《分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)》重難點(diǎn)突破

1、分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)重難點(diǎn)突破分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)重難點(diǎn)突破浙江省諸暨市實(shí)驗(yàn)小學(xué)教育集團(tuán)陳菊婢（初稿）浙江省諸暨市教育局教研室湯驥（統(tǒng)稿）一、理解分?jǐn)?shù)的意義突破建議：1.多角度了解與揭示分?jǐn)?shù)的來(lái)源，促進(jìn)學(xué)生雙分?jǐn)?shù)本質(zhì)的理解。在小學(xué)數(shù)學(xué)里，認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)是學(xué)習(xí)數(shù)的概念的一次重要擴(kuò)展。因此，教學(xué)中要從揭示產(chǎn)生分?jǐn)?shù)的現(xiàn)實(shí)背景出發(fā)，幫助學(xué)生領(lǐng)會(huì)分?jǐn)?shù)的含義，理解分?jǐn)?shù)的意義。從現(xiàn)實(shí)的角度來(lái)看，數(shù)是用來(lái)表示量的。如6支筆、8個(gè)人等這些量的共同特征，可以用自然數(shù)6、8來(lái)表示。但除了上面列舉的有一些單位量合成的，可以用自然數(shù)表示的量之外，還存在許多可以分割的、無(wú)法用自然數(shù)來(lái)表示的量。歷史上，分?jǐn)?shù)正是為了比較精確地測(cè)量這類需要

2、分割的量而引入的。另外，從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，分?jǐn)?shù)的引入是為了解決整數(shù)集合里除法不是總能實(shí)施的矛盾。|»32=1比如，2+3在整數(shù)范圍內(nèi)不能計(jì)算，引入分?jǐn)?shù)就能記作2+3=o再引出分?jǐn)?shù)概念之后，又通過(guò)分蛋糕、分月餅的實(shí)例，抽象出分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，使學(xué)生初步感悟：利用分?jǐn)?shù)，可以解決整數(shù)除法除不盡的矛盾。即從數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的角度，揭示了分?jǐn)?shù)的來(lái)源?？傊?，教學(xué)通過(guò)多角度呈現(xiàn)分?jǐn)?shù)的來(lái)源，使學(xué)生感悟到分?jǐn)?shù)是為了適應(yīng)客觀實(shí)際需要而產(chǎn)生的。同時(shí)，為學(xué)生提供了較為豐富的理解分?jǐn)?shù)意義的教學(xué)素材,從而為學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的本質(zhì)意義提供了牢固的學(xué)習(xí)平臺(tái)。2.充分利用學(xué)生已有知識(shí)基礎(chǔ)與學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，在學(xué)習(xí)活動(dòng)中及時(shí)抽象概括分

3、數(shù)的意義。本單元的教學(xué)是學(xué)生在三年級(jí)學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”的基礎(chǔ)上展開(kāi)的，即學(xué)生已有將一個(gè)圖形、實(shí)物等平均分可以得到分?jǐn)?shù)的認(rèn)知基礎(chǔ)。因此,本節(jié)課的研究對(duì)象是將一些物體看成一個(gè)整體。但在實(shí)際的教學(xué)中，分?jǐn)?shù)單位“1”的相對(duì)性與自然數(shù)“1”的確定性，在學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中是相互矛盾的，進(jìn)而導(dǎo)致分?jǐn)?shù)的意義不為他們己有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)所接受和同化。也就是說(shuō)，單位“1”它不僅表示一個(gè)物體，也可以表示由多個(gè)物體所組成的一個(gè)整體，如一個(gè)物體、一個(gè)圖形、一個(gè)計(jì)量單位可以稱作單位“1”，一些物體所組成的一個(gè)整體也可以稱作單位“1”,即與單位“1”相對(duì)應(yīng)的量是動(dòng)態(tài)的，具有相對(duì)性。當(dāng)單位“1”表示為一個(gè)物體（如一個(gè)蘋(píng)果、一

4、個(gè)圓形、一米線段）時(shí)，與學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)中所確定不變的自然數(shù)“1”相一致，當(dāng)單位“1”表示為多個(gè)物體（如10個(gè)蘋(píng)果、23個(gè)圓形、35條1米長(zhǎng)的線段）時(shí)，與自然數(shù)“1”就有了沖突，學(xué)生的理解也隨之產(chǎn)生偏差。因此，本單元教學(xué)的主要任務(wù)是在幫助學(xué)生重構(gòu)與拓展單位“1”的含義，進(jìn)而揭示分?jǐn)?shù)的本質(zhì)。由此，教學(xué)不妨如下展開(kāi)：（1）重溫舊知，導(dǎo)入新課揭題：分?jǐn)?shù)。板書(shū)：，對(duì)這樣的分?jǐn)?shù)有哪些認(rèn)識(shí)？（各部分名稱、產(chǎn)生過(guò)程等。）1你能想辦法表示z嗎?預(yù)設(shè)三類表示方式:2（前兩類）為什么不同的圖形都可以表示？工概括：把一個(gè)圖形平均分成4份，這樣的1份用；表示。（板書(shū)）那這第三類能不能用，表示呢？引發(fā)思辯。（2）操作體驗(yàn)，

5、概括意義2用這幅圖表示彳，和之前用圖形表示有什么區(qū)別？（看成一個(gè)整體，完善表示方法。）2如果有更多的圓，怎么表示?你能畫(huà)一畫(huà)嗎？（一個(gè)學(xué)生到黑板上用磁鐵擺）形成:OOIQIOQQJ小結(jié)：部分是整體的如之前的平面圖形、線段、圓看成的整體等等，這7八I八OOOO回o|o|oolololo三種表示方法有什么不同？（整體數(shù)量不同，表示的數(shù)量也不同）；為什么2數(shù)量不同都可以表示a?（板書(shū)：一個(gè)整體）。歸納：1個(gè)是4個(gè)的4,2個(gè)是8個(gè)的4,3個(gè)是12個(gè)的4021更多的圓，怎樣表示4?（平均分成4份，用一份表示）形成:些都可以稱為單位“1”。（板書(shū)）問(wèn)：為什么1要帶上引號(hào)？（區(qū)別自然數(shù)1表小特定稱謂）觀察下

6、面的圖形，你看到了哪些分?jǐn)?shù)?你是怎么想到這些分?jǐn)?shù)的？整體是12個(gè)，部分是4個(gè)，為什么可以用不同的分?jǐn)?shù)表示？總結(jié)：把單位“1”平均分成若干份，這樣的一份或幾份都可以用分?jǐn)?shù)表示,顯然，該環(huán)節(jié)教學(xué)對(duì)學(xué)生的思維、認(rèn)知無(wú)疑是一個(gè)很好地提升。在創(chuàng)造分?jǐn)?shù)的過(guò)程中，學(xué)生不但可以更加深刻地理解分?jǐn)?shù)意義，還可以嘗到探索活動(dòng)的趣味，樹(shù)立良好的學(xué)習(xí)信心。3.在練習(xí)糾錯(cuò)中不斷積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，正確表征分?jǐn)?shù)內(nèi)涵。分?jǐn)?shù)概念的多重意義性意味著學(xué)生必須要跟隨教學(xué)進(jìn)度，不斷激發(fā)已有的分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，由淺入深，分步擴(kuò)展，主動(dòng)建構(gòu)新的分?jǐn)?shù)經(jīng)驗(yàn)，不斷擴(kuò)充、完善對(duì)分?jǐn)?shù)內(nèi)涵和分?jǐn)?shù)概念的認(rèn)知與把握。在此基礎(chǔ)上，要善于引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度，在不同意

7、義情境下，全方位地認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，了解其各種不同的表征方式，理解其不同的內(nèi)涵，正確地建立分?jǐn)?shù)概念，否則，學(xué)生難以運(yùn)用知識(shí)靈活解決有關(guān)分?jǐn)?shù)的實(shí)際問(wèn)題。37【錯(cuò)例11在下面的數(shù)軸上，和之間，可以找到（A個(gè)分?jǐn)?shù)。f1T2A.3B.5C,無(wú)數(shù)2【錯(cuò)例2】虛線框中代表的是行根小棒，請(qǐng)你估計(jì)一下，選項(xiàng)（B）代表的是1根小棒Mr>9告根1IJ*AIm-BJS.ii.-J,8XJ-B,«lA-f1氏二C.=錯(cuò)例1反映出學(xué)生缺乏分?jǐn)?shù)的數(shù)感，分?jǐn)?shù)稠密性知識(shí)掌握不牢，他們只是把37數(shù)軸上工和a之間能看到的，已經(jīng)標(biāo)記出來(lái)的3個(gè)刻度線，作為可以找到的分?jǐn)?shù)，其實(shí)，無(wú)論哪兩個(gè)分?jǐn)?shù)之間，都存有無(wú)數(shù)個(gè)分?jǐn)?shù)。錯(cuò)例2中學(xué)

8、生沒(méi)有選A,£說(shuō)明他們已經(jīng)意識(shí)到“1根小棒”的長(zhǎng)度肯定比“彳根”要長(zhǎng)，實(shí)際調(diào)查中還發(fā)1 11現(xiàn)，有的學(xué)生通過(guò)計(jì)算，知道要長(zhǎng)“3根”，但究竟“3根”是誰(shuí)的3他們很2 1模糊，于是就把已知的5根小棒，作為需要估計(jì)的“3”的單位“1”，認(rèn)為要1求的一根小棒就是比已知的小棒多3,從而出現(xiàn)錯(cuò)誤。因此，只有牢牢把握分?jǐn)?shù)概念的不同表征方式，深刻理解分?jǐn)?shù)概念的多重意義，才能達(dá)到觸類旁通、舉一反三的學(xué)習(xí)效果，才能真正將所學(xué)知識(shí)用于解決學(xué)習(xí)和生活中遇到的相關(guān)問(wèn)題，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，發(fā)展數(shù)學(xué)能力。二、運(yùn)用公因數(shù)（公倍數(shù)）、最大公因數(shù)（最小公倍數(shù)）解決實(shí)際問(wèn)題突破建議：1 .引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的探索過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生

9、自主解決問(wèn)題的能力。教材改變了原實(shí)驗(yàn)教材將解決問(wèn)題與概念引入結(jié)合在一起的編排，主要是考慮到學(xué)生理解起來(lái)難度較大。所以，新版教材將這部分的編排改為先給出最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)的概念，突出概念的本質(zhì)，然后探索它們的求法，最后在解決問(wèn)題的應(yīng)用中體會(huì)它們的現(xiàn)實(shí)意義，加深對(duì)概念的理解。雖然這部分內(nèi)容與生活聯(lián)系緊密，但實(shí)際由于學(xué)生缺乏必要的生活經(jīng)驗(yàn)與知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，在運(yùn)用公因數(shù)（公倍數(shù)）、最大公因數(shù)（最小公倍數(shù)）解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，還是有相當(dāng)?shù)睦щy。因此，如何實(shí)現(xiàn)生活的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而解決實(shí)際生活問(wèn)題。在教學(xué)時(shí)一方面應(yīng)盡可能加強(qiáng)與實(shí)際生活的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的生活認(rèn)知；另一方面應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的探索

10、過(guò)程，重視所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)與能力的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生自主解決問(wèn)題的能力。例如，閱讀與理解題意，通過(guò)交流，收集有關(guān)信息，使學(xué)生明白，在儲(chǔ)藏室的長(zhǎng)方形地面上鋪正方形，要求是既要鋪滿、又要都用整塊的方磚。進(jìn)而思考：邊長(zhǎng)是多少的整塊正方形地磚正好鋪滿？接著在“分析與解答"環(huán)節(jié)，通過(guò)操作實(shí)踐，合作交流，使學(xué)生明白，要符合用正方形方磚鋪地，滿足既要鋪滿、又要都用整塊的方磚的條件，只要使正方形地磚的邊長(zhǎng)同時(shí)符合長(zhǎng)方形地面長(zhǎng)與寬的要求，即正方形地磚的邊長(zhǎng)既能整除長(zhǎng)方形地面的長(zhǎng)，又能整除長(zhǎng)方形地面的寬，即地磚的邊長(zhǎng)必須既要是16的因數(shù)，又要是12的因數(shù)，進(jìn)而認(rèn)識(shí)到可以用公因數(shù)和最大公因數(shù)的方法解決問(wèn)題，幫助學(xué)生將生活問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。最后，通過(guò)可以讓學(xué)生再畫(huà)一畫(huà)、相互驗(yàn)證交流，使學(xué)生明白：要使所用的正方形地磚都是整塊數(shù)，地磚的邊長(zhǎng)必須既是16的因數(shù)，又要是12的因數(shù)。形成解決此類問(wèn)題的方法與策略。2 .充分關(guān)注操作與想象相結(jié)合，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。運(yùn)用公因數(shù)（公倍數(shù)）、最大公因數(shù)（最小公倍數(shù)）解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵，就是幫助實(shí)現(xiàn)將生活問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。如何幫助學(xué)生理解，實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化，既是教學(xué)的重點(diǎn)，也是教學(xué)的難點(diǎn)。要在教學(xué)上實(shí)現(xiàn)這一突破，引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)操作與想象，是一個(gè)行之有效的方法。例如，在用公倍數(shù)、最大公因數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，在讓學(xué)生猜想的基礎(chǔ)上