線變換簡單質(zhì)

1、線變換簡單質(zhì)歐氏空間是專對實(shí)數(shù)域上線性空間而討論的歐氏空間是專對實(shí)數(shù)域上線性空間而討論的.酉空間實(shí)際就是復(fù)數(shù)域上的歐氏空間酉空間實(shí)際就是復(fù)數(shù)域上的歐氏空間. 在線性空間在線性空間 Cn 中，對向量中，對向量 = (a1 , a2 , , an) , = (b1 , b2 , , bn) , 定義內(nèi)積為定義內(nèi)積為( , ) = a1 b1 + a2 b2 + + an bn . (1)顯然，內(nèi)積顯然，內(nèi)積 (1) 滿足定義滿足定義 15 中的條件中的條件.這樣這樣 Cn 就就成為一個(gè)酉空間成為一個(gè)酉空間.用用Ca,bCa,b表示區(qū)間表示區(qū)間a,ba,b上所有連續(xù)復(fù)值函數(shù)組上所有連續(xù)復(fù)值函數(shù)組成的

2、線性空間，規(guī)定成的線性空間，規(guī)定 dxxgxfxgxfba,是是上的一個(gè)內(nèi)積，此時(shí)上的一個(gè)內(nèi)積，此時(shí) xgxf,成為一個(gè)酉空間成為一個(gè)酉空間. .容易驗(yàn)證，容易驗(yàn)證，由于酉空間的討論與歐氏空間的討論很相似由于酉空間的討論與歐氏空間的討論很相似,有一套平行的理論，因此這兒只簡單地列出重要的有一套平行的理論，因此這兒只簡單地列出重要的結(jié)論，而不詳細(xì)論證結(jié)論，而不詳細(xì)論證.首先由內(nèi)積的定義可得到首先由內(nèi)積的定義可得到 ( , k ) = k ( , ) . ( , + ) = ( , ) + ( , ) . 與實(shí)內(nèi)積空間類似，酉空間與實(shí)內(nèi)積空間類似，酉空間V V 中由于有了內(nèi)積的中由于有了內(nèi)積的概念

3、，從而就有長度、角度、正交、距離等度量概念概念，從而就有長度、角度、正交、距離等度量概念. .定義定義2 2 非負(fù)實(shí)數(shù)非負(fù)實(shí)數(shù)),(叫做向量叫做向量 的長度，的長度，記為記為 | | | .| .顯然顯然| |0 0|=0|=0， 00時(shí)，時(shí)， | | |0.|0.容易證明：容易證明：CkVkk,柯西柯西 - 布涅柯夫斯基不等式仍然成立，布涅柯夫斯基不等式仍然成立，即對即對任意的向量任意的向量 , 有有| ( , ) | | | | |，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) , 線性相關(guān)時(shí)，等號成立線性相關(guān)時(shí)，等號成立.酉空間中的內(nèi)積酉空間中的內(nèi)積 ( , ) 一般是復(fù)數(shù)，一般是復(fù)數(shù)，故向量之間不易定義夾角，但我

4、們?nèi)砸牍氏蛄恐g不易定義夾角，但我們?nèi)砸?定義定義3 3 酉空間酉空間V中，兩個(gè)非零中，兩個(gè)非零 , , 的夾角的夾角 規(guī)定為規(guī)定為,arccos,于是于是2,0（2 2）從（從（7 7）式得出，）式得出， 0,2,定義定義4 4 向量向量 , ，當(dāng)，當(dāng) ( , ) = 0 時(shí)稱為正交或互時(shí)稱為正交或互相垂直相垂直. 與實(shí)內(nèi)積空間一樣，我們可以證明在酉空間中，與實(shí)內(nèi)積空間一樣，我們可以證明在酉空間中，有三角形不等式和勾股定理有三角形不等式和勾股定理. .我們可以定義兩個(gè)向我們可以定義兩個(gè)向量量 , , 的距離的距離與實(shí)內(nèi)積空間一樣，在酉空間與實(shí)內(nèi)積空間一樣，在酉空間V V 中，有正交向中，

5、有正交向,d量組的概念，并且可以證明：正交向量組一定線性量組的概念，并且可以證明：正交向量組一定線性無關(guān)無關(guān). .從而有正交基、標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念，利用施從而有正交基、標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念，利用施密特正交化和單位化，可把密特正交化和單位化，可把V V 的一個(gè)基變成與它等的一個(gè)基變成與它等價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)正交基價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)正交基. . n 維酉空間維酉空間V V 中，向量組中，向量組1,2,n是是V V 的一個(gè)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基當(dāng)且僅當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)正交基當(dāng)且僅當(dāng)njiijji, 2 , 1,利用利用標(biāo)準(zhǔn)正交基1,2,n，容易計(jì)算向量的內(nèi)，容易計(jì)算向量的內(nèi)積積. . 設(shè)設(shè) , , 在在1,2,n下的坐標(biāo)分別是下的坐標(biāo)分別是

6、=( =(x1,x2,xn),), =( =(y1,y2,yn), ), 則則njjjniiiyx11,jininjjiyx,11*1niiiyx 利用標(biāo)準(zhǔn)正交基，向量的坐標(biāo)的分量可以用內(nèi)積利用標(biāo)準(zhǔn)正交基，向量的坐標(biāo)的分量可以用內(nèi)積表達(dá)表達(dá). . 設(shè)設(shè) 在標(biāo)準(zhǔn)正交基在標(biāo)準(zhǔn)正交基1,2,n下的坐標(biāo)是下的坐標(biāo)是( (x1,x2,xn),),則則 niiix1兩邊用兩邊用j作內(nèi)積，得作內(nèi)積，得 ,1jnijiijxx因此因此 （3 3） （3 3）式稱為）式稱為 的傅里葉（的傅里葉（FourierFourier）展開，其中每）展開，其中每個(gè)系數(shù)個(gè)系數(shù)（ ，j）稱為稱為 的傅里葉（的傅里葉（Fouri

7、erFourier）系數(shù)）系數(shù). .,1jnii n維酉空間維酉空間V V 中，向量組中，向量組1,2,n是是V V 的一個(gè)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，向量組標(biāo)準(zhǔn)正交基，向量組 1, 2, n 滿足滿足1212(,)(,)nnP 則則 i在標(biāo)準(zhǔn)正交基在標(biāo)準(zhǔn)正交基1,2,n下下的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是P的第的第i列列Xi , ,1,2,in，于是，于是 1, 2, n 是是V V 的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基(,), ,1,2,ijiji jn *, ,1,2,jiijX Xi jn*11121*212222*12*1*212*100010001(,).nnnnnnnX XX XX XX XX XX XX X

8、X XX XXXXXXIXP PI復(fù)數(shù)方陣復(fù)數(shù)方陣 P，用，用 P 表示以表示以 P 的的元素元素的共軛復(fù)數(shù)作元素的矩陣的共軛復(fù)數(shù)作元素的矩陣.如如 P 滿足滿足則稱之為則稱之為.它的行列式的絕對值等于它的行列式的絕對值等于1 .*.P PIEPPPP或 兩組標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣是酉矩陣兩組標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣是酉矩陣.類似于歐氏空間的正交變換和對稱矩陣，可以類似于歐氏空間的正交變換和對稱矩陣，可以引進(jìn)酉空間的酉變換和埃爾米特矩陣引進(jìn)酉空間的酉變換和埃爾米特矩陣. 它們也分別它們也分別具有正交變換和對稱矩陣的一些重要性質(zhì)，我們把具有正交變換和對稱矩陣的一些重要性質(zhì)，我們把它列舉在下面：它列舉在

9、下面： 酉空間酉空間 V 的線性變換的線性變換 A ，如果滿足，如果滿足(A , A ) = ( , )，就稱為就稱為 V 的一個(gè)的一個(gè).酉變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下酉變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是酉矩陣的矩陣是酉矩陣. 如果矩陣如果矩陣 A 滿足滿足AT = A，則叫則叫. 在酉空間在酉空間 Cn 中令中令,2121nnxxxAxxxA則則(A , ) = ( , A )，A 也是對稱變換也是對稱變換. V 是酉空間，是酉空間，V1 是子空間，是子空間，V1 是是 V1 的的正交補(bǔ)，則正交補(bǔ)，則 V = V1 V1 .又設(shè)又設(shè) V1 是對稱變換的不變子空間，則是對稱變換的不變子空間，則 V1 也也是不變子空間是不變子空間. 埃爾米特矩陣的特征值為實(shí)數(shù)埃爾米特矩陣的特征值為實(shí)數(shù).它的屬于它的屬于不同特征值的特征向量必正交不同特征值的特征向量必正交. 若若 A 是埃爾米特矩陣，則有酉矩陣是埃爾米特矩陣，則有酉矩陣 C