第17章外匯和分形美式期權定價

1、第第17章章 外匯和分形美式期權定價外匯和分形美式期權定價n17.1 美式外匯期權定價模型美式外匯期權定價模型n17.2 分形美式期權定價分形美式期權定價n我們在前面為歐式期權和美式期權定價時，都我們在前面為歐式期權和美式期權定價時，都假設標的資產的對數收益率服從正態(tài)分布，事假設標的資產的對數收益率服從正態(tài)分布，事實上這個假設在現(xiàn)實中很難成立，分形期權定實上這個假設在現(xiàn)實中很難成立，分形期權定價模型可以解決該問題。的本章主要介紹美式價模型可以解決該問題。的本章主要介紹美式外匯期權定價模型、分形期權定價模型和案例外匯期權定價模型、分形期權定價模型和案例研究。這些美式期權定價模型的理論基礎是連研究

2、。這些美式期權定價模型的理論基礎是連續(xù)時間美式期權定價模型。續(xù)時間美式期權定價模型。 17.1 美式外匯期權定價模型美式外匯期權定價模型n外匯期權又稱貨幣期權。在美國國際貨外匯期權又稱貨幣期權。在美國國際貨幣市場幣市場（IMMIMM），），有美元兌主要貨幣期權。有美元兌主要貨幣期權。例如，有歐元兌美元、英鎊兌美元、日例如，有歐元兌美元、英鎊兌美元、日元兌美元、人民幣兌美元期權。貨幣期元兌美元、人民幣兌美元期權。貨幣期權和約為購買者提供了在一定期限內以權和約為購買者提供了在一定期限內以指定的價格買賣某種貨幣的權利（而非指定的價格買賣某種貨幣的權利（而非義務）。貨幣期權有看漲期權和看跌期義務）。貨

3、幣期權有看漲期權和看跌期權。權。 n17.1.1 17.1.1 現(xiàn)金模型現(xiàn)金模型n假設銀行存款利率按連續(xù)復利計算，而且是零利率，假設銀行存款利率按連續(xù)復利計算，而且是零利率，中間不支付利息。如果人民幣的年利率為中間不支付利息。如果人民幣的年利率為 ，零時刻，零時刻1 1元人民幣國債在元人民幣國債在t t時刻的價值為：時刻的價值為： n （17-117-1）n同理，如果美元的年利率為同理，如果美元的年利率為 ，零時刻，零時刻1 1美元國債在美元國債在 時刻的價值為：時刻的價值為：n （17-217-2）trtdeB trtfeD drfrtn事實上，美元兌換人民幣的數量每時每刻都在變化。事實上，

4、美元兌換人民幣的數量每時每刻都在變化。根據歷史數據統(tǒng)計，兩者之間服從幾何布朗運動。假根據歷史數據統(tǒng)計，兩者之間服從幾何布朗運動。假設零時刻設零時刻1 1美元兌換美元兌換 人民幣，則人民幣，則 時刻時刻1 1美元可兌美元可兌換的人民幣數量為一個隨機變量，可表示為：換的人民幣數量為一個隨機變量，可表示為：n （17-317-3）n其中：匯率波動其中：匯率波動 是由隨機因素決定的；是由隨機因素決定的； 而匯率漂而匯率漂移移 是由兩國的銀行存款利率和綜合國力所決定的；是由兩國的銀行存款利率和綜合國力所決定的； 為為 測度下的布朗運動。測度下的布朗運動。 、 、 和和 為常數。為常數。)exp(0tWC

5、Ctt0CttWPfrdrn17.1.2 匯率波動過程匯率波動過程n從現(xiàn)金模型中我們可以看出，人民幣債券從現(xiàn)金模型中我們可以看出，人民幣債券 、美元債、美元債券券 和匯率和匯率 都是不可交易的。而且都是不可交易的。而且 和和 的乘的乘積積 是可交易的。計量單位是人民幣。是可交易的。計量單位是人民幣。n （17-417-4）n公式（公式（17-417-4）表示）表示 時刻美元投資者持有時刻美元投資者持有 美元現(xiàn)金，美元現(xiàn)金，匯率按匯率按 所表示的布朗運動進行波動，所表示的布朗運動進行波動， 時刻能兌換時刻能兌換 元人民幣元人民幣。tttDCS tBtDtCtCtDtStStDttCtn用用 時刻

6、的人民幣時刻的人民幣 對對 進行貼現(xiàn)，得到貼現(xiàn)后的進行貼現(xiàn)，得到貼現(xiàn)后的美元兌人民幣的匯率美元兌人民幣的匯率n n （17-517-5）n根據伊滕定理，我們可以求出隨機過程（根據伊滕定理，我們可以求出隨機過程（17-517-5）的隨）的隨機微分方程：機微分方程：n （17-617-6）n如果外匯市場沒有套利機會，式（如果外匯市場沒有套利機會，式（17-617-6）所表示的隨）所表示的隨機過程必須是鞅過程。機過程必須是鞅過程。1ttttBDCZ)(exp0trrWCZdft)21(2dtrrdWZdZdfttttBtSn如果如果 是是 測度下的布朗運動，利用測度下的布朗運動，利用CMGCMG測度

7、變換定測度變換定理理, ,讓讓n （17-717-7）n則式（則式（17-617-6）變成）變成 測度下的鞅過程測度下的鞅過程n （17-817-8）n鞅過程（鞅過程（17-817-8）的均值為零，根據）的均值為零，根據ItoIto定理，我們可以定理，我們可以求出它的解：求出它的解：n （17-917-9）WWdZdZtt)21exp(20tWCZttrrWWdftt)21(12QQn因為因為n即即n （17-1017-10）n用隨機過程（用隨機過程（17-1017-10）表示的匯率過程沒有套利機會。）表示的匯率過程沒有套利機會。ttttZDBC1)21(exp20trrWCCfdtn17.1

8、.3 遠期匯率遠期匯率n下面介紹遠期匯率。如果沒有套利機會，下面介紹遠期匯率。如果沒有套利機會， 年后，一年后，一美元能兌換多少人民幣呢？也就是說，美元能兌換多少人民幣呢？也就是說， 年后，投資年后，投資者愿意出什么樣的價格買入人民幣。者愿意出什么樣的價格買入人民幣。n假設今天遠期匯率價格為假設今天遠期匯率價格為 （CNY/USDCNY/USD） ，而，而 年后，年后，一美元實際能買一美元實際能買 元人民幣。則遠期匯率的價值為：元人民幣。則遠期匯率的價值為：n如果外匯市場沒有套利機會，則遠期匯率的價值應該如果外匯市場沒有套利機會，則遠期匯率的價值應該等于零，也就是說，遠期匯率的價格應該等于匯率

9、過等于零，也就是說，遠期匯率的價格應該等于匯率過程程 在在 時刻的價格的期望值。時刻的價格的期望值。FCTTTFTTCTCTn遠期匯率的期望值為：遠期匯率的期望值為：n （17-1117-11）)21(exp20TrrWCEFfdQdeeeCTTTrrfd2221)21()(021deeCTTrrfd2)(21)(021deeCTrrfd221)(021TrrfdeCF)(0n用模型（用模型（17-1117-11）計算出的遠期匯率沒有套利機會。把）計算出的遠期匯率沒有套利機會。把式（式（17-1117-11）代入式（）代入式（17-1017-10），得到），得到n （17-1217-12）n模

10、型模型(17-12)(17-12)為美式外匯期權定價的基礎。為美式外匯期權定價的基礎。)21exp(2TWFCTn17.1.4 美式外匯期權定價模型美式外匯期權定價模型n假設我們手里有一張外匯期權和約（我們暫時不考慮假設我們手里有一張外匯期權和約（我們暫時不考慮和約的名義本金數量），期權和約的期限為和約的名義本金數量），期權和約的期限為 年，執(zhí)年，執(zhí)行價格為行價格為 。假設是歐式看漲期權，歐式外匯期權和。假設是歐式看漲期權，歐式外匯期權和約在到期執(zhí)行期權。在簽約日，單位美元歐式看漲期約在到期執(zhí)行期權。在簽約日，單位美元歐式看漲期權的價值為：權的價值為：n表示歐式期權的當前價值。表示歐式期權的當

11、前價值。)0 ,max(XCEecTQTrEdTXn對于美式外匯期權，可以在購買外匯期權的當天執(zhí)行對于美式外匯期權，可以在購買外匯期權的當天執(zhí)行期權，也可以在期權到期前任何時刻執(zhí)行期權。執(zhí)行期權，也可以在期權到期前任何時刻執(zhí)行期權。執(zhí)行美式期權后，投資者可以把資金投資到利率為美式期權后，投資者可以把資金投資到利率為 、期、期限為限為 年的無風險人民幣債券。因此，美式外匯看漲年的無風險人民幣債券。因此，美式外匯看漲期權的當前價值是歐式外匯看漲期權的期權的當前價值是歐式外匯看漲期權的 倍。倍。n （17-1317-13）n把式（把式（17-1217-12）中的）中的 代入式（代入式（17-1317

12、-13），得到美式外），得到美式外匯看漲期權的價值：匯看漲期權的價值：n （17-1417-14）)0 ,max(XCEcTQA0 ,)21exp(max2XTTFEcQATrdeTdrTCn在期權執(zhí)行日，如果外匯的實際價格小于等于執(zhí)行價在期權執(zhí)行日，如果外匯的實際價格小于等于執(zhí)行價格時，持有者有權不執(zhí)行期權，因此，期權的價值始格時，持有者有權不執(zhí)行期權，因此，期權的價值始終大于零，也就是說，下列不等式成立：終大于零，也就是說，下列不等式成立：n （17-1517-15）n不等式（不等式（17-1517-15）兩邊取自然對數，得到隨機變量的?。﹥蛇吶∽匀粚?，得到隨機變量的取值范圍：值范圍：n

13、因此，美式美元兌換人民幣的匯率看漲期權的期望值因此，美式美元兌換人民幣的匯率看漲期權的期望值為：為：n （17-1617-16）0)21exp(2XTTFaTTXF221lndeXTTFcaA2212)21exp(21n把式（把式（17-1617-16）分解成兩項。）分解成兩項。n （17-1717-17）n在第一項中，令在第一項中，令 ，并代入式（，并代入式（17-1717-17）中，）中，得到：得到：n （17-1817-18）n交換積分的上下限，并改變上下限的符號，得到：交換積分的上下限，并改變上下限的符號，得到：n （17-1917-19）deXdeFcaaTA2221)(2122de

14、XdeFcaTaA22212122deXdeFcaTaA2221)(2122Tn令令 ， 。可以把式（?？梢园咽剑?7-1917-19）簡寫成）簡寫成下列形式：下列形式：n （17-2017-20）n其中：其中：)(1Tadad2)()(21dXNdFNcAdedNd22121)(TTXFd2121lnTdTTXFd12221lnn同理可以得到美式匯率看跌期權的定價模型：同理可以得到美式匯率看跌期權的定價模型：n （17-2117-21）n當為現(xiàn)貨外匯期權定價時，當為現(xiàn)貨外匯期權定價時，F(xiàn) F用式（用式（17-1117-11）計算；）計算；n當為外匯期貨期權定價時，為外匯期貨的當前匯率。當為外

15、匯期貨期權定價時，為外匯期貨的當前匯率。)()(12dFNdXNpA17.2 分形美式期權定價分形美式期權定價nHurstHurst是一個水文工作者，為了決定預測是一個水文工作者，為了決定預測尼羅河尼羅河的排水的排水量，對尼羅河的流量進行了大量的觀測。經過多年的量，對尼羅河的流量進行了大量的觀測。經過多年的研究研究HurstHurst發(fā)現(xiàn)，流量不服從正態(tài)分布，是一個有偏的發(fā)現(xiàn)，流量不服從正態(tài)分布，是一個有偏的隨機游走過程。也就是說，流量之間存在長期相關性隨機游走過程。也就是說，流量之間存在長期相關性（或長記憶性）。（或長記憶性）。19511951年，年，HurstHurst提出重標極差分析法提

16、出重標極差分析法（Rescaled Range AnalysisRescaled Range Analysis，或，或R/SR/S分析法）。分析法）。2020世世紀紀7070年代，美國數學家曼德波羅年代，美國數學家曼德波羅(B.Mandebrot)(B.Mandebrot)等提出等提出分形幾何（又稱分數幾何），在金融工程中得到廣泛分形幾何（又稱分數幾何），在金融工程中得到廣泛應用。應用。nDecreusefond and UstunelDecreusefond and Ustunel（19991999）運用路徑依賴積）運用路徑依賴積分（分（StratonovichStratonovich型積分

17、）發(fā)展了基于分形布朗運動型積分）發(fā)展了基于分形布朗運動的歐式期權定價公式。本節(jié)的案例引用了中信證券股的歐式期權定價公式。本節(jié)的案例引用了中信證券股份有限公司嚴高劍和胡浩的研究成果。份有限公司嚴高劍和胡浩的研究成果。n17.2.1 重標極差分析重標極差分析n重標極差分析法（重標極差分析法（Rescaled Range AnalysisRescaled Range Analysis）是一種）是一種對自然現(xiàn)象觀測數據的分析方法。假設有對自然現(xiàn)象觀測數據的分析方法。假設有 個觀測個觀測值值 ，第，第 個觀測值為個觀測值為 。 可以是股票價可以是股票價格，也可以是股票價格指數，或者兩種貨幣的兌換價格，也

18、可以是股票價格指數，或者兩種貨幣的兌換價格。假設前格。假設前 個觀測值的和為：個觀測值的和為：n則前則前 個觀測值和的最佳估計量為個觀測值和的最佳估計量為 ，誤差為：，誤差為：n其中：其中： 為為 個觀測值的和。個觀測值的和。ntxXtiit, 2 , 1,1ntXntX nnxxx,21ttxtxttnXnt)/(nXnn前前t t個觀測值和的最大誤差和最小誤差分別為：個觀測值和的最大誤差和最小誤差分別為：n其中花括號內是一個集合。其中花括號內是一個集合。n最大誤差和最小誤差之間的極差為：最大誤差和最小誤差之間的極差為：n假設假設 個觀測值的標準差為：個觀測值的標準差為：maxntXntX

19、minntXntX minmaxntnttXntXXntXR2112)1(1tiitiitxtxtStn重標極差、估計標準差和重標極差、估計標準差和HurstHurst指數指數H H之間的關系為：之間的關系為：n兩邊取對數得：兩邊取對數得：n利用回歸分析可以得到利用回歸分析可以得到HurstHurst指數指數 的估計值。時間序的估計值。時間序列分形維數列分形維數 為：為：HtttSRtHSRttln)ln(HD 2HDn（1 1）當）當 時，稱為均值回復時間序列，它比時，稱為均值回復時間序列，它比隨機時間序列更具有突變性。時間序列在前一段時間隨機時間序列更具有突變性。時間序列在前一段時間遞增，

20、在后一段時間遞減。時間序列表現(xiàn)為多噪聲，遞增，在后一段時間遞減。時間序列表現(xiàn)為多噪聲，時間序列具有很強的不規(guī)則性。時間序列的維時間序列具有很強的不規(guī)則性。時間序列的維數數 。n（2 2）當）當 時，稱為標準的隨機過程，時間序列時，稱為標準的隨機過程，時間序列下一時刻的值不受前一時刻的影響。時間序列的維下一時刻的值不受前一時刻的影響。時間序列的維數數 。n（3 3）當）當 時，稱為均值持久時間序列，他比時，稱為均值持久時間序列，他比隨機時間序列更具有持久性。時間序列在前一段時間隨機時間序列更具有持久性。時間序列在前一段時間遞增，在后一段時間也遞增。時間序列具有很強的規(guī)遞增，在后一段時間也遞增。時

21、間序列具有很強的規(guī)則性。時間序列的維數則性。時間序列的維數 。5 . 00 H25 . 1 D5 . 0H5 . 1D15 . 0 H5 . 11 Dn表表17-117-1是上海證券交易所綜合指數是上海證券交易所綜合指數HurstHurst指數計算過程，指數計算過程，其中年收益率采用對數收益率。其中年收益率采用對數收益率。n以極差除以標準差的對數以極差除以標準差的對數 為因變量，以時間為因變量，以時間對數對數 為自變量，對為自變量，對19931993年至年至20102010年的數據進行線年的數據進行線性回歸，得到性回歸，得到HurstHurst指數為指數為 , ,相關系數為相關系數為0.876

22、0.876。上證綜指年收益率為均值持久時間序列，它比。上證綜指年收益率為均值持久時間序列，它比隨機時間序列更具有持久性。采樣區(qū)段不同，隨機時間序列更具有持久性。采樣區(qū)段不同，HurstHurst指指數也不同。如果采樣區(qū)段處在上升階段（或者下降階數也不同。如果采樣區(qū)段處在上升階段（或者下降階段），段），HurstHurst指數指數 ；如果采樣區(qū)段處在上升和；如果采樣區(qū)段處在上升和下降交替階段，下降交替階段，HurstHurst指數指數 。)ln(1tttPPx)/ln(ttSRtln582. 0H5 . 0H5 . 0H表表17-1 上證綜指上證綜指Hurst指數計算過程指數計算過程采樣時間采樣

23、時間年年/月月/日日收盤價收盤價Pt收益率收益率xt收益率求和收益率求和估計值估計值(t/n)Xt誤差誤差極差極差Rt標準差標準差StR/S對數對數時間時間t時間時間對數對數1990/12/311990/12/31127.61127.611991/12/311991/12/31292.72292.720.830.830.830.830.160.160.670.670.000.001 10.000.001992/12/311992/12/31780.39780.390.980.981.811.810.310.311.501.500.830.832 20.690.691993/12/311993/

24、12/31833.80 833.80 0.070.071.881.880.470.471.411.410.830.830.490.490.530.533 31.101.101994/12/311994/12/31647.86647.86-0.25-0.251.631.630.620.621.011.010.830.830.590.590.330.334 41.391.391995/12/311995/12/31555.28555.28-0.15-0.151.481.480.780.780.700.700.830.830.570.570.370.375 51.611.611996/12/3119

25、96/12/31917.01917.010.500.501.981.980.930.931.051.050.830.830.520.520.470.476 61.791.791997/12/311997/12/311194.101194.100.260.262.242.241.091.091.151.150.830.830.470.470.560.567 71.951.951998/12/311998/12/311146.701146.70-0.04-0.042.202.201.241.240.960.960.830.830.460.460.600.608 82.082.081999/12/3

26、11999/12/311366.581366.580.180.182.382.381.401.400.980.980.830.830.430.430.660.669 92.202.202000/12/312000/12/312073.472073.470.420.422.802.801.561.561.241.240.830.830.410.410.710.7110102.302.302001/12/312001/12/311645.971645.97-0.23-0.232.572.571.711.710.860.860.830.830.420.420.690.6911112.402.4020

27、02/12/312002/12/311357.651357.65-0.19-0.192.382.381.871.870.510.510.990.990.420.420.870.8712122.482.482003/12/302003/12/301497.041497.040.100.102.482.482.022.020.460.461.041.040.400.400.960.9613132.562.562004/12/312004/12/311266.501266.50-0.17-0.172.312.312.182.180.130.131.371.370.390.391.251.251414

28、2.642.642005/12/302005/12/301161.061161.06-0.09-0.092.222.222.332.33-0.11-0.111.611.610.390.391.431.4315152.712.712006/12/292006/12/292675.472675.470.830.833.053.052.492.490.560.561.611.610.410.411.371.3716162.712.712007/12/282007/12/285261.565261.560.680.683.733.732.642.641.091.091.611.610.410.411.

29、361.3617172.832.832008/12/312008/12/311820.811820.81-1.06-1.062.672.672.802.80-0.13-0.131.631.630.500.501.181.1818182.892.892009/12/312009/12/313277.143277.140.590.593.263.262.952.950.310.311.631.630.500.501.181.1819192.942.94n重標極差分析法在樣本多時才有效，由重標極差分析法在樣本多時才有效，由于上證綜指的樣本較少，結果可靠性不于上證綜指的樣本較少，結果可靠性不高。由于高

30、。由于HurstHurst指數不等于指數不等于1/21/2，用，用Black-Scholes-Merton歐式期權定價歐式期權定價模型和模型和美式期權定價模型為期權定價存美式期權定價模型為期權定價存在誤差。下面介紹分形美式期權定價模在誤差。下面介紹分形美式期權定價模型。型。n17.2.2 分形美式期權定價模型分形美式期權定價模型nBlack-Scholes-MertonBlack-Scholes-Merton歐式期權定價模型成立，金融歐式期權定價模型成立，金融市場應該滿足下列條件：（市場應該滿足下列條件：（1 1）金融市場沒有交易成本；）金融市場沒有交易成本；（2 2）允許無條件賣空標的資產；

31、（）允許無條件賣空標的資產；（3 3）金融市場不存）金融市場不存在套利機會；（在套利機會；（4 4）標的資產的價格可以無限分割；）標的資產的價格可以無限分割；（5 5）標的資產的價格滿足幾何布朗運動：）標的資產的價格滿足幾何布朗運動：n其中：其中： 為為 測度下的布朗運動。測度下的布朗運動。n沒有套利機會的標的資產價格過程為：沒有套利機會的標的資產價格過程為：n其中：其中： 為為 測度下的布朗運動。測度下的布朗運動。TtSdWSdtSdStttt0 , 0,)21(exp20trWSStWWPQn事實上，用幾何布朗運動描述金融資產的價格不夠準事實上，用幾何布朗運動描述金融資產的價格不夠準確，幾

32、何布朗運動僅僅是分形布朗運動的特例。幾何確，幾何布朗運動僅僅是分形布朗運動的特例。幾何布朗運動是布朗運動是HurstHurst指數指數 時的分形布朗運動。時的分形布朗運動。n假設標的資產的價格滿足分形布朗運動：假設標的資產的價格滿足分形布朗運動：n其中：其中： 為為HurstHurst指數；指數； 為為 測度下分形布朗運動。測度下分形布朗運動。 n假設無風險利率假設無風險利率 、對數收益率的波動率、對數收益率的波動率 均為常數，均為常數，則沒有套利機會的標的資產價格過程為：則沒有套利機會的標的資產價格過程為：n其中：其中： 為為 測度下分形布朗運動。測度下分形布朗運動。TtSdWSdtSdSt

33、Httt0 , 0,)21exp(220HHttrtWSSHW2/1HHHWPrQn如果執(zhí)行價格為如果執(zhí)行價格為 ，到期日為，到期日為 ，在，在0 0時刻美式看漲期時刻美式看漲期權和美式看跌期權的價值分別為：權和美式看跌期權的價值分別為：n其中其中)()(210dXNdNeScrTA)()(102dNeSdXNprTAHHTTrTXSd22202, 121)ln(dxedNdx22121)(XTn概率函數的導數為概率密度函數：概率函數的導數為概率密度函數：n比較上述公式可以發(fā)現(xiàn)，在分形期權定價模型中，比較上述公式可以發(fā)現(xiàn)，在分形期權定價模型中， 用代替用代替BSMBSM定價模型中的定價模型中的

34、 。因此，當期權的期限。因此，當期權的期限 確確定時，定時，BSMBSM定價模型給出的期權價格相同，而分形定價定價模型給出的期權價格相同，而分形定價公式得到的期權價格是不同的。公式得到的期權價格是不同的。2221)(xexnTHT2Tn分形布朗運動不具備馬爾科夫性的特點，使期分形布朗運動不具備馬爾科夫性的特點，使期權價值依賴標的資產價格的變化路徑。在某種權價值依賴標的資產價格的變化路徑。在某種程度上體現(xiàn)了標的資產收益率的長期記憶性。程度上體現(xiàn)了標的資產收益率的長期記憶性。由于長期記憶性的存在，標的資產價格波動會由于長期記憶性的存在，標的資產價格波動會受到初始狀態(tài)的影響，進而影響到期權的價值。受

35、到初始狀態(tài)的影響，進而影響到期權的價值。而而BSMBSM期權定價模型沒有反映時間序列的長記期權定價模型沒有反映時間序列的長記憶性，而分形期權定價模型充分體現(xiàn)出時間序憶性，而分形期權定價模型充分體現(xiàn)出時間序列的長記憶性。由此可見，分形布朗運動假設列的長記憶性。由此可見，分形布朗運動假設比幾何布朗運動假設更加合理。比幾何布朗運動假設更加合理。n17.2.3 17.2.3 滬深股票價格指數正態(tài)性檢驗滬深股票價格指數正態(tài)性檢驗n中信證券金融工程研究小組（中信證券金融工程研究小組（20062006）選擇上證綜指和）選擇上證綜指和深證成指深證成指20032003年年3 3月月2121日至日至2006200

36、6年年3 3月月2121日三年日收盤日三年日收盤價作為數據樣本進行正態(tài)性檢驗。假設第價作為數據樣本進行正態(tài)性檢驗。假設第t t日的對數收日的對數收益率為益率為: :n其中其中: : 為第為第 日指數收盤價格。日指數收盤價格。n相對于正態(tài)分布，日收益率直方圖明顯的表現(xiàn)出相對于正態(tài)分布，日收益率直方圖明顯的表現(xiàn)出“尖尖峰峰”和和“厚尾厚尾”態(tài)勢。在均值附近聚集了大量的樣本，態(tài)勢。在均值附近聚集了大量的樣本，而在兩側尾部仍散落著一些不可忽視的樣本。因此股而在兩側尾部仍散落著一些不可忽視的樣本。因此股票資產收益率的正態(tài)性受到質疑。票資產收益率的正態(tài)性受到質疑。 1lnlntttPPXtPtnJarqu

37、e-BeraJarque-Bera檢驗方法可以用來檢驗股票收益率正態(tài)性。檢驗方法可以用來檢驗股票收益率正態(tài)性。對不同采樣間隔、不同標的資產收益率的對不同采樣間隔、不同標的資產收益率的JBJB檢驗公式檢驗公式如下：如下：n其中：其中： 表示樣本數；表示樣本數； 表示偏度；表示偏度； 表示峰度；表示峰度； 表示卡方分布的自由度，在正態(tài)分布的假設下，表示卡方分布的自由度，在正態(tài)分布的假設下，JBJB統(tǒng)統(tǒng)計量服從自由度為計量服從自由度為2 2的卡方分布。的卡方分布。n由表由表17-217-2可知，所有的樣本序列均無法通過可知，所有的樣本序列均無法通過JBJB檢驗。檢驗。從偏度來看，所有指數均呈右偏。從

38、峰度來看，均呈從偏度來看，所有指數均呈右偏。從峰度來看，均呈尖峰狀態(tài)。各個尖峰狀態(tài)。各個JBJB檢驗統(tǒng)計量均遠大于檢驗統(tǒng)計量均遠大于1%1%或或5%5%對應的對應的臨界點，伴隨概率接近零，拒絕收益率服從正態(tài)分布臨界點，伴隨概率接近零，拒絕收益率服從正態(tài)分布的零假設。的零假設。 )3(41622KSdnJBnSKdn表表17-2 收益率收益率JB檢驗結果檢驗結果 收益序列收益序列均值均值方差方差偏度偏度峰度峰度JBJB統(tǒng)計量統(tǒng)計量伴隨概率伴隨概率分析時間段：分析時間段：20032003年年3 3月月2121日至日至20062006年年3 3月月2121日日上證綜指上證綜指-0.000213-0.

39、0002130.01410.01410.49980.49984.45924.459294.503294.50320.00000.0000深證成指深證成指0.0001720.0001720.01350.01350.55970.55975.14515.1451176.8590176.85900.00000.0000寶鋼寶鋼-0.000217-0.0002170.01770.0177-0.5971-0.597110.218710.21871617.2171617.2170.00000.0000鞍鋼鞍鋼0.0005430.0005430.02300.02300.08110.08115.27135.27

40、13156.6360156.63600.00000.0000鋼釩鋼釩-0.000555-0.0005550.02820.0282-11.115-11.115230.205230.2051574340.00001574340.00000.00000.0000分析時間段：分析時間段：20052005年年3 3月月2121日至日至20062006年年3 3月月2121日日上證綜指上證綜指0.0004920.0004920.01420.01420.52690.52695.79675.796790.433490.43340.00000.0000深證成指深證成指0.0001440.0001440.0143

41、0.01430.75770.75776.81886.8188170.9073170.90730.00000.0000寶鋼寶鋼-0.001493-0.0014930.01750.0175-2.1060-2.106019.151419.15142820.91602820.91600.00000.0000鞍鋼鞍鋼-0.000239-0.0002390.02450.02450.04080.04086.13766.137699.743199.74310.00000.0000鋼釩鋼釩-0.001253-0.0012530.04120.0412-10.6990-10.6990149.9270149.9270

42、223208.7000223208.70000.00000.0000n17.2.4 滬深股市分形結構滬深股市分形結構n20052005年年0303月月2121日至日至20062006年年0303月月2121日數據表明，日數據表明，滬市和深市的滬市和深市的HurstHurst指數分別為指數分別為0.6180.618，0.6910.691。n而從而從20032003年年3 3月月2121日至日至20062006年年3 3月月2121日三年數據日三年數據看，兩個市場的分形結構分別為看，兩個市場的分形結構分別為0.5860.586和和0.5410.541。這和國內其他研究結果是一致的，中國證券市這和國

43、內其他研究結果是一致的，中國證券市場具有場具有0.600.60附近的分形結構，即具有長期記憶附近的分形結構，即具有長期記憶性。雖然選擇不同的樣本數據段對市場指數的性。雖然選擇不同的樣本數據段對市場指數的R/SR/S分析得到的分析得到的HurstHurst指數可能存在一定的差異，指數可能存在一定的差異，但是對單支股票而言，不同數據段但是對單支股票而言，不同數據段R/SR/S分析結分析結果相對穩(wěn)定。果相對穩(wěn)定。 n表表17-3 Hurst 指數估計結果指數估計結果 分析時間段：分析時間段：20032003年年3 3月月2121日至日至20062006年年3 3月月2121日日H HStd.ErrS

44、td.ErrT TSig.Sig.R RF FSig.Sig.上證綜指上證綜指0.5860.5860.0040.004134.139134.1390.0000.0000.9900.99017993.16017993.1600.0000.000深證成指深證成指0.5510.5510.0060.00699.99299.9920.0000.0000.9830.9839998.3369998.3360.0000.000寶鋼寶鋼0.7120.7120.0040.004169.453169.4530.0000.0000.9900.99016757.96016757.9600.0000.000鞍鋼鞍鋼0.6

45、530.6530.0030.003205.193205.1930.0000.0000.9960.99642104.32042104.3200.0000.000鋼釩鋼釩0.5300.5300.0060.00690.42190.4210.0000.0000.9800.9808175.8998175.8990.0000.000分析時間段：分析時間段：20052005年年3 3月月2121日至日至20062006年年3 3月月2121日日上證綜指上證綜指0.6180.6180.0080.00874.05574.0550.0000.0000.9900.9905484.1355484.1350.0000.

46、000深證成指深證成指0.6910.6910.0080.00885.49885.4980.0000.0000.9930.9937309.8867309.8860.0000.000寶鋼寶鋼0.6880.6880.0110.01151.55051.5500.0000.0000.9820.9822657.4352657.4350.0000.000鞍鋼鞍鋼0.6450.6450.0130.01348.50748.5070.0000.0000.9800.9802352.8902352.8900.0000.000鋼釩鋼釩0.5610.5610.0090.00960.99160.9910.0000.0000

47、.9870.9873719.8953719.8950.0000.000n17.2.5 分形權證定價應用分形權證定價應用n寶鋼、鞍鋼、鋼釩的寶鋼、鞍鋼、鋼釩的HurstHurst指數估計值分別為指數估計值分別為0.70.7，0.650.65，0.550.55。運用分形定價公式對三支權證發(fā)行日進。運用分形定價公式對三支權證發(fā)行日進行定價分析，其結果見表行定價分析，其結果見表17-417-4。n表表17-417-4表明，在發(fā)行日寶鋼權證、鞍鋼權證市場價格表明，在發(fā)行日寶鋼權證、鞍鋼權證市場價格高于分形理論價格，而鋼釩權證市場價格低于分形理高于分形理論價格，而鋼釩權證市場價格低于分形理論價格。不過除了寶鋼權證外，其他兩支權證執(zhí)行價論價格。不過除了寶鋼權證外，其他兩支權證執(zhí)行價格與理論價格之間差異很小。因此權證