數(shù)學(xué)物理方程學(xué)習(xí)指導(dǎo)書(shū)第1章預(yù)備知識(shí)

1、第1章 預(yù)備知識(shí)在高等數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)中，常微分方程的定解問(wèn)題的求解方法是我們熟悉的.該類(lèi)問(wèn)題主要有兩個(gè)特點(diǎn)：（1）問(wèn)題的所求量是一個(gè)未知函數(shù)；（2）所求的函數(shù)僅有一個(gè)自變量.而問(wèn)題中所給的定解條件也只是給出了唯一確定未知函數(shù)所需要的條件.這類(lèi)問(wèn)題的物理背景是非常明確的：方程描述了一類(lèi)物理現(xiàn)象滿(mǎn)足的普遍規(guī)律，定解條件則是某一具體現(xiàn)象應(yīng)該滿(mǎn)足的限制條件.例如：方程描述了自由落體運(yùn)動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間變化的一般規(guī)律，而定解條件則給出了運(yùn)動(dòng)的初始狀態(tài).在常微分方程中，所需確定的未知函數(shù)僅依賴(lài)于一個(gè)自變量，這就意味著所描述的物理現(xiàn)象只與一個(gè)因素有關(guān).顯而易見(jiàn)，這類(lèi)定解問(wèn)題僅僅描述了較為特殊的物理現(xiàn)象，而

2、大量常見(jiàn)的物理現(xiàn)象則是這類(lèi)模型力所不及的.例如溫度，不僅與時(shí)間有關(guān)，還應(yīng)該與地點(diǎn)有關(guān)，簡(jiǎn)單的至少應(yīng)表為.要客觀地描述現(xiàn)實(shí)中的溫度場(chǎng)，就必須考慮這類(lèi)多元函數(shù)所滿(mǎn)足的微分方程及相應(yīng)的定解條件.偏微分方程含有未知多元函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的方程就應(yīng)運(yùn)而生.數(shù)學(xué)物理方程是研究幾類(lèi)偏微分方程定解問(wèn)題求解方法的課程，這些定解問(wèn)題有著明確的物理背景，大致可分為三類(lèi)：熱傳導(dǎo)方程；波動(dòng)方程；泊松方程.前兩類(lèi)稱(chēng)為發(fā)展方程，討論的是與時(shí)間有關(guān)的物理量的分布規(guī)律；最后一類(lèi)稱(chēng)為穩(wěn)態(tài)方程，其討論的物理量的分布與時(shí)間無(wú)關(guān).類(lèi)比于高等數(shù)學(xué)中多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求解借助于一元函數(shù)的求導(dǎo)法則，多元函數(shù)的積分也化為定積分求解.偏微分方程能否轉(zhuǎn)

3、化為常微分方程求解？這涉及到兩個(gè)基本問(wèn)題：（1）如何轉(zhuǎn)化？（2）轉(zhuǎn)化以后的問(wèn)題的解與原問(wèn)題的解之間的關(guān)系如何？對(duì)于問(wèn)題（1），可用分離變量法各積分變換法解決，而問(wèn)題（2）的解決則基于線性疊加原理.因此常微分方程的定解問(wèn)題的求解的有關(guān)結(jié)論和公式，在數(shù)學(xué)物理方程的求解中起著基本的作用.11 常微分方程定解問(wèn)題111 一階常微分方程對(duì)于一階常微分方程定解問(wèn)題： （1.1）在方程兩邊同時(shí)乘上，則方程化為：方程兩邊同在上求積分，并利用（1 .1）中的定解條件（邊界條件）可得： （1.2）如果，則(1.2)對(duì)于不同的，可看成是(1.1)的導(dǎo)出方程的通解.如果是，則(1.2)表示的是(1.1)的一個(gè)特解.因

4、此，一階非線性方程解的結(jié)構(gòu)為：非齊次線性方程的通解等于導(dǎo)出方程的通解與一個(gè)非齊次特解之和.這個(gè)結(jié)論對(duì)于高階線性方程同樣成立.若是常數(shù)，則(1.2)可化為： （1.3）這種形式解在熱傳導(dǎo)方程的求解過(guò)程中將會(huì)用到.112 二階常微分方程對(duì)于二階常微分方程定解問(wèn)題： （1.4）我們先討論為常數(shù)的情形.求解這個(gè)問(wèn)題主要有兩個(gè)步驟：一、（1 .4）中微分方程的通解可表示為： (1.5)其中是導(dǎo)出方程 （1.6）的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，是非齊次方程 （1.7）的一個(gè)特解.二、根據(jù)(1.4)中的定解條件確定(1.5) 中的兩個(gè)任意常數(shù)，進(jìn)而得到(1.4)的解. 方程(1.6)的通解根據(jù)特征方程法可得到如下三種

5、情形：記特征方程的兩個(gè)根為，則（1） 當(dāng)是兩個(gè)不相等的實(shí)根時(shí)，齊次方程的通解為：（2） 當(dāng)是兩個(gè)相等的實(shí)根時(shí)，齊次方程的通解為：（3） 當(dāng)是一對(duì)共軛復(fù)根時(shí)，齊次方程的通解為： 然后，利用常數(shù)變易法確定設(shè)代入（1.7）得從中解出再積分一次即得到.例1 求的通解.解；特征方程的根為，于是導(dǎo)出方程的通解為： 為求非齊次方程的一個(gè)特解，利用常數(shù)變易法，設(shè)代入原方程，得解之得然后各自積分，得所以原方程的通解為： 113 Euler 方程從前面的討論中可以看出，二階常系數(shù)常微分方程的通解至少可以用已知函數(shù)的積分來(lái)表示，對(duì)于變系數(shù)的微分方程，其解則不一定可以用已知函數(shù)顯式表達(dá)出來(lái).但對(duì)于某些較為特殊的方程，

6、可以利用適當(dāng)?shù)淖儞Q得到解的顯式表達(dá)，例如Euler 方程 二階Euler 方程的一般形式為： （1.8）根據(jù)方程的特點(diǎn)，作自變量代換，并記，則由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則有：，將上述兩式代入（1.8）中可得： （1 .9）而這是我們熟悉的二階常系數(shù)非齊次微分方程，利用所學(xué)過(guò)的方法可以求出其通解，進(jìn)而得到(1.8)的解.例2求解方程解：設(shè)，則記.將其代入原方程得；即 其特征方程為：，特征根：（1）（2）所以，原方程的通解為： 這個(gè)結(jié)果將在后面的學(xué)習(xí)內(nèi)容中用到.12 常微分方程的特征值問(wèn)題常微分方程的特征值問(wèn)題對(duì)于我們來(lái)說(shuō)是一個(gè)新的概念，在數(shù)學(xué)物理方程定解問(wèn)題的求解中起著非常重要的作用.121 常微分方程

7、的特征值問(wèn)題的提法 對(duì)于二階常系數(shù)常微分方程的邊值問(wèn)題，如果方程和邊界條件都是給定的，則該邊值問(wèn)題是可以求解的.例如： . （1.10）對(duì)于給定的常數(shù)和函數(shù)，我們可以求出它的唯一解，當(dāng)然，對(duì)于，所得到的解的性質(zhì)也是不同的.特別地，如果，則（1.10） 成為： . （1.11）對(duì)于任意的常數(shù)總是方程的解，我們稱(chēng)之為平凡解，但這種解對(duì)于方程而言意義并不大.問(wèn)題：是否存在常數(shù)使得邊值問(wèn)題（1.11）有非零解？定義1：如果存在常數(shù)使得邊值問(wèn)題（1.11）有非零解，則稱(chēng)為邊值問(wèn)題（1.11）的特征值，相應(yīng)的非零解稱(chēng)為對(duì)應(yīng)于的特值函數(shù).邊值問(wèn)題（1.11）也就稱(chēng)為特征值問(wèn)題.對(duì)于不同的邊界條件，我們還有其

8、它結(jié)構(gòu)的特征值問(wèn)題，具體如下： . （1.12） . （1.13） . （1.14）122 特征值問(wèn)題的求解特征值問(wèn)題的求解是直接從定義出發(fā)來(lái)討論什么樣的能使得邊值問(wèn)題有非零解.具體求的步驟可以分成如下三步：（1） 對(duì)不同范圍的，給定微分方程的含有兩個(gè)任意常數(shù)的通解；（2） 由對(duì)應(yīng)的邊界條件確定任意常數(shù)得到定解問(wèn)題的解；（3） 確定的值，使得到的定解問(wèn)題的解非零.確定了的值后，相應(yīng)的定解問(wèn)題的非零解就是對(duì)應(yīng)于的特征函數(shù).特征值也稱(chēng)為本征值；固有值，特征函數(shù)也稱(chēng)為本征函數(shù)；固有函數(shù).我們以（1.13）為例討論該邊值問(wèn)題的特征值和特征函數(shù).例3求的特征值和特征函數(shù).解：方程的通解結(jié)構(gòu)隨的取值而不同

9、.（1），由邊值條件可得：解之得：，即.所以，不是特征值.（2），由邊值條件可得：為任意常數(shù).所以是特征值，為相應(yīng)的特征函數(shù).（3），由邊值條件可得：要使則要求，由此得，所以，特征值為，相應(yīng)的特征函數(shù)為，根據(jù)類(lèi)似的步驟，我們可以得到其他三類(lèi)特征值問(wèn)題的特征值和特征函數(shù)，為以后使用方便，現(xiàn)將這四類(lèi)邊值問(wèn)題的特征值和特征函數(shù)匯總于下表1.1中；表1.1 四類(lèi)邊值問(wèn)題的特征值和特征函數(shù)問(wèn)題特征值特征函數(shù)n 的取值（1.11）n =1,2,.（1.12）n =0,1,2,.（1.13）n =0,1,2,.（1.14）n =0,1,2,.除了上述四類(lèi)邊值問(wèn)題外，對(duì)于方程，還有由其他邊界條件構(gòu)成的邊值問(wèn)題

10、.例如：直線型構(gòu)件在一端與外界存在熱交換：交換的熱流量的大小與兩種介質(zhì)的溫度差成比例.這類(lèi)邊界條件可表示為：.相應(yīng)的特征值問(wèn)題如下； . （1.15）其中，利用與前面類(lèi)似的方法進(jìn)行討論：（1）不是（1.15）的特征值；（2）當(dāng)時(shí)，記.則方程的通解為：再由邊界條件知在的情形下，有，記，則滿(mǎn)足如下方程： (1.16)圖1-1這是一個(gè)超越方程，它的根不能直接表達(dá)，但根據(jù)圖解法（圖1-1）可以很容易地得到(1.16)所具有的基本性質(zhì)：（1） 方程有無(wú)窮多個(gè)正根；（2） 時(shí)，.顯而易見(jiàn)，特征根的分布同樣具有上述的兩條性質(zhì).從而（1.15）的特征根和特征函數(shù)為： （1.17）123 周期邊界條件的特征值問(wèn)

11、題設(shè)函數(shù)在上有定義且以為周期，因?yàn)椴皇嵌x在有限區(qū)間上，因此不存在如前所討論的邊界條件，但由于其周期性，我們考慮如下的地二階常系數(shù)齊次線性微分方程的定解問(wèn)題： （1.18）其定解條件為，稱(chēng)之為周期邊界條件.定解問(wèn)題（1.18）的求解方法與前面的類(lèi)似：（1），顯然不是周期函數(shù)，不滿(mǎn)足周期邊值條件.所以，不是特征值.（2），由周期邊值條件可得：為任意常數(shù).所以是特征值，為相應(yīng)的特征函數(shù).（3），由邊值條件可得：，為正整數(shù).因此，特征值，對(duì)應(yīng)的特征函數(shù).13 幾個(gè)常用的積分公式本節(jié)我們主要給出在高等數(shù)學(xué)課程中學(xué)習(xí)過(guò)的幾個(gè)重要的積分公式，這些公式將在我們的課程中得到應(yīng)用.1 平面區(qū)域上的格林（Gree

12、n）公式：設(shè)二元函數(shù)在平面有界閉區(qū)域上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 ， （1.19）其中是區(qū)域的正向邊界曲線.2斯托克斯（Stokes）公式：設(shè)函數(shù)在包含空間有向曲面的空間區(qū)域上具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，是上指定側(cè)的單位向量，則 (1.20)其中為有向空間曲線的正向，其方向與的側(cè)構(gòu)成右手系.根據(jù)兩類(lèi)曲面積分之間的關(guān)系，我們有等價(jià)的表達(dá)形式： (1.21)3 高斯公式（Gauss）設(shè)空間區(qū)域是由分片光滑的閉曲面所圍成，函數(shù)在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 (1.22)這里是的整個(gè)邊界曲面的外側(cè).利用高斯公式，我們?nèi)菀椎玫饺缦碌母窳值谝弧⒌诙?4 格林第一公式設(shè)是兩個(gè)定義在閉區(qū)域上的具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，是的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)，依次表示沿的外法向的