經(jīng)典截長補(bǔ)短法巧解

1、截長補(bǔ)短法截長補(bǔ)短法是幾何證明題中十分重要的方法。通常來證明幾條線段的數(shù)量關(guān)系。截長補(bǔ)短法有多種方法。截長法：（1）過某一點(diǎn)作長邊的垂線（2）在長邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等。補(bǔ)短法（1）延長短邊。（2）通過旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起。例：在正方形ABCD中，DE=DF，DGCE，交CA于G，GHAF，交AD于P，交CE延長線于H，請(qǐng)問三條粗線DG，GH，CH的數(shù)量關(guān)系方法一（好想不好證）方法二（好證不好想）例題不詳解。（第2頁題目答案見第3、4頁）（1）正方形ABCD中，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)F在BC上，EAF=45。求證：EF=DE+BF（1）變形a正方形AB

2、CD中，點(diǎn)E在CD延長線上，點(diǎn)F在BC延長線上，EAF=45。請(qǐng)問現(xiàn)在EF、DE、BF又有什么數(shù)量關(guān)系？（1）變形b正方形ABCD中，點(diǎn)E在DC延長線上，點(diǎn)F在CB延長線上，EAF=45。請(qǐng)問現(xiàn)在EF、DE、BF又有什么數(shù)量關(guān)系？（1）變形c正三角形ABC中，E在AB上，F(xiàn)在AC上EDF=45。DB=DC，BDC=120。請(qǐng)問現(xiàn)在EF、BE、CF又有什么數(shù)量關(guān)系？（1）變形d正方形ABCD中，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)F在BC上，EAD=15，F(xiàn)AB=30。AD=求AEF的面積（1）解：（簡(jiǎn)單思路）延長CD到點(diǎn)G，使得DG=BF，連接AG。由四邊形ABCD是正方形得ADG=ABF=90AD=AB又DG=

3、BF所以ADGABF（SAS）GAD=FABAG=AF由四邊形ABCD是正方形得DAB=90=DAF+FAB=DAF+GAD=GAF所以GAE=GAF-EAF=90-45=45GAE=FAE=45又AG=AFAE=AE所以EAGEAF（SAS）EF=GE=GD+DE=BF+DE變形a解：（簡(jiǎn)單思路）EF= BF-DE在BC上截取BG，使得BG=DF，連接AG。由四邊形ABCD是正方形得ADE=ABG=90AD=AB又DE=BG所以ADEABG（SAS）EAD=GABAE=AG由四邊形ABCD是正方形得DAB=90=DAG+GAB=DAG+EAD=GAE所以GAF=GAE-EAF=90-45=4

4、5GAF=EAF=45又AG=AEAF=AF所以EAFGAF（SAS）EF=GF=BF-BG=BF-DE變形b解：（簡(jiǎn)單思路）EF=DE-BF在DC上截取DG，使得DG=BF，連接AG。由四邊形ABCD是正方形得ADG=ABF=90AD=AB又DG=BF所以ADGABF（SAS）GAD=FABAG=AF由四邊形ABCD是正方形得DAB=90=DAG+GAB=BAF+GAB=GAF所以GAE=GAF-EAF=90-45=45GAE=FAE=45又AG=AFAE=AE所以EAGEAF（SAS）EF=EG=ED-GD=DE-BF變形c解：（簡(jiǎn)單思路）EF=BE+FC延長AC到點(diǎn)G，使得CG=BE，連

5、接DG。由ABC是正三角形得ABC=ACB=60又DB=DC，BDC=120所以DBC=DCB=30DBE=ABC+DBC=60+30=90ACD=ACB+DCB=60+30=90所以GCD=180-ACD=90DBE=DCG=90又DB=DC，BE=CG所以DBEDCG（SAS）EDB=GDCDE=DG又DBC=120=EDB+EDC=GDC+EDC=EDG所以GDF=EDG-EDF=120-60=60GDF=EDF=60又DG=DEDF=DF所以GDFEDF（SAS）EF=GF=CG+FC=BE+FC變形d解：（簡(jiǎn)單思路）延長CD到點(diǎn)G，使得DG=BF，連接AG。過E作EHAG.前面如（1

6、）所證，ADGABF，EAGEAFGAD=FAB=30，SEAG=SEAF在RtADG中，GAD=30，AD=AGD=60，AG=2設(shè)EH=x在RtEGH中和RtEHA中AGD=60，HAE=45HG=x，AH=xAG=2=HG+AH=x+x,EH=x=3-SEAF=SEAG=EHAG2=3-.（第5頁題目答案見第6頁）（2）正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于O，點(diǎn)E在BD上，AE平分DAC。求證：AC/2=AD-EO（2）加強(qiáng)版正方形ABCD中，M在CD上，N在DA延長線上，CM=AN，點(diǎn)E在BD上，NE平分DNM。請(qǐng)問MN、AD、EF有什么數(shù)量關(guān)系？（2）解：（簡(jiǎn)單思路）過E作EGAD

7、于G因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形ADC=90，BD平分ADC，ACBD所以ADB=ADC/2=45因?yàn)锳E平分DAC，EOAC，EGAD所以EAO=EAG，DGE=AOE=AGE=90又AE=AE，所以AEOAEG（AAS）所以AG=AO，EO=EG又ADB=45，DGE=90所以DGE為等腰直角三角形DG=EG=EOAD-DG=AD-EO=AG=AO=AC/2（2）加強(qiáng)版解：（簡(jiǎn)單思路）MN/2=AD-EF過E作EGAD于G，作EQAB于Q，過B做BPMN于P按照（2）的解法，可求證，GNEFNE（AAS）DGE為等腰直角三角形AG=AD-DG=AD-EF，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，ABC=GAQ=BCM=90BD平分ABC，BC=BAABD=ABC/2=45，又EQB=90EQB為等腰Rt三角形，BEQ=45因?yàn)镚AQ=EGA=EQA=90所以四邊形AGEQ為矩形，EQ=AG=AD-EF，EQ/AGQEN=ENG又ENG=ENF，所以QEN=ENF由BC=BA，BCM=BAN=90，CM=AN，所以BCMBAN（SAS）BM=BN，CBM=ABNABC=90=ABM+CBM=ABM+ABN=MBN，又BM=BN所以MBN為等腰Rt三角形，又BP斜邊MN于P，所以NPB為等腰Rt三角形。BP=MN/2，PNB=45。BNE