線面角及二面角的求法

1、第9節(jié) 線面角及二面角的求法【基礎(chǔ)知識】求線面角、二面角的常用方法：(1)線面角的求法，找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作垂線，找垂足，要把線面角轉(zhuǎn)化到一個三角形中求解(2)二面角的大小求法，二面角的大小用它的平面角來度量 : 【規(guī)律技巧】平面角的作法常見的有定義法；垂面法注意利用等腰、等邊三角形的性質(zhì)【典例講解】【例1】 如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中點 (1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)證明：AE平面PCD；(3)求二面角APDC的正弦值(1)解在四棱錐PABCD中，因PA底面ABCD，AB平面ABCD，故

2、PAAB.又ABAD，PAADA，從而AB平面PAD，故PB在平面PAD內(nèi)的射影為PA，從而APB為PB和平面PAD所成的角在RtPAB中，ABPA，故APB45.所以PB和平面PAD所成的角的大小為45.(2)證明在四棱錐PABCD中，因PA底面ABCD，CD平面ABCD，故CDPA.由條件CDAC，PAACA，CD平面PAC.又AE平面PAC，AECD.由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中點，AEPC.又PCCDC，綜上得AE平面PCD.【變式探究】如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PDDC.E是PC的中點，作EFPB交PB于點F

3、.(1)證明PA平面EDB；(2)證明PB平面EFD；(3)求二面角CPBD的大小(1)證明如圖所示，連接AC，AC交BD于O，連接EO.底面ABCD是正方形，點O是AC的中點在PAC中，EO是中位線，PAEO.而EO平面EDB且PA平面EDB，PA平面EDB.【針對訓(xùn)練】1如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，PA底面ABCD，AC2，PA2，E是PC上的一點，PE2EC. (1)證明：PC平面BED；(2)設(shè)二面角APBC為90，求PD與平面PBC所成角的大小(2)解在平面PAB內(nèi)過點A作AGPB，G為垂足因為二面角APBC為90，所以平面PAB平面PBC.又平面PAB平面PBCP

4、B，故AG平面PBC，AGBC.因為BC與平面PAB內(nèi)兩條相交直線PA，AG都垂直，故BC平面PAB，于是BCAB，所以底面ABCD為正方形，AD2，PD2.設(shè)D到平面PBC的距離為d.因為ADBC，且AD平面PBC，BC平面PBC，故AD平面PBC，A，D兩點到平面PBC的距離相等，即dAG.設(shè)PD與平面PBC所成的角為，則sin .所以PD與平面PBC所成的角為30.【練習(xí)鞏固】1、如圖所示，在多面體，四邊形，均為正方形，為的中點，過的平面交于F.（）證明：；（）求二面角余弦值.【答案】（）；（）.3（2014湖北卷）如圖14，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中點，點P，Q分別在棱DD1，BB1上移動，且DPBQ(00)，則C(m，0)，(m，0)設(shè)n1(x，y，z)為平面ACE的法向量，則即可取n1.又n2(1，0，0)