基于特征幾何變動的三維公差綜合建模方法研究

1、基于特征幾何變動的三維公差綜合建模方法研究3D tolerance synthesis modeling based on geometric variations of feature許本勝1，黃美發(fā)2，蘇慶勇1，王 燦1XU Ben-sheng1, HUANG Mei-fa2, SU Qing-yong1, WANG Can1（1. 桂林航天工業(yè)學(xué)院 機(jī)械工程系，桂林 541004；2. 桂林電子科技大學(xué) 海洋信息工程學(xué)院，桂林 541004）摘 要：針對計算機(jī)輔助公差設(shè)計中的三維公差綜合問題，研究并建立了基于特征幾何變動的三維公差 綜合方法和模型。在機(jī)械產(chǎn)品的裝配中，將各零件配合幾何特征

2、視為剛體，利用剛體在三維 空間中六個自由度方向上的微小幾何變動所形成的區(qū)域來描述三維公差，在此基礎(chǔ)上，采用 機(jī)器人運動學(xué)中的齊次坐標(biāo)變換方法獲得各個特征幾何變動量的累積關(guān)系等式，并通過工程 計算中常用的廣義逆求解得到裝配功能要求與各配合幾何特征自由度變動量間的關(guān)系，由此 建立三維公差綜合模型。最后，將本文闡述的方法運用于齒輪泵裝配體實例，得到了輪齒側(cè) 向間隙要求與各配合特征幾何變動量間的三維公差綜合模型，從而驗證了本文所提方法的實 用性和有效性。關(guān)鍵詞：三維公差綜合；特征幾何變動；旋量參數(shù)；裝配功能要求中圖分類號：TP391.7文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1009-0134(2014)03(下)-

3、0074-04 Doi：10.3969/j.issn.1009-0134.2014.03(下).200引言公差綜合是計算機(jī)輔助公差設(shè)計（Computer計算，由于沒有考慮約束條件中的旋量參數(shù)與公差 大小間的映射關(guān)系，實際應(yīng)用中還有待進(jìn)一步的研7Aided Tolerancing, CAT）研究領(lǐng)域中的重要問題之究。筆者等在幾何特征自由度的公差表示模型基一1。公差綜合不但可以降低產(chǎn)品生產(chǎn)成本，還可 以提高產(chǎn)品裝配成功率，在產(chǎn)品設(shè)計中起著至關(guān)重 要的作用。公差綜合問題的關(guān)鍵在于公差分配數(shù)學(xué) 模型的建立，常見的公差綜合方法以公差-成本作 為優(yōu)化目標(biāo)，以裝配關(guān)系和加工條件作為約束等式 來建立公差分配模

4、型2,3。然而，由于具體加工工藝 的復(fù)雜性，獲取公差-成本模型非常復(fù)雜和困難，礎(chǔ)上，利用機(jī)器人運動學(xué)中齊次坐標(biāo)變換的相關(guān)知識推導(dǎo)了三維公差累積的運動學(xué)模型，但該模型僅 適于三維公差分析。目前有關(guān)三維公差設(shè)計的研究側(cè)重于公差表 示和分析，還不能夠很好地解決實際產(chǎn)品的計算 機(jī)輔助三維公差綜合問題。利用計算機(jī)輔助進(jìn)行 三維公差綜合，首先需解決三維公差的表示。常4導(dǎo)致目前有關(guān)公差綜合的方法大多局限于二維線性見的三維公差表示方法有TTRS表示模型、旋量89尺寸公差的分配。隨著三維CAD技術(shù)的發(fā)展，在產(chǎn)表示模型和自由度表示模型等，這些表示方法品設(shè)計階段，如何同時考慮零件尺寸和形位誤差從 而進(jìn)行三維公差的設(shè)

5、計逐漸引起人們的關(guān)注和研 究。劉玉生4等以公差的數(shù)學(xué)定義為基礎(chǔ)，通過設(shè) 計層次式的公差表示與基于類的公差類型定義，提 出了三維公差建模系統(tǒng)的設(shè)計思想并開發(fā)了一個面 向三維CAD環(huán)境的公差建模系統(tǒng)TolRM。該系統(tǒng)實 現(xiàn)了公差與三維CAD系統(tǒng)的有機(jī)集成，但還不能 用于三維公差的綜合。Hu jie5等利用三維公差域 中特征的幾何約束關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，提出了形位公差優(yōu)化 設(shè)計方法；張為民6等以雅可比旋量理論為基礎(chǔ)， 提出了尺寸公差和形位公差的綜合優(yōu)化分配方法， 兩種方法中均以公差-成本作為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化適合于公差分析，在三維公差綜合的應(yīng)用中還不多見。實際上，這些表示方法本質(zhì)上有著共同之 處，即將零件表面配

6、合幾何特征視為剛體，其在 各自由度方向上的微小變動形成三維公差域，以 此來進(jìn)行三維公差的表示。特征幾何變動的概念 來自于ISO/TC213有關(guān)幾何特征的定義，利用特征 幾何變動可以方便地進(jìn)行三維公差表示，在此基 礎(chǔ)上，本文對三維公差綜合的建模方法進(jìn)行了研 究，旨在為CAD/CAM中集成公差設(shè)計提供一種新 的思路和方法。1 基于特征幾何變動的三維公差表示為了規(guī)范和方便對公差問題的分析和描述，收稿日期：2013-12-10 基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目（51365009）作者簡介：許本勝（1980 -），男，湖北黃石人，講師，碩士，研究方向為CAD/CAM和計算機(jī)輔助公差設(shè)計。ISO/TC2

7、13定義了名義特征、名義派生特征、實際 特征等特征類型，如圖1所示。由于零件表面幾何特征形狀上的對稱性，幾 何特征在某個（或某些）自由度方向上的幾何變 動是恒定的，即幾何特征在該方向的幾何變動不名義 特征名義派 生特征實際采樣特征特征擬合 特征擬合派 生特征改變特征的形狀、尺寸或位置。圖2中，理想平面 P沿X、Y軸方向的平動和繞Z軸方向的轉(zhuǎn)動不引 起形狀、尺寸和位置的改變，因而不產(chǎn)生新的特 征。記平面P沿X、Y軸方向的平動旋量參數(shù)和繞 Z軸方向的轉(zhuǎn)動旋量參數(shù)分別為、和，以及圖1 ISO/TC 213的圓柱面特征類型圖1中，名義特征（Nominal Feature）是零 件名義幾何模型上截斷的部

8、分圓柱表面，它的軸 線為名義派生特征（Nominal Derived Feature）， 所為派生特征是指此軸線是從由零件邊界組成的 圓柱表面派生而得。實際特征（Real Feature）是 實際加工所得的表面特征，對實際特征表面上有 限數(shù)目的點進(jìn)行采樣可得到采樣特征（Extracted Feature）。擬合派生特征（Associated Derived Feature）是從擬合特征表面派生出的軸線。眾所 周知，由于加工條件的限制，實際加工得到的零 件表面特征不可避免與名義特征存在誤差，公差 被用來指定實際特征所允許的誤差范圍。因而， 從制造和后續(xù)檢測的角度看，零件實際特征相對 名義特征存在

9、幾何變動，實際特征微小變動所允 許的幾何變動范圍在空間形成了三維公差域。不 考慮表面粗糙度和受力引起的變形，零件實際特 征的幾何變動可以采用三維空間中共六個自由度 方向上的旋量參數(shù)來表示，即在給定的坐標(biāo)系 中，特征幾何變動分為沿著X、Y、Z軸的三個平 動旋量參數(shù)以及繞著X、Y、Z軸的三個轉(zhuǎn)動旋量 參數(shù)。如圖2所示，圖中平面P為名義平面，由于 加工誤差的存在，實際加工得到的平面用P表示， 相對理想平面P而言，P是變動的。圖2中虛線所 示的長方體為實際平面P的允許變動范圍，對應(yīng)的、和。對于恒定度，相應(yīng)的特征幾何變動 旋量參數(shù)為0，有=0、=0和=0。從而，實際 平面P在其公差域內(nèi)的特征幾何變動可用

10、六個自由 度旋量向量，即0, 0, , , , 0來進(jìn)行表示。用于描述三維公差的基本元素除了幾何特征 自身以外，還包括參考坐標(biāo)系以及特征幾何變動 對應(yīng)的旋量參數(shù)。在基于特征的CAD造型系統(tǒng) 中，幾何特征為理想幾何模型的名義表面。幾何 特征共可劃分為七大類：球面、柱面、平面、螺 旋面、旋轉(zhuǎn)面、棱柱面和復(fù)合面；坐標(biāo)系統(tǒng)為特 征幾何變動參考框架，它決定了三維空間六個自 由度的實際方位。特征幾何變動范圍和公差值t的 關(guān)系采用特征在空間六個自由度方向上的旋量參 數(shù)來描述，具體包括三個平動自由度的幾何變動 和三個轉(zhuǎn)動自由度的幾何變動，分別用旋量、 、，以及、來表示。2基于特征幾何變動的三維公差綜 合建模2

11、.1 特征幾何變動累積產(chǎn)品裝配過程可看作是組成產(chǎn)品的零件表面 幾何特征的配合過程。由于實際特征在公差范圍 內(nèi)是變動的。在幾何特征配合的過程中，配合特 征的幾何變動會逐步累積進(jìn)而影響到最終產(chǎn)品的 裝配功能要求，其累積過程如圖3所示。O04312矩形框即為三維公差域，且實際平面P特征幾何變動與公差值t的關(guān)系為：-t/2t/2, -t/L2t/ L2和-t/L1t/L1。Z PPtOY X L1圖2 平面特征自由度變動及公差域圖3 裝配功能要求及裝配特征鏈圖3為包含四個零件的裝配體，各零件配合特征幾何變動參考坐標(biāo)系為局部坐標(biāo)系，幾何變動 累積參考坐標(biāo)系為裝配基準(zhǔn)坐標(biāo)系，亦即全局坐T， = , , ,

12、 , ，以及：FRA_iii,iiiii標(biāo)系。為簡化各配合特征幾何變動的累積計算，1 0 00Zi- Yi 規(guī)定局部坐標(biāo)系與全局坐標(biāo)系各坐標(biāo)軸方向相 0 1 0- Zi 0Xi 同。由于組成產(chǎn)品的零件個數(shù)大于1個，配合特征 數(shù)目也大于1，記第i個配合在其局部參考坐標(biāo)系內(nèi) 的幾何變動對應(yīng)的各特征幾何變動旋量參數(shù)為i, i, i, i, i, i，配合特征鏈中首、末兩個配0 0 1YJ = i0 0 010 0 000 0 00- Xi0100 0 0 1 合特征相對幾何變動即裝配功能要求記為FRA_i,FRA_i, FRA_i, FRA_i, FRA_i, FRA_i。利用機(jī)器人 運動學(xué)中齊次坐

13、標(biāo)變換的有關(guān)方法可得如下等式裝配功能要求為各配合特征幾何變動量的累 積，可以表示為：FRA= FRA, FRA, FRA, FRA, FRA, FRA ，從而可以得到以下等式：T關(guān)系：nT轉(zhuǎn)動自由度累積關(guān)系：dFRA = dFRA _ i = J1, J2 ,., Jn d1,d2 ,.,dn i =1(5)a FRA _ i = a i , b FRA _ i = bi , g FRA _ i = g i(1)記J = J , J , J ，則有= J , ,1 2nFRA1 2平動幾何變動量累積關(guān)系為：nT。為建立公差綜合模型，需計算矩陣J的逆OOiOO其中：Vi = Vi+Oi Ri V

14、Oi(2)矩陣，由于矩陣J為66n長方陣（n為配合特征數(shù) 目），工程上可采用偽逆矩陣求解10，有：VOi = m FRA i ,uFRA i ,wFRA i J + = J+T (JJ T)-1T(6)VOii= mi ,ui ,wi 式中：J 為矩陣J的偽逆矩陣，J 為矩陣J的轉(zhuǎn)置矩陣。由此得到公差綜合模型如下：cos bi cos g i O R = cos b sin gsin a i sin bi cos g i - cosa i sin g isin a sin b sin g + cosa cos gcosa i sin bi cos g i + sin a i sin g i c

15、osa sin b sin g - sin a cos g d ,d ,.,d T= J T ( JT )-1dFRA(7)1 2nOi i i iii iiiii iii - sin bisin a i cos bicosa i cos bi3實例分析由于繞X、Y和Z軸的轉(zhuǎn)動幾何變動量很小，有sini i，cosi 1，sini i，cosi 1以及sini i，cosi 1。從而：圖4(a)為齒輪泵裝配體由泵體、主傳動齒輪軸 和從動齒輪軸三個零件組成。利用上述方法建立 圖4(a)所示齒輪泵裝配體公差綜合模型，具體分為 1- g ibi 以下三個步驟：O R = g1- a Oi i ii

16、步驟一：裝配功能要求分析。漸開線輪齒側(cè)- bia i1 面A1、C1側(cè)向配合間隙為裝配功能要求，裝配基O記V = X i ,Yi , Zi ，其中X , Y , Z 為第i個配合特Oiii i征局部參考坐標(biāo)系在全局坐標(biāo)系中的位置，則等準(zhǔn)坐標(biāo)系如圖4(b)所示，其原點O為嚙合齒輪分度圓切點。根據(jù)輪齒側(cè)面A 、C 相對位置變動情11式（2）可寫為：mFRA _ i = mi - Yig i + Zi bi uFRA _ i = ui + Xig i - Ziai況，裝配功能要求可表示為0, FRA, FRA。FRA, FRA, FRA,wFRA _ i = wi - Xi bi + Yiai2.2

17、 三維公差綜合模型(3)步驟二：配合特征幾何變動形成的裝配約束鏈。由圖4(a)，與裝配功能要求相關(guān)的配合特征共由以上推導(dǎo)過程，將第i個配合特征幾何變動量的累積寫成矩陣的形式，如下：有六個，依次為圓柱面A2、B2、B3、C2，以及漸 開線輪齒側(cè)面A1、C1。圖4(a)中，O1、O2、O3、mFRA _ i 1 0 00Zi- Yi mi O4、O5、O6為各配合特征局部參考坐標(biāo)系原點，u0 1 0 - Z0X u FRA _ i ii i 各局部坐標(biāo)系與圖4(b)中全局參考坐標(biāo)系各坐標(biāo)軸w0 0 1Y- X0 w =FRA _ iii (4)方向相同。由圖示尺寸，可以確定各局部參考坐iaFRA

18、_ i 0 0 0100 ai 標(biāo)系原點在全局參考坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)為分別b0 0 0010 b FRA _ i i 為0,0,r、 -b,0,r、-b,0,r、-b,0,-r、-b,0,-r和g FRA _ i 0 0 0001 g i 0,0,-r (b=19、r=12.5)。各配合特征在各自局部參記FRA_i = FRA_i, FRA_i, FRA_i, FRA_i, FRA_i,考坐標(biāo)系幾何變動如圖5所示。1443196219B314O3B2O422zyx14A218191425C2O5O2O125A1A1C1C1O6ZX(O) Y(a) 齒輪泵裝配體組成零件示意圖(b) 輪齒嚙合側(cè)向

19、間隙（裝配功能要求）FRAO0,FRA,FRA,FRA,FRA,FRA圖4 公差綜合分析實例A1 O1 0,1,1,1,1,1C1 O6 0,6,6,6,6,6A2 O2 0,2,2,0,2,2C2 O2 0,5,5,0,5,5B3 O3 0,3,3,0,3,3B4 O4 0,4,4,0,4,4圖5 配合特征幾何變動形成的裝配約束鏈步驟三：獲取公差綜合等式。矩陣J= J1, J2, J3, J4, J5, J6。由前述分析，易知1=0、2=0、 3=0、4=0、5=0,、6=0、2=0、3=0、 4=0、5=0，矩陣J中這些分量的對應(yīng)系數(shù)為0，以上結(jié)果定量地反映了各配合特征幾何變 動量與裝配功

20、能要求的關(guān)系，假定某裝配體中 i=FRA+1，j=1/FRA（i與j分別為不同 配合特征幾何變動量），當(dāng)降低對裝配功能的要 求，如將AFR增大一倍，則i隨之增大，但j將 會顯著減小，因而從i、j加工保證的難易程度 角度考慮對所得結(jié)果進(jìn)行分析明顯的工程意義。 另外，利用本文闡述的三維公差綜合模型，可以 采用統(tǒng)計仿真的方法對各零件配合特征幾何變動 量的有關(guān)計算，即對設(shè)計過程預(yù)定義的裝配功能 要求，先產(chǎn)生符合實際情況的各旋量參數(shù)一個或 若干樣本，然后利用式（7）進(jìn)行仿真計算得到各 配合特征幾何變量并進(jìn)行統(tǒng)計分析，進(jìn)而從統(tǒng)計 學(xué)方法角度來確定各零件配合特征幾何變動量以從而有：0 0 0 0 r 0 1

21、 0 0 0 r 0 1 0 0 0 r 00 1 0 -r 0 0 0 1 0 0 0 -b 0 1 0 0 0 -b達(dá)到三維公差優(yōu)化分配的目的，具體方法參見文獻(xiàn)11，限于篇幅，本文不再贅述。J JJ = 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 b 0 0 0 1 0 b 0 1,2 , ., 6 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 14結(jié)束語本文在特征變動幾何的基礎(chǔ)上建立了三維公0 0 0 0 -r 0 1 0 0 0

22、-r 0 0 0 0 0 -r 00 1 0 0 0 -b 0 1 0 0 0 -b 0 1 0 r 0 00 0 1 0 b 0 0 0 1 0 b 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1由公差綜合等式（7），可以計算各配合特征 自由度變動量與裝配功能要求的關(guān)系，以輪齒側(cè) 面A1為例，計算結(jié)果為：2差綜合模型。模型中采用空間中六個自由度方向 上的旋量參數(shù)變化來表示幾何特征的三維公差 域，利用機(jī)器人

23、運動學(xué)中的其次坐標(biāo)變換的知識 建立配合特征幾何變動累積關(guān)系等式，進(jìn)而通過 廣義逆矩陣的計算方法獲得公差綜合模型。實例 分析結(jié)果表明，利用本文建立的三維公差綜合模 型可以得到給定裝配功能要求與各配合特征幾何 = aFRA - 3wFRA + 2br g FRA = 3uFRA + 2b FRA a122r(9 + 3r2 + 2b2 )變動量之間的關(guān)系，能夠輔助設(shè)計人員分析配合 12(9 + 3r2 + 2b2 )b = (2b + 3)bFRA - 2bg FRA 特征變動的累積關(guān)系，并在裝配功能要求能夠量u和 1w = 3wFRA - 2bbFRA22(2b2 + 9)22化的前提下可進(jìn)行仿

24、真計算各配合特征自由度變 12(2b2 + 9)g = 2buFRA + (3 + r+ 2b )g FRA動量。本文的研究工作為CAD/CAM中集成公差設(shè) 12(9 + 3r2 + 2b2 )計提供了一種新的思路和方法。參考文獻(xiàn)：1 Y. S.Hong, T. C. Chang. A Comprehensive Review of Tolerancing ResearchJ.International Journal of Production Research,Vol.40,No.11,521-527,2002.2 彭和平,蔣向前,徐振高,等.基于多重相關(guān)特征質(zhì)量損 失函數(shù)的公差優(yōu)化設(shè)計J

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28、是當(dāng)系統(tǒng)故障時，最可能的失效原因是 由哪個組件引起的，表明當(dāng)模具子系統(tǒng)發(fā)生故障 時，最可能引起的原因是模座鍵，最不可能的是 緊固螺栓和定位銷。雖然從結(jié)構(gòu)重要度考慮，導(dǎo) 向鍵和模座鍵的重要度一樣，但它們的可靠度不 一樣，發(fā)生故障的可能性也不同。5）綜合重要度衡量了系統(tǒng)可靠性的提升潛 能。當(dāng)對組件進(jìn)行修復(fù)時，若使它們達(dá)到最佳狀 態(tài)，綜合重要度值就是系統(tǒng)可靠性的提升值，x2的 綜合重要度值最大，其次是x5，所以若想最大限度 地提高系統(tǒng)可靠性，從表中可看出對模座鍵的修 復(fù)為最佳選擇。綜合考慮各種重要度，可知x2模座鍵對整個數(shù) 控機(jī)床模具子系統(tǒng)的影響最大，模座鍵是該子系 統(tǒng)的重要構(gòu)件之一，直接或間接地影響著產(chǎn)品的 加工，而且一旦發(fā)生故障較不易處理，所以應(yīng)加 強(qiáng)對模具子系統(tǒng)中模座鍵的維護(hù)，從各種因素對 其加以改進(jìn)，以提升整個模具子系統(tǒng)的可靠性， 提高工作效率。4結(jié)束語采用BDD不但可以形象直觀地反映系統(tǒng)的邏 輯結(jié)構(gòu)，還可以簡便明了地表