例析物理競(jìng)賽中純電阻電路的簡(jiǎn)化和等效變換

1、例析物理競(jìng)賽中純電阻電路的簡(jiǎn)化和等效變換計(jì)算一個(gè)電路的電阻，通常從歐姆定律出發(fā)，分析電路的串并聯(lián)關(guān)系。實(shí)際 電路中，電阻的聯(lián)接千變?nèi)f化，我們需要運(yùn)用各種方法，通過(guò)等效變換將復(fù)雜電 路轉(zhuǎn)換成簡(jiǎn)單直觀的串并聯(lián)電路。本節(jié)主要介紹幾種常用的計(jì)算復(fù)雜電路等效電阻的方法。1、等勢(shì)節(jié)點(diǎn)的斷接法在一個(gè)復(fù)雜電路中，如果能找到一些完全對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)（以?xún)啥诉B線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸），那么可以將接在等電勢(shì)節(jié)點(diǎn)間的導(dǎo)線(xiàn)或電阻或不含電源的支路斷開(kāi)（即去掉），也可以用導(dǎo)線(xiàn)或電阻或不含電源的支路將等電勢(shì)節(jié)點(diǎn)連接起來(lái)，且不影響電路的等效性。這種方法的關(guān)鍵在于找到等勢(shì)點(diǎn)，然后分析元件間的串并聯(lián)關(guān)系。常用于由 等值電阻組成的結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)的電路。【例題

2、1】在圖8-4甲所示的電路中，Ri = R2 = R3 = R4 = R5 = R，試求A、B兩端的等 效電阻Rab。模型分析：這是一個(gè)基本的等勢(shì)縮點(diǎn)的事例，用到的是物理常識(shí)是：導(dǎo)線(xiàn)是等勢(shì)體，用 導(dǎo)線(xiàn)相連的點(diǎn)可以縮為一點(diǎn)。將圖8-4甲圖中的A、D縮為一點(diǎn)A后，成為圖8-4乙圖。圖8-4答案：Rab = 3R o8【例題2】在圖8-5甲所示的電路中，Ri = 1 Q，R2 = 4 Q，R3 = 3 Q，R4 = 12 Q，R5 = 10Q，試求A、B兩端的等效電阻 Rab 。模型分析：這就是所謂的橋式電路，這里先介紹簡(jiǎn)單的情形：將A、B兩端接入電源，并假設(shè)R5不存在，C、D兩點(diǎn)的電勢(shì)相等。因此，

3、將C、D縮為一點(diǎn)C后，電路等效為圖 8-5乙Kl昌1卜1 1cDffl t-vCi對(duì)于圖8-5的乙圖，求 Rab是非常容易的。事實(shí)上，只要滿(mǎn)足電路平衡。答案：Rab = 15 Q。4空=空的關(guān)系，該橋式R2 R4R，試求A、B兩點(diǎn)之【例題4】用導(dǎo)線(xiàn)連接成如圖所示的框架, 求AB間的總電阻。ABCD是正四面體,B1A每段導(dǎo)線(xiàn)的電阻都是CDB【例題3】在如圖所示的有限網(wǎng)絡(luò)中，每一小段導(dǎo)體的電阻均為 間的等效電阻Rab 。2、電流分布法設(shè)有電流I從A點(diǎn)流入、B點(diǎn)流出，應(yīng)用電流分流的思想和網(wǎng)絡(luò)中兩點(diǎn)間不同路徑等電壓的思想，（即基耳霍夫定理），建立以網(wǎng)絡(luò)中各支路的電流為未知量的方程組，解出各支路電流與總

4、電流I的關(guān)系，然后經(jīng)任一路徑計(jì)算 A、B兩點(diǎn)間的電壓U AB，再由U ABI 即可求出等效電阻?！纠}1】7根電阻均為r的電阻絲接成如圖所示的網(wǎng)絡(luò)，試求出A、B兩點(diǎn)之間的等效電阻Rab。A、B兩點(diǎn)之間的等【例題2】10根電阻均為r的電阻絲接成如圖所示的網(wǎng)絡(luò)，試求出 效電阻Rab。C、D之間是兩根電阻絲并聯(lián)【例題3】8根電阻均為r的電阻絲接成如圖所示的網(wǎng)絡(luò),而成，試求出A、B兩點(diǎn)之間的等效電阻 Rab。C BD電流疊加原理：直流電路中，任何一條支路的電流都可以看成是由電路中各個(gè)電源分別作用時(shí)，在此支路中產(chǎn)生的電流的代數(shù)和。所謂電路中只有一個(gè)電源單獨(dú)作用，就是假設(shè)將其余電源均除去，但是它們的內(nèi)阻仍

5、應(yīng)計(jì)及。R，求A、B間等效電阻。【例題4】“田”字形電阻網(wǎng)絡(luò)如圖，每小段電阻為3、Y 變換法在某些復(fù)雜的電路中往往會(huì)遇到電阻的Y型或,如圖所示，有時(shí)把Y型聯(lián)接代換成等效 的型聯(lián)接，或把型聯(lián)接代換成等效的 Y型聯(lián) 接，可使電路變?yōu)榇?、并?lián)，從而簡(jiǎn)化計(jì)算，等 效代換要求Y型聯(lián)接三個(gè)端紐的電壓U12、U 23、U31及流過(guò)的電流I1、I2、 與型聯(lián)接的三個(gè)端紐相同。R R2R2 R3R3 RiR12將Y型網(wǎng)絡(luò)變換到型電路中的變換式:R3RR2R2R3R3R-iR2R1R2 R2R3 R3RRi將型電路變換到 Y型電路的變換式:R12 R3I巳R23R31R12 R23Rl2R23R31R31 R23

6、Ri2 * R23 + R31以上兩套公式的記憶方法：Y :分母為三個(gè)電阻的和，分子為三個(gè)待求電阻相鄰兩電阻之積。Y:分子為電阻兩兩相乘再相加，分母為待求電阻對(duì)面的電阻。當(dāng)Y形聯(lián)接的三個(gè)電阻相等時(shí)，與之等效的形聯(lián)接的三個(gè)電阻相等，且等于原來(lái)的 三倍；同樣，當(dāng)聯(lián)接的三個(gè)電阻相等時(shí)，與之等效的Y形聯(lián)接的三個(gè)電阻相等，且等于原來(lái)的1/3?！纠}1】對(duì)不平衡的橋式電路，求等效電阻Rab。提示：法一：“”變換； 法二：基爾霍夫定律ft2RRI。（分別應(yīng)【課堂練習(xí)】分別求下圖中AB、CD間等效電阻。ARB(答案：0.5R; R pq=4 Q)【例題2】試求如圖所示電路中的電流 用兩種變換方式計(jì)算）在求x值

7、時(shí)，注意到x是由無(wú)限多個(gè)組成，所以去掉左邊第一個(gè)a 對(duì)x值毫4、無(wú)限網(wǎng)絡(luò)(a> 0)就可以將原式等效變換為x= a x ,即無(wú)影響，即剩余部分仍為x ,這樣，- x - a = 0。所以114ax =2這就是物理學(xué)中解決無(wú)限網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題的基本思路，那就是：無(wú)窮大和有限數(shù)的和仍為無(wú)窮 大。一維無(wú)限網(wǎng)絡(luò)【例題1】在圖示無(wú)限網(wǎng)絡(luò)中，每個(gè)電阻的阻值均為 R ,試求A、B兩點(diǎn)間的電阻 Rab。A甲乙圖 0-11解法一：在此模型中，我們可以將“并聯(lián)一個(gè)R再串聯(lián)一個(gè)R”作為電路的一級(jí)，總電路是這樣無(wú)窮級(jí)的疊加。在圖8-11乙圖中，虛線(xiàn)部分右邊可以看成原有無(wú)限網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)它添加一級(jí)后，仍為無(wú)限網(wǎng)絡(luò)，即Rab /

8、 R + R = R AB解這個(gè)方程就得出了 Rab的值。答案：Rab = 15R 。圖 8-122解法二：可以，在A端注入電流I后，設(shè)第-級(jí)的并聯(lián)電阻分流為Ii ,則結(jié)合基爾霍夫第一定 律和應(yīng)有的比例關(guān)系，可以得出相應(yīng)的電流值如圖8-12所示對(duì)圖中的中間回路，應(yīng)用基爾霍夫第二定律，有(II i)R + (I-| 1)上 R - I iR = 0 I解得 I 1 =I2很顯然 Ua - IR - I 1R = Ub即 Uab = IR + 丄1IR =1- IR2 2最后，F(xiàn)Ab =如=15 r 。I2【例題2】如圖所示，由已知電阻 r1、r2和r3組成的無(wú)窮長(zhǎng)梯形網(wǎng)絡(luò)，求a、b間的等效電阻R

9、ab （開(kāi)端形）【例題3】如圖所示，由已知電阻r1、r2和r3組成的無(wú)窮長(zhǎng)梯形網(wǎng)絡(luò)，求a、b間的等效電阻Rab （閉端形）雙邊一維無(wú)限網(wǎng)絡(luò)【例題4】如圖所示，兩頭都是無(wú)窮長(zhǎng)，唯獨(dú)中間網(wǎng)孔上缺掉一個(gè)電阻r2，求e、f之間的等效電阻。（中間缺口形）【例題5】如圖所示，兩頭都是無(wú)窮長(zhǎng)，唯獨(dú)旁邊缺一個(gè)電阻r2，求f、g之間的等效電阻（旁邊缺口形）【例題6】如圖所示，求g、f間的等效電阻。（完整形）由于網(wǎng)絡(luò)無(wú)窮大，B也是網(wǎng)絡(luò)小結(jié)：一維無(wú)限網(wǎng)絡(luò)利用網(wǎng)絡(luò)的重復(fù)性。二維無(wú)限網(wǎng)絡(luò)【例題7】圖為一個(gè)網(wǎng)格為正方形的平面無(wú)窮網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都有四個(gè)電阻與上下左右四個(gè)節(jié)點(diǎn)分別相聯(lián)，每個(gè)電阻大小均為R，由此，按左右

10、、上下一直延伸到無(wú)窮遠(yuǎn)處.A和B為網(wǎng)絡(luò)中任意兩個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)，試求A、B間的等效電阻Rab .模型分析：如圖，設(shè)有一電流I從A點(diǎn)流入，從無(wú)窮遠(yuǎn)處流出.由于網(wǎng)絡(luò)無(wú)窮大，故網(wǎng)絡(luò)對(duì)于A點(diǎn)是對(duì)稱(chēng)的，電流I將在聯(lián)接A點(diǎn)的四個(gè)電阻上平均分配這時(shí)，電阻R （指A、B兩節(jié)點(diǎn)間的電阻）上的電流為1/4，方向由A指向B同理，再設(shè)一電流I從無(wú)窮遠(yuǎn)處流處，從節(jié)點(diǎn) B 1 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，因此在電阻 R上分得的電流也為1/4 , 方向也是由A指向B .將上述兩種情況疊加，其結(jié)果將等效為一個(gè)從節(jié) 點(diǎn)A流入網(wǎng)絡(luò)，又從節(jié)點(diǎn)B流出網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)恒電流I , 在無(wú)窮遠(yuǎn)處既不流入也不流出每個(gè)支路上的電流 也是上述兩種情況下各支路電流的疊加因此，R

11、【例題8】對(duì)圖示無(wú)限網(wǎng)絡(luò)，求A、B兩點(diǎn)間的電阻Rab。m s-s電阻上的電流為1/2 .所以A、B兩節(jié)點(diǎn)間的電勢(shì)差 為：【例題9】有一個(gè)無(wú)限平面導(dǎo)體網(wǎng)絡(luò)，它由大小相同的正六邊形網(wǎng)眼組成，如圖所示。所有六邊形每邊的電阻為R0，求：（1）結(jié)點(diǎn)a、b間的電阻。（2）如果有電流I由a點(diǎn)流入網(wǎng)絡(luò)，由g點(diǎn)流出網(wǎng)絡(luò)，那么流過(guò) de段電阻的電流Ide為多大。解：（1）設(shè)有電流I自a點(diǎn)流入，流到四面八方無(wú)窮遠(yuǎn)處，那么必有I /3電流由a流向c,有I /6電流由c流向b。再假設(shè)有電流I由四面八方匯集b點(diǎn)流出，那么必有I / 6 電流由a流向c，有I / 3電流由c流向b。將以上兩種情況綜合，即有電流I =丄+丄c36I由a點(diǎn)流入，自b點(diǎn)流出，由電流疊加原理可知丄2 （由a流向c）二丄2 （由c流向b）因此，a、b兩點(diǎn)間等效電阻IcbU AB I ac RoI cb Ro-一 R（2）假如有電流I從a點(diǎn)流進(jìn)網(wǎng)絡(luò),II流向四面八方，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可以設(shè)應(yīng)該有3IA 6I因?yàn)閎、d兩點(diǎn)關(guān)于a點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以debe!i同理，假如有電流I從四面八方匯集到g點(diǎn)流出，應(yīng)該有Ide 二最后，根據(jù)電流的疊加原理可知dededeTa113Ia 6I6三維無(wú)限網(wǎng)絡(luò)【例題10】假設(shè)如圖有一個(gè)無(wú)限大NaCI晶格，每一個(gè)鍵電阻為r，求相鄰兩個(gè) Na和Cl原