解析幾何難題——教師附解答

1、解析幾何【例01】點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，直線相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為(1)求點(diǎn)M軌跡的方程.(2)若過點(diǎn)的直線與(1)中的軌跡交于不同的兩點(diǎn)、(在、之間)，試求與面積之比的取值范圍(為坐標(biāo)原點(diǎn))解(1)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為， 整理，得()，這就是動點(diǎn)M的軌跡方程(2)方法一 由題意知直線的斜率存在，設(shè)的方程為() 將代入，得，由，解得設(shè)，則 令，則，即，即，且 由得，即且且解得且，且OBE與OBF面積之比的取值范圍是方法二 由題意知直線的斜率存在，設(shè)的方程為 將代入，整理，得， 由，解得 設(shè)，則 令，且 .將代入，得即 且，且即且解得且 ，且故OBE與OBF面積之比的取值范圍是 【例02】在ABC中，

2、A點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，0)，BC邊長為2，且BC在y軸上的區(qū)間-3，3上滑動(1)求ABC外心的軌跡方程(2)設(shè)直線ly=3x+b與(1)的軌跡交于E、F兩點(diǎn)，原點(diǎn)到直線l的距離為d，求的最大值并求出此時(shí)b的值解 (1)設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，)，則C點(diǎn)坐標(biāo)為(0，+2)(-31)，則BC邊的垂直平分線為y=+1 由消去，得，故所求的ABC外心的軌跡方程為：(2)將代入得由及，得所以方程在區(qū)間，2有兩個(gè)實(shí)根設(shè)，則方程在，2上有兩個(gè)不等實(shí)根的充要條件是： 得又原點(diǎn)到直線l的距離為，當(dāng)，即時(shí)，【例03】已知橢圓：的右頂點(diǎn)為，過的焦點(diǎn)且垂直長軸的弦長為(1)求橢圓的方程(2)設(shè)點(diǎn)在拋物線：上，在點(diǎn)處的切線與

3、交于點(diǎn)當(dāng)線段的中點(diǎn)與的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí)，求的最小值解(I)由題意得所求的橢圓方程為， (II)不妨設(shè)則拋物線在點(diǎn)P處的切線斜率為，直線MN的方程為，將上式代入橢圓的方程中，得，即，因?yàn)橹本€MN與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以有，設(shè)線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則， 設(shè)線段PA的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則，由題意得，即有，其中的或；當(dāng)時(shí)有，因此不等式不成立；因此，當(dāng)時(shí)代入方程得，將代入不等式成立，因此的最小值為1【例04】已知拋物線：上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為(1)求與的值(2)設(shè)拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過的直線交于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交于另一點(diǎn)若是的切線，求的最小值解()由拋物線方程得其準(zhǔn)線方程：，根

4、據(jù)拋物線定義點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，即，解得拋物線方程為：，將代入拋物線方程，解得()由題意知，過點(diǎn)的直線斜率存在且不為0，設(shè)其為.則，當(dāng) 則.聯(lián)立方程，整理得：即：，解得或，而，直線斜率為 ，聯(lián)立方程整理得：，即： ，解得：，或，而拋物線在點(diǎn)N處切線斜率：· MN是拋物線的切線， 整理得，解得(舍去)，或，【例05】已知雙曲線的離心率為，右準(zhǔn)線方程為(1)求雙曲線的方程(2)設(shè)直線是圓上動點(diǎn)處的切線，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，證明的大小為定值.【解法1】本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運(yùn)算能力()

5、由題意，得，解得，所求雙曲線的方程為.()點(diǎn)在圓上，圓在點(diǎn)處的切線方程為，化簡得.由及得，切線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且，且，設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則，且，. 的大小為.【解法2】()同解法1.()點(diǎn)在圓上，圓在點(diǎn)處的切線方程為，化簡得.由及得 切線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且，設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則， 的大小為.(且，從而當(dāng)時(shí)，方程和方程的判別式均大于零).【例06】橢圓E: (a、b>0)過M(2，) ，N (，1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓E的方程(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，并且？若存在，寫出該圓的方

6、程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由.解:(1)因?yàn)闄E圓E: (a，b>0)過M(2，) ，N (，1)兩點(diǎn)，所以解得所以橢圓E的方程為(2)假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且，設(shè)該圓的切線方程為解方程組得，即， 則=，即，要使，需使，即，所以，所以又，所以，所以，即或，因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，所以圓的半徑為，所求的圓為，此時(shí)圓的切線都滿足或，而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足，綜上， 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且.因?yàn)?，所以?當(dāng)時(shí)因?yàn)樗裕?，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)

7、取”=”. 當(dāng)時(shí)，. 當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)， 兩個(gè)交點(diǎn)為或，所以此時(shí)，綜上， |AB |的取值范圍為即: 【命題立意】:本題屬于探究是否存在的問題，主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的確定，直線與橢圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法，能夠運(yùn)用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系.【例07】設(shè)，在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，向量，動點(diǎn) 的軌跡為E.(1)求軌跡E的方程，并說明該方程所表示曲線的形狀(2)已知，證明:存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，并求出該圓的方程(3)已知，設(shè)直線與圓C:(1<R<2)相切

8、于A1，且與軌跡E只有一個(gè)公共點(diǎn)B1，當(dāng)R為何值時(shí)，|A1B1|取得最大值?并求最大值.解(1)因?yàn)椋裕?即. 當(dāng)m=0時(shí)，方程表示兩直線，方程為；當(dāng)時(shí)， 方程表示的是圓當(dāng)且時(shí)，方程表示的是橢圓； 當(dāng)時(shí)，方程表示的是雙曲線.(2).當(dāng)時(shí)， 軌跡E的方程為，設(shè)圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線為，解方程組得，即，要使切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B， 則使=，即，即， 且，要使， 需使，即，所以， 即且， 即恒成立.所以又因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，所以圓的半徑為， 所求的圓為.當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線為，與交于點(diǎn)或也滿足.綜上， 存在圓心在原點(diǎn)的圓使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)且

9、.(3)當(dāng)時(shí)，軌跡E的方程為，設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€與圓C:(1<R<2)相切于A1， 由(2)知， 即 ，因?yàn)榕c軌跡E只有一個(gè)公共點(diǎn)B1，由(2)知得，即有唯一解則=， 即， 由得， 此時(shí)A，B重合為B1(x1，y1)點(diǎn)， 由 中，所以， B1(x1，y1)點(diǎn)在橢圓上，所以，所以，在直角三角形OA1B1中，因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，時(shí)|A1B1|取得最大值，最大值為1.【命題立意】:本題主要考查了直線與圓的方程和位置關(guān)系，以及直線與橢圓的位置關(guān)系，可以通過解方程組法研究有沒有交點(diǎn)問題，有幾個(gè)交點(diǎn)的問題.【例08】如圖所示，已知圓是橢圓的內(nèi)接的內(nèi)切圓， 其中為橢圓的左頂點(diǎn).(1

10、)求圓的半徑.(2)過點(diǎn)作圓的兩條切線交橢圓于兩點(diǎn)，證明：直線與圓相切 (1)解 設(shè)，過圓心作于，交長軸于G由得，即 (1) 而點(diǎn)在橢圓上， (2)由(1)、 (2)式得，解得或(舍去)(2) 證明設(shè)過點(diǎn)與圓相切的直線方程為: (3)則，即 (4)解得將(3)代入得，則異于零的解為設(shè)，則則直線的斜率為：于是直線的方程為: 即則圓心到直線的距離 故結(jié)論成立.【例09】已知橢圓()的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，且.(1)求橢圓的離心率.(2)直線AB的斜率.(3)設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，直線上有一點(diǎn)H(m，n)()在的外接圓上，求的值.(1)得從而得，離心率(2)由(

11、1)知，所以橢圓的方程可以寫為設(shè)直線AB的方程為即由已知設(shè)則它們的坐標(biāo)滿足方程組 消去y整理，得依題意，而，有題設(shè)知，點(diǎn)B為線段AE的中點(diǎn)，所以聯(lián)立三式，解得，將結(jié)果代入韋達(dá)定理中解得.(3)由(2)知，當(dāng)時(shí)，得A由已知得線段的垂直平分線l的方程為直線l與x軸的交點(diǎn)是的外接圓的圓心，因此外接圓的方程為直線的方程為，于是點(diǎn)滿足方程組由，解得，故，當(dāng)時(shí)，同理可得.【例10】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率，右準(zhǔn)線方程為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)過點(diǎn)的直線與該橢圓交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程.解(I)由已知得，解得 所求橢圓的方程為 . (II)由(I)得、若直線的斜率不存在，則直線的方程為，

12、由得設(shè)、， ，與已知相矛盾.若直線的斜率存在，設(shè)直線直線的斜率為，則直線的方程為，設(shè)、，聯(lián)立，消元得 ， ， 又 化簡得解得 所求直線的方程為 . 【例11】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到點(diǎn)F(3，0)的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3倍之和記為d，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，d恒等于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與18之和.(1)求點(diǎn)P的軌跡C.(2)設(shè)過點(diǎn)F的直線l與軌跡C相交于M，N兩點(diǎn)，求線段MN長度的最大值. 解()設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則3x-2由題設(shè) 當(dāng)x>2時(shí)，由得 化簡得 當(dāng)時(shí) 由得化簡得 故點(diǎn)P的軌跡C是橢圓在直線x=2的右側(cè)部分與拋物線在直線x=2的左側(cè)部分(包括它與直線x=2的交點(diǎn))所

13、組成的曲線，參見圖1()如圖2所示，易知直線x=2與，的交點(diǎn)都是A(2，)，B(2，)，直線AF，BF的斜率分別為=，=.當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，由知. 當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，由知 若直線l的斜率k存在，則直線l的方程為(i)當(dāng)k，或k，即k-2 時(shí)，直線I與軌跡C的兩個(gè)交點(diǎn)M(，)，N(，)都在C 上，此時(shí)由知MF= 6 - NF= 6 - 從而MN= MF+ NF= (6 - )+ (6 - )=12 - ( +)由 得 則，是這個(gè)方程的兩根，所以+=*MN=12 - (+)=12 - 因?yàn)楫?dāng) 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.(2)當(dāng)時(shí)，直線L與軌跡C的兩個(gè)交點(diǎn) 分別在上，不妨設(shè)點(diǎn)在上，點(diǎn)上，則知， 設(shè)直線AF與橢圓

14、的另一交點(diǎn)為E 所以.而點(diǎn)A，E都在上，且 有(1)知 若直線的斜率不存在，則=3，此時(shí)綜上所述，線段MN長度的最大值為.【例12】已知直線經(jīng)過橢圓 的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)和橢圓上位于軸上方的動點(diǎn)，直線，與直線分別交于兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程.(2)求線段MN的長度的最小值.(3)當(dāng)線段MN的長度最小時(shí)，在橢圓上是否存在這樣的點(diǎn)，使得的面積為？若存在，確定點(diǎn)的個(gè)數(shù)，若不存在，說明理由.解 方法一(I)由已知得，橢圓的左頂點(diǎn)為上頂點(diǎn)為 故橢圓的方程為()直線AS的斜率顯然存在，且，故可設(shè)直線的方程為，從而由得0設(shè)則得，從而 即又由得故又 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立 時(shí)，線段的長度取

15、最小值()由()可知，當(dāng)取最小值時(shí)， 此時(shí)的方程為 要使橢圓上存在點(diǎn)，使得的面積等于，只須到直線的距離等于，所以在平行于且與距離等于的直線上.設(shè)直線由解得或 【例13】給定橢圓，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”.若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為.(1)求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程. (2)點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線，使得與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，且分別交其“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)M、N .當(dāng)P為“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求的方程.求證|MN|為定值.解：(I)因?yàn)?，所?2分所以橢圓的方程為，準(zhǔn)圓的方程為 . 4分(II)(1)因?yàn)闇?zhǔn)圓與軸正半軸的交點(diǎn)為P(

16、0，2)， 5分設(shè)過點(diǎn)P(0，2)，且與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為， 所以，消去y ，得到 ， 6分因?yàn)闄E圓與只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以 ，7分解得. 8分所以方程為. 9分(2)當(dāng)中有一條無斜率時(shí)，不妨設(shè)無斜率，因?yàn)榕c橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則其方程為或，當(dāng)方程為時(shí)，此時(shí)與準(zhǔn)圓交于點(diǎn)，此時(shí)經(jīng)過點(diǎn)(或)且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是(或)，即為(或)，顯然直線垂直；同理可證 方程為時(shí)，直線垂直. 10分 當(dāng)都有斜率時(shí)，設(shè)點(diǎn)，其中，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為，則，消去得到，經(jīng)過化簡得到:，因?yàn)椋O(shè)的斜率分別為，因?yàn)榕c橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以滿足上述方程，所以，即垂直.12分綜合知：因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)，又

17、分別交其準(zhǔn)圓于點(diǎn)M，N，且垂直，所以線段MN為準(zhǔn)圓的直徑，所以|=. 13分【例14】設(shè)曲線C1:(a為正常數(shù))與C2:y2=2(x+m)在x軸上方公有一個(gè)公共點(diǎn)P.(1)實(shí)數(shù)m的取值范圍(用a表示).(2)O為原點(diǎn)，若C1與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，當(dāng)0<a<時(shí)，試求OAP的面積的最大值(用a表示).14. 解：(1)由 消去y得： 設(shè)，問題(1)化為方程在x(-a，a)上有唯一解或等根 只需討論以下三種情況： 1°=0得：，此時(shí)xp=-a2，當(dāng)且僅當(dāng)-a<-a2<a，即0<a<1時(shí)適合； 2°f (a)f (-a)<0，當(dāng)且僅當(dāng)-a

18、<m<a； 3°f (-a)=0得m=a，此時(shí)xp=a-2a2，當(dāng)且僅當(dāng)-a<a-2a2<a，即0<a<1時(shí)適合 f (a)=0得m=-a，此時(shí)xp=-a-2a2，由于-a-2a2<-a，從而m-a 綜上可知，當(dāng)0<a<1時(shí)，或-a<ma；當(dāng)a1時(shí)，-a<m<a 10分(2)OAP的面積 0<a<，故-a<ma時(shí)，0<<a， 由唯一性得 顯然當(dāng)m=a時(shí)，xp取值最小由于xp0，從而yp=取值最大，此時(shí)， 當(dāng)時(shí)，xp=-a2，yp=，此時(shí) 下面比較與的大小：令，得 故當(dāng)0<a時(shí)，此時(shí) 當(dāng)