“求兩線段長度之和的最小值”問題全解析

1、“求兩線段長度值和最小”問題全解析在近幾年的中考中，經(jīng)常遇到求PA+PB最小型問題，為了讓同學(xué)們對這類問題有一個(gè)比較全面的認(rèn)識(shí)和了解，我們特此編寫了“求兩線段長度值和最小”問題全解析，希望對同學(xué)們有所幫助一、在三角形背景下探求線段和的最小值1.1 在銳角三角形中探求線段和的最小值例1如圖1，在銳角三角形ABC中，AB=4,BAC=45，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M,N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值為 分析：在這里，有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以在解答時(shí)，就不能用我們常用對稱點(diǎn)法我們要選用三角形兩邊之和大于第三邊的原理加以解決解：如圖1，在AC上截取AE=AN，連接BE因?yàn)锽AC的平分線交B

2、C于點(diǎn)D，所以EAM=NAM，又因?yàn)锳M=AM， 所以AMEAMN，所以ME=MN所以BM+MN=BM+MEBE因?yàn)锽M+MN有最小值當(dāng)BE是點(diǎn)B到直線AC的距離時(shí)，BE取最小值為4，以BM+MN的最小值是4故填41.2在等邊三角形中探求線段和的最小值例22010 山東濱州如圖4所示，等邊ABC的邊長為6,AD是BC邊上的中線,M是AD上的動(dòng)點(diǎn),E是AC邊上一點(diǎn).假設(shè)AE=2,EM+CM的最小值為 . 分析：要求線段和最小值，關(guān)鍵是利用軸對稱思想，找出這條最短的線段，后應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)求出這條線段的長度即可解：因?yàn)榈冗匒BC的邊長為6,AD是BC邊上的中線,所以點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于AD對稱，連接BE交

3、AD于點(diǎn)M，這就是EM+CM最小時(shí)的位置，如圖5所示，因?yàn)镃M=BM，所以EM+CM=BE，過點(diǎn)E作EFBC，垂足為F，因?yàn)锳E=2，AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC中，因?yàn)镋C=4, ECF=60，F(xiàn)EC=30，所以FC=2,EF=2因?yàn)锽C=6，F(xiàn)C=2，所以BF=4在直角三角形BEF中，BE=.二、在四邊形背景下探求線段和的最小值2.1在直角梯形中探求線段和的最小值例32010江蘇揚(yáng)州如圖3，在直角梯形ABCD中，ABC90，ADBC，AD4，AB5，BC6，點(diǎn)P是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PCPD的和最小時(shí)，PB的長為_分析：在這里有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，兩個(gè)定點(diǎn)符合對稱點(diǎn)法求線段和最小的思路，

4、所以解答時(shí)可以用對稱法解：如圖3所示，作點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)E，連接CE，交AB于點(diǎn)P，此時(shí)PCPD和最小，為線段CE因?yàn)锳D4，所以AE=4因?yàn)锳BC90，ADBC，所以EAP90因?yàn)锳PEBPC,所以APEBPC，所以.因?yàn)锳E=4，BC6，所以，所以，所以,因?yàn)锳B5，所以PB=3.2.2在等腰梯形中探求線段和的最小值例4如圖4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，ABC=60，P是上底，下底中點(diǎn)EF直線上的一點(diǎn)，則PA+PB的最小值為 分析：根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)知道，點(diǎn)A的對稱點(diǎn)是點(diǎn)D，這是解題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)其次運(yùn)用好直角三角形的性質(zhì)是解題的又一個(gè)關(guān)鍵解：如圖4所示，因?yàn)辄c(diǎn)D關(guān)于

5、直線EF的對稱點(diǎn)為A，連接BD，交EF于點(diǎn)P，此時(shí)PAPB和最小，為線段BD過點(diǎn)D作DGBC，垂足為G，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形，且AB=AD=CD=1，ABC=60，所以C=60，GDC=30，所以GC=,DG=因?yàn)锳BC60，ADBC，所以BAD120因?yàn)锳B=AD，所以ABD=ADB=30，所以ADBC=30，所以BD=2DG=2=所以PA+PB的最小值為2.3在菱形中探求線段和的最小值例5如圖5菱形ABCD中，AB=2，BAD=60，E是AB的中點(diǎn)，P是對角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小值為 分析：根據(jù)菱形的性質(zhì)知道，點(diǎn)B的對稱點(diǎn)是點(diǎn)D，這是解題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)解：如圖5所示，

6、因?yàn)辄c(diǎn)B關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)為D，連接DE，交AC于點(diǎn)P，此時(shí)PEPB和最小，為線段ED因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，且BAD=60，所以三角形ABD是等邊三角形因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，AB=2，所以AE=1，DEAB，所以ED=所以PEPB的最小值為2.4在正方形中探求線段和的最小值例6如圖6所示，已知正方形ABCD的邊長為8，點(diǎn)M在DC上，且DM=2，N是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則DN+MN的最小值為 分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)知道，點(diǎn)B的對稱點(diǎn)是點(diǎn)D，這是解題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)解：如圖6所示，因?yàn)辄c(diǎn)D關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)為B，連接BM，交AC于點(diǎn)N，此時(shí)DNMN和最小，為線段BM因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以

7、BC=CD=8因?yàn)镈M=2，所以MC=6，所以BM=10.所以DN+MN的最小值為10.例72009?達(dá)州如圖7，在邊長為2cm的正方形ABCD中，點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PQ，則PBQ周長的最小值為 cm結(jié)果不取近似值分析：在這里PBQ周長等于PB+PQ+BQ，而BQ是正方形邊長的一半，是一個(gè)定值1，所以要想使得三角形的周長最小，問題就轉(zhuǎn)化成使得PB+PQ的和最小問題因?yàn)轭}目中有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，兩個(gè)定點(diǎn)B,Q符合對稱點(diǎn)法求線段和最小的思路，所以解答時(shí)可以用對稱法解:如圖7所示，根據(jù)正方形的性質(zhì)知道點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對稱，連接DQ，交AC于點(diǎn)P，連接PB所以BP=D

8、P，所以BP+PQ=DP+PQ=DQ在RtCDQ中，DQ= ，所以PBQ的周長的最小值為：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1故答案為+1三、在圓背景下探求線段和的最小值例82010年荊門如圖8，MN是半徑為1的O的直徑，點(diǎn)A在O上，AMN30，B為AN弧的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，則PAPB的最小值為( ) (A)2 (B) (C)1 (D)2分析：根據(jù)圓的對稱性，作出點(diǎn)A的對稱點(diǎn)D，連接DB，則線段和的最小值就是線段DB的長度解：如圖8，作出點(diǎn)A的對稱點(diǎn)D，連接DB，OB,OD因?yàn)锳MN30，B為AN弧的中點(diǎn)，所以弧AB的度數(shù)為30，弧AB的度數(shù)為30，弧AN的度數(shù)為60根據(jù)圓心角與圓周

9、角的關(guān)系定理得到：BON30由垂徑定理得：弧DN的度數(shù)為60所以BODBON +DON= 30+60=90.所以DB=.所以選擇B四、在反比例函數(shù)圖象背景下探求線段和的最小值例92010山東濟(jì)寧如圖9，正比例函數(shù)y=x的圖象與反比例函數(shù)y=k0在第一象限的圖象交于A點(diǎn)，過A點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為M，已知三角形OAM的面積為1.1求反比例函數(shù)的解析式；2如果B為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)點(diǎn)B與點(diǎn)A不重合，且B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，在x軸上求一點(diǎn)P，使PA+PB最小.分析：利用三角形的面積和交點(diǎn)坐標(biāo)的意義，確定出點(diǎn)A的坐標(biāo)是解題的第一個(gè)關(guān)鍵要想確定出PA+PB的最小值，關(guān)鍵是明白怎樣才能保證PA+P

10、B的和最小，同學(xué)們可以聯(lián)想我們以前學(xué)過的對稱作圖問題，明白了最小的內(nèi)涵，解題的過程就迎刃而解了解：1設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為x，y，且點(diǎn)A在第一象限，所以O(shè)M=x,AM=y因?yàn)槿切蜲AM的面積為1，所以所以xy=2，所以反比例函數(shù)的解析式為y=2因?yàn)閥=x與y=相交于點(diǎn)A，所以=x，解得x=2，或x=-2.因?yàn)閤0，所以x=2，所以y=1，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為2，1因?yàn)辄c(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，且點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖像上，所以點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2，所點(diǎn)B的坐標(biāo)為1，2，所以點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D的坐標(biāo)為1，-2設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，所以，解得k=3，b=-5，所以函數(shù)的解析式為y=3x-5，當(dāng)y=0時(shí)，x=

11、，所以當(dāng)點(diǎn)P在，0時(shí)，PA+PB的值最小五、在二次函數(shù)背景下探求線段和的最小值例102010年玉溪改編如圖10，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為1， ，AOB的面積是.1求點(diǎn)B的坐標(biāo)；2求過點(diǎn)A、O、B的拋物線的解析式；3在2中拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)C，使AOC的周長最?。考僭O(shè)存在，求出點(diǎn)C的 坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由； 分析：在這里AOC周長等于AC+CO+AO，而A,O是定點(diǎn)，所以AO是一個(gè)定長，所以要想使得三角形的周長最小，問題就轉(zhuǎn)化成使得AC+CO的和最小問題因?yàn)轭}目中有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)C，兩個(gè)定點(diǎn)A,O符合對稱點(diǎn)法求線段和最小的思路，所以解答時(shí)可以用對稱法解：1由題意得: 所以O(shè)B=

12、2因?yàn)辄c(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為-2，；2因?yàn)锽(-2,0),O(0,0),所以設(shè)拋物線的解析式為：y=axx+2，將點(diǎn)A的坐標(biāo)為1，代入解析式得：3a=，所以a=，所以函數(shù)的解析式為y=+x3存在點(diǎn)C. 如圖10，根據(jù)拋物線的性質(zhì)知道點(diǎn)B與點(diǎn)O是對稱點(diǎn)，所以連接AB與拋物線的對稱軸x= - 1交AC于點(diǎn)C，此時(shí)AOC的周長最小.設(shè)對稱軸與x軸的交點(diǎn)為E過點(diǎn)A作AF垂直于x軸于點(diǎn)F，則BE=EO=EF=1.因?yàn)锽CEBAF,所以,所以，所以CE=因?yàn)辄c(diǎn)C在第二象限，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為-1，六、在平面直角坐標(biāo)系背景下探求線段和的最小值例112010年天津如圖11，在平面直角坐標(biāo)系中，矩

13、形的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點(diǎn).1假設(shè)E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CDE的周長最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；2假設(shè)E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=2，當(dāng)四邊形CDEF的周長最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo).分析：此題的最大亮點(diǎn)是將一個(gè)動(dòng)點(diǎn)求最小值和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)求最小值問題糅合在一起，并很好的運(yùn)用到平面直角坐標(biāo)系中解：1如圖12，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，連接C與x軸交于點(diǎn)E，連接DE.假設(shè)在邊OA上任取點(diǎn)與點(diǎn)E不重合，連接C、D、.由D+ C=+ CC= D+CE=DE+CE，所以的周長最小.因?yàn)?在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D為OB的中點(diǎn)，所以 BC=3，DO=O=2.所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為3，4，點(diǎn)的坐標(biāo)為0，-2，設(shè)直線C的解析式為y=kx+b，則，解得k=2，b=-2，所以函數(shù)的解析式為y=2x-2，令y=0，則x=1，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為1，0；2如圖13，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，在CB邊上截取CG=2，連接G與x軸交于點(diǎn)E，在EA上截EF=2.因?yàn)?GCEF，GC=EF，所以 四邊形GEFC為平行四邊形，有GE=