方程的解比球坐標(biāo)更復(fù)雜，因為這里有三個耦合角，所以需要所有三個角各自的正弦和余弦值的信息才能解出這個角。為解出這三個角的正弦值和余弦值，必須將這些角解耦。因此，用的逆左乘方程兩邊，得：（2.37）假設(shè)用RPY得到的最后所期望的姿態(tài)是用矩陣來表示的，則有：（2.38）進(jìn)行矩陣相乘后得：（2.39）在式（2.38）中的分量表示了最終的期望值，它們通常是給定或已知的，而RPY角的值是未知的變量。讓式（2.39）左右兩邊對應(yīng)的元素相等，將產(chǎn)生如下結(jié)果（關(guān)于ATAN2函數(shù)的解釋請參考附錄A）：根據(jù)2，1元素得：（2.40）根據(jù)3，1元素和1，1元素得：（2.41）根據(jù)2，2元素和

47、2，3元素得：（2.42）例2.16下面給出了一個笛卡爾坐標(biāo)-RPY型機(jī)器人手所期望的最終位姿，求滾動角，俯仰角，偏航角和位移。解：根據(jù)上述方程，得到兩組解：或235或128或195例2.17與例2.16中的位姿一樣，如果機(jī)器人是圓柱坐標(biāo)-RPY型，求所有關(guān)節(jié)變量。解：在這種情況下，可用：這個方程右邊有4個角，它們是耦合的，因此必須像前面那樣將它們解耦。但是，因為對于圓柱坐標(biāo)系z軸旋轉(zhuǎn)角并不影響a軸，所以它仍平行于z軸。其結(jié)果是，對于RPY繞a軸旋轉(zhuǎn)的角可簡單地加到上。這意味著，求出的實際上是（參見圖2.23）。根據(jù)給定的位置數(shù)據(jù)，可求得例2.16的解。參考式（2.33），得到：同例2.16一

48、樣當(dāng)然，可以用類似的解法求出第二組解。圖2.23例2.17的圓柱和RPY坐標(biāo)2.7.2.2 歐拉角除了最后的旋轉(zhuǎn)使然當(dāng)前的a軸外，歐拉角的其他方面均與RPY相似（參見圖2.24）。我們?nèi)孕枰顾行D(zhuǎn)都是繞當(dāng)前的軸轉(zhuǎn)動以防止機(jī)器人的位置有任何改變。表示歐拉角的轉(zhuǎn)動如下：l 繞軸（運動坐標(biāo)系的z軸）旋轉(zhuǎn)度；l 接著繞軸（運動坐標(biāo)系的y軸）旋轉(zhuǎn)度；l 最后再繞軸（運動坐標(biāo)系的x軸）旋轉(zhuǎn)度。表示歐拉角姿態(tài)變化的矩陣是：（2.43）圖2.24繞當(dāng)前坐標(biāo)軸的歐拉旋轉(zhuǎn)再次強(qiáng)調(diào)，該矩陣只是表示了由歐拉角所引起的姿態(tài)變化。相對于參考坐標(biāo)系，這個坐標(biāo)系的最終位姿是表示位置變化的矩陣和表示歐拉角的矩陣的乘積。歐拉

49、角的逆運動學(xué)求解與RPY非常相似?？梢允箽W拉方程的兩邊左乘來消去其中一邊的。讓兩邊的對應(yīng)元素相等，就可得到以下方程（假設(shè)由歐拉角得到的最終所期望的姿態(tài)是由矩陣表示）：（2.44）或（2.45）記住，式（2.44）中的表示了最終的期望值，它們通常是給定或已知的。歐拉角的值是未知變量。讓式（2.45）左右兩邊對應(yīng)的元素相等，可得到如下結(jié)果：根據(jù)2，3元素，可得：或（2.46）由于求得了值，因此式（2.45）左邊所有的元素都是已知的。根據(jù)2，1元素和2，2元素得：（2.47）最后根據(jù)1，3元素和3，3元素，得：（2.48）例2.18 給定一個直角坐標(biāo)系歐拉角型機(jī)器人手的最終期望狀態(tài)，求相應(yīng)的歐拉角。

50、解：根據(jù)前面的方程，得到：或?qū)⒑偷恼抑岛陀嘞抑祽?yīng)用于其他部分，可得：或或2.7.2.3鏈?zhǔn)疥P(guān)節(jié)鏈?zhǔn)疥P(guān)節(jié)由3個旋轉(zhuǎn)組成，而不是上面剛提出來的旋轉(zhuǎn)模型，這些旋轉(zhuǎn)取決于關(guān)節(jié)的設(shè)計。就像在（d）中所做的那樣，我們將在討論D-H表示法時來推導(dǎo)表示鏈?zhǔn)疥P(guān)節(jié)的矩陣。2.7.3 位姿的正逆運動學(xué)方程表示機(jī)器人最終位姿的矩陣是前面方程的組合，該矩陣取決于所用的坐標(biāo)。假設(shè)機(jī)器人的運動是由直角坐標(biāo)和RPY的組合關(guān)節(jié)組成，那么該坐標(biāo)系相對于參考坐標(biāo)系的最終位姿是表示直角坐標(biāo)位置變化的矩陣和RPY矩陣的乘積。它可表示為：（2.49）如果機(jī)器人是采用球坐標(biāo)定位、歐拉角定姿的方式所設(shè)計的，那么將得到下列方程。其中位置由球

51、坐標(biāo)決定，而最終姿態(tài)既受球坐標(biāo)角度的影響也受歐拉角的影響。（2.50）由于有多種不同的組合，所以這種情況下的正逆運動學(xué)解不在這里討論。對于復(fù)雜的設(shè)計，推薦用D_H表示法來求解，并將在下面對此進(jìn)行討論。2.8 機(jī)器人正運動學(xué)方程的D-H表示法在1955年，Denavit和Hartenberg在“ASME Journal of Applied Mechanics”發(fā)表了一篇論文，后來利用那個這篇論文來對機(jī)器人進(jìn)行表示和建模，并導(dǎo)出了它們的運動方程，這已成為表示機(jī)器人和對機(jī)器人運動進(jìn)行建模的標(biāo)準(zhǔn)方法，所以必須學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容。Denavit-Hartenberg(D_H)模型表示了對機(jī)器人連桿和關(guān)節(jié)進(jìn)

52、行建模的一種非常簡單的方法，可用于任何機(jī)器人構(gòu)型，而不管機(jī)器人的結(jié)構(gòu)順序和復(fù)雜程度如何。它也可用于表示已經(jīng)討論過的在任何坐標(biāo)中的變換，例如直角坐標(biāo)、圓柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)、歐拉角坐標(biāo)及RPY坐標(biāo)等。另外，它也可以用于表示全旋轉(zhuǎn)的鏈?zhǔn)綑C(jī)器人、SCARA機(jī)器人或任何可能的關(guān)節(jié)和連桿組合。盡管采用前面的方法對機(jī)器人直接建模會更快、更直接，但D-H表示法有其附加的好處，使用它已經(jīng)開發(fā)了許多技術(shù)，例如，雅克比矩陣的計算和力分析等。假設(shè)機(jī)器人由一系列關(guān)節(jié)和連桿組成。這些關(guān)節(jié)可能是滑動（線性）的或旋轉(zhuǎn)（轉(zhuǎn)動）的，它們可以按任意的順序放置并處于任意的平面。連桿也可以是任意的長度（包括零），它可能被彎曲或扭曲，也可能

53、位于任意平面上。所以任何一組關(guān)節(jié)和連桿都可以構(gòu)成一個我們想要建模和表示的機(jī)器人。為此，需要給每個關(guān)節(jié)指定一個參考坐標(biāo)系，然后，確定從一個關(guān)節(jié)到下一個關(guān)節(jié)（一個坐標(biāo)系到下一個坐標(biāo)系）來進(jìn)行變換的步驟。如果將從基座到第一個關(guān)節(jié)，再從第一個關(guān)節(jié)到第二個關(guān)節(jié)直至到最后一個關(guān)節(jié)的所有變換結(jié)合起來，就得到了機(jī)器人的總變換矩陣。在下一節(jié)，將根據(jù)D-H表示法確定一個一般步驟來為每個關(guān)節(jié)指定參考坐標(biāo)系，然后確定如何實現(xiàn)任意兩個相鄰坐標(biāo)系之間的變換，最后寫出機(jī)器人的總變換矩陣。圖2.25通用關(guān)節(jié)連桿組合的D-H表示假設(shè)一個機(jī)器人由任意多的連桿和關(guān)節(jié)以任意形式構(gòu)成。圖2.25表示了三個順序的關(guān)節(jié)和兩個連桿。雖然這些

54、關(guān)節(jié)和連桿并不一定與任何實際機(jī)器人的關(guān)節(jié)或連桿相似，但是他們非常常見，且能很容易地表示實際機(jī)器人的任何關(guān)節(jié)。這些關(guān)節(jié)可能是旋轉(zhuǎn)的、滑動的、或兩者都有。盡管在實際情況下，機(jī)器人的關(guān)節(jié)通常只有一個自由度，但圖2.25中的關(guān)節(jié)可以表示一個或兩個自由度。圖2.25（a）表示了三個關(guān)節(jié)，每個關(guān)節(jié)都是可以轉(zhuǎn)動或平移的。第一個關(guān)節(jié)指定為關(guān)節(jié)n，第二個關(guān)節(jié)為關(guān)節(jié)n+1，第三個關(guān)節(jié)為關(guān)節(jié)n+2。在這些關(guān)節(jié)的前后可能還有其他關(guān)節(jié)。連桿也是如此表示，連桿n位于關(guān)節(jié)n與n+1之間，連桿n+1位于關(guān)節(jié)n+1與n+2之間。為了用D-H表示法對機(jī)器人建模，所要做的第一件事是為每個關(guān)節(jié)指定一個本地的參考坐標(biāo)系。因此，對于每個關(guān)節(jié)，都必須指定一個z軸和x軸，通常并