線性代數(shù)總復(fù)習(xí)

1、2008-2009-2線性代數(shù)A總復(fù)習(xí)I.試卷題型及分?jǐn)?shù)分配大致：選擇題20分，填空題20分，計算題54分，證明題6分II.重要例題、習(xí)題：第一章例題：P3例2；P5例4；P12例7；P13例9；P18例7（另解）；P21例13；P22例14；習(xí)題：P26：1(1), 2(2,4), 3, 4(1,2), 9.11.12第二章例題：P35例4、例5；P39例7；P40例8；P41例9；P44例10、11、12、13；習(xí)題：P54: 1(1,2,4,5), 2；7.8,10(1,3), 11（1）.14，15.16，19，22, ,23,27.第三章例題：P64例2；P65例3；P68例6；P7

2、3例10；P75例11；12.習(xí)題：P79: 1(3,4), 4(1), 5(1),6. 10(3), 13(2), 14(1.4), 17第四章例題：P84例1；P85例2；P88例5；P88例6；P93例11；P97例12；P101例16；P103例1821；P106例24.25；習(xí)題：P106: 1, 2, 4， 9, 12(2), 14.20(1), 26(2), 27, 28, 34,37.38第五章例題：P114例2；P115例3；P118120例5、例6、例7、例8、例9；P125例12；P126例13；P130例14；P131例15;例16; P133例17.習(xí)題：P134:

3、2(1), 3(1), 6(1), 12,13, 19(1), 20, 21, 22, 28(1), 31(1),33.III.基本內(nèi)容第一章 行列式1.例: 計算下列各題:(1) 求逆序數(shù) ; (2)確定行列式中項的符號, (3)計算 (=-7)，(4)計算（D=31）2. 行列式的性質(zhì)及按第i行（列）展開： 注意: 3. 克萊姆法則:AX=b (1)當(dāng)時，(2) AX=0有非零解 。例：當(dāng)k為何值時，方程組有非零解。 k=2或-1第二章 矩陣及其運(yùn)算1矩陣的簡單運(yùn)算及性質(zhì): 例：設(shè)，求AB,BA注意(1)一般地，ABBA, (2)AC=BC不一定有A=B. (3); (4)為對稱矩陣. (

4、5)., (6) , (7) 2逆矩陣 為可逆且. 例:求的逆矩陣?yán)航夥匠蹋篈X=B，()第三章矩陣的初等變換與線性方程組1.行階梯形矩陣、行最簡形矩陣、標(biāo)準(zhǔn)形例:化矩陣為行最簡形2初等矩陣：單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣3解矩陣方程， 特別地，當(dāng)B=E時例 設(shè),試求解方程解: 由 4求矩陣的秩 若，則 例:求矩陣的秩。第四章向量組的線性相關(guān)性1 向量的線性組合 b是的線性表示有解2向量組的線性表示(及) B能由A線性表示(B中每個向量都能由A組向量線性表示) B=AKR(A)=R(A,B)即3 A 、B兩向量組等價A, B能相互線性表示R(A)=R(B)=R(A,B)4向量組線性相關(guān)

5、(線性無關(guān))方程組有非零解(只有零解) 注意: 線性相關(guān)其中至少有一向量是其余向量的線性組合 例：已知b=(k,3,2)T，(2,-1,3)T，(3,2,1)T，問k為和值時b,，線性向關(guān),并用 ，線性表示b。 解：由行列式為0得k=5，令,得由， 得， 例：設(shè)線性無關(guān),證明：,也線性無關(guān)證：令,則： 線性無關(guān) 也線性無關(guān) 結(jié)論(定理5)向量組線性相關(guān)向量組線性相關(guān);反之,向量組線性無關(guān)向量組線性無關(guān)（2）當(dāng)向量維數(shù)nm時，向量組一定線性相關(guān)；特別地：n+1個n維向量線性相關(guān)（3）若線性無關(guān)，而線性相關(guān)，則b可由向量組A線性表示，且表示法唯一 5向量組A的最大線性無關(guān)組A0：(1)向量組線性無

6、關(guān)，(2)A中而任意個向量 都線性相關(guān)注意：A的最大線性無關(guān)組有多個，但每個最大線性無關(guān)組所含向量個數(shù)相等 例：,求該組向量的一個最大無關(guān)組,并用該最大無關(guān)組表示其余向量解,是一個最大無關(guān)組,且6齊次線性方程組:AX=0(1)當(dāng)時，有唯一解：零解； (2)當(dāng)時，有無窮多組解。(自由變量數(shù)為n-r)，其通解為,其中S0：一個基礎(chǔ)解系7線性方程組有解(1)當(dāng)時有唯一解; (2)當(dāng)時有無窮多組解。(自由變量個數(shù)為n-r)其通解為：+ (一個特解)例：用基礎(chǔ)解系表示如下非齊次線性方程組的通解: ()8向量空間的有關(guān)概念(1)向量集構(gòu)成向量空間的條件,會判斷給出的向量集是否為向量空間(2) 會判斷給出的

7、向量組是否為一個基,并能由基來表示給出的向量.例：設(shè)，驗證是的一個基 第五章相似矩伸和二次型一 內(nèi)積、范數(shù)及正交的有關(guān)概念。1施密特正交化例：試用施密特正交化將規(guī)范正交化. (,然后單位化即可)2A為正交矩陣（即），二.方陣的特征值與特征向量1、 ，則稱為A的特征值，x為A的特征向量2特征值的性質(zhì)：(1)，(2)3特征向量的求法：（1） ，（2）由得非零解，則就是A的與對應(yīng)的特征向量4有關(guān)性質(zhì)：（1）設(shè)是A的特征值，則(1)是的特征值,(2)是的特征值（2）若互不相等，則對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)三. 相似1、 B、A相似，2、 若A與B相似，則A與B有相同的特征多項式和特征值3、若A與相似，則是

8、A的n個特征值 4、A與對角陣相似的充要條件為A有n個線性無關(guān)的特征向量5、若A有n個不相等的特征值，則A與對角陣相似四.對稱矩陣的對角化1、對稱陣的特征值為實數(shù)2、是對稱陣A的特征值，則對應(yīng)的特征向量與正交3、設(shè)A對稱陣，則有正交陣P，使）4、設(shè)是對稱陣A的k重特征根，而恰有k個線性無關(guān)的特征向量5、對稱陣對角化的一般步驟：（1） 求出A的全部特征值及重數(shù)（2） 求出與對應(yīng)的個線性無關(guān)的特征向量，并將特征向量正交化單位化（3） 將這n個兩兩正交的單位向量構(gòu)成正交矩陣P，則有例：求的特征值與特征向量, 解：=0得對，解方程，由得基礎(chǔ)解系：.與對應(yīng)的所有特征向量為對解方程，由得：，與對應(yīng)的所有特

9、征向量為五.二次型: 如：寫出與對應(yīng)的矩陣()1標(biāo)準(zhǔn)形：2二次型，（是A的特征值）例: 已知二次型的特征值為，特征向量為，試求正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形解:將，正交化得:，, 然后單位化得，令，則：,作正交變換得6用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 例:化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并求所用的變換矩陣7正定二次型A為正定，()正慣性指數(shù)為n特征值全為正順序主子式全為正歷年試卷一.填空題（每小題4分，共20分）1.兩個矩陣既可相加，又可相乘的充要條件是 .2.設(shè)A是n階可逆矩陣，為A的一個特征值，則必有特征值 . （是A的伴隨矩陣）.3.設(shè)齊次線性方程組AX=O（其中）有惟一解，則 時，對任意m 維列向量b,非齊次線

10、性方程組AX=b都有惟一解.4.設(shè)寫出二次型的矩陣 .5.設(shè)向量矩陣，則 二.選擇題（每小題4分，共20分）1.設(shè)且，則.（A）V是1維向量空間； （B）V是2維向量空間；（C）V是3維向量空間； （D）V不是向量空間.2.設(shè)A，B為n階方陣，滿足AB=O，則（A）A=B=O； （B）A+B=O；（C） （D）或3.設(shè)3階矩陣其中均為3維列向量，且則（A）8； （B）16；（C）32； （D）40.4.設(shè)A是3階矩陣，且，則（A）3； （B）4； （C）5； （D）6.5.設(shè)有向量組（）及（），則（A）若（）線性相關(guān)，則（）線性相關(guān)；（B）若（）線性相關(guān)，則（）線性相關(guān)；（C）若（）線性無關(guān)，

11、則（）線性無關(guān)；（D）即使（）線性無關(guān)，（）也未必線性無關(guān).三.解答題（共56分）1.（8分）設(shè)，求及.2.（8分）設(shè)n階方陣A滿足，證明A及A+4E均可逆，并分別求出其逆矩陣.3.（6分）已知，求.4.（10分）求解非齊次線性方程組5.（10分）已知中的兩個基為及求由基到基的過渡矩陣P.6.（14分）求一個正交變換x=Py，把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.四、（4分）證明題設(shè)線性無關(guān)，令，則線性無關(guān).歷年試卷（參考答案）一、填空題（每小題4分，共20分）1. 同階方陣. 2. 3. R（A）=R（A，b）= m . 4. 5. 二、選擇題（每小題4分，共20分）1. B. 2. D 3. C 4.A 5.A三、解答題（共56分）1.（8分）解：設(shè)，解得 -2分， -4分所以 -6分 -8分2.（8分）解：由，得-2分 所以 -4分由，得-6分 所以 -83.（6分）解：,得 -2分解得 -4分 -5分所以 -6分4.（10分）解-4分與原方程組同解的方程組為 -6分與導(dǎo)出方程組同解的方程組為 -9