恒成立問題題型分析及經(jīng)典習(xí)題

1、恒成立題型及解題方法一 一次函數(shù)型：給定一次函數(shù)y=f(x)=ax+b(a0),若y=f(x)在m,n內(nèi)恒有f(x)>0，則根據(jù)函數(shù)的圖象（直線）可得上述結(jié)論等價(jià)于）或）亦可合并定成同理，若在m,n內(nèi)恒有f(x)<0，則有nmoxynmoxy例、對(duì)于滿足|p|2的所有實(shí)數(shù)p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范圍。二次函數(shù)型1、由二次函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)的取值范圍例、若關(guān)于的不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.2、轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值求參數(shù)的取值范圍例1、已知二次函數(shù)滿足，而且，請(qǐng)解決下列問題（1）求二次函數(shù)的解析式。（2）若在區(qū)間上恒成立 ，求的取值范圍。例2、

2、設(shè)f(x)=x2-2ax+2,當(dāng)x-1,+)時(shí)，都有f(x)a恒成立，求a的取值范圍。三.變量分離型若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量的范圍已知，另一個(gè)變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個(gè)變量分別置于等號(hào)或不等號(hào)的兩邊，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解。例、已知當(dāng)xR時(shí)，不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。四.根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)若函數(shù)f(x)是奇(偶)函數(shù)，則對(duì)一切定義域中的x ,f(-x)=-f(x)，(f(-x)=f(x)恒成立若函數(shù)y=f(x)的周期為T，則對(duì)一切定義域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。例、若f(

3、x)=sin(x+)+cos(x-)為偶函數(shù)，求的值。五.直接根據(jù)圖象判斷若把等式或不等式進(jìn)行合理的變形后，能非常容易地畫出等號(hào)或不等號(hào)兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果。尤其對(duì)于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。例1、當(dāng)x(1,2)時(shí)，不等式(x-1)2<logax恒成立，求a的取值范圍。例2、已知關(guān)于x的方程lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。訓(xùn)練題組1、在ABC中，已知恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍。2、若當(dāng)P(m,n)為圓上任意一點(diǎn)時(shí)，不等式恒成立，則c的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、3、設(shè)其中，如果時(shí)，恒有意義，求的取值

4、范圍。4、 設(shè)函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，如果不等式對(duì)于任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。5、 已知當(dāng)xR時(shí)，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。6、已知不等式： 對(duì)一切大于1的自然數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)a的范圍。7、設(shè) , ,若恒有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.8、已知向量=(x2,x+1), =(1-x,t) 若函數(shù)f(x)·在區(qū)間(1，1)上是增函數(shù)，求t的取值范圍。9、設(shè)函數(shù)（）若，求的單調(diào)區(qū)間；（）若當(dāng)0時(shí)0，求的取值范圍10、已知函數(shù).()當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（）設(shè)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，存在，使，求實(shí)數(shù)取值范圍.11、已知函數(shù)。（I）討論函數(shù)的單調(diào)性；（II）設(shè)

5、.如果對(duì)任意，求的取值范圍。12、設(shè)函數(shù)，其中（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線的斜率（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值（3）已知函數(shù)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)，且，若對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍13、設(shè)函數(shù)。（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （）已知對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。14、已知實(shí)數(shù)，且滿足以下條件：、，有解；、，；求實(shí)數(shù)的取值范圍課后作業(yè)1、 已知時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍。2、 若時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍。3、 若不等式對(duì)滿足的所有都成立，求x的范圍。4、 若不等式對(duì)滿足的所有都成立，求的取值范圍。6、若不等式在內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。7、已知函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 。8、已知

6、函數(shù)時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。9、已知函數(shù)的值域，函數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 。10、對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍。函數(shù)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .11、若曲線存在垂直于軸的切線，則實(shí)數(shù)取值范圍是_.12、若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則的取值范圍是 。13、在R上定義運(yùn)算：xyx(1y)若不等式(xa)(xa)<1對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立，則 ( )(A)1<a<1 (B)0<a<2 (C) (D) 14、設(shè)函數(shù)，其中若對(duì)于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍部分答案：訓(xùn)練9、解：（）時(shí)，。當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，。故在，單調(diào)增加，在（-1，0）單調(diào)減少。（

7、）。令，則。若，則當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，而，從而當(dāng)x0時(shí)0，即0.若，則當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，而，從而當(dāng)時(shí)0，即0. 綜合得的取值范圍為訓(xùn)練10：解析：()，令（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng),函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增.(2)當(dāng)時(shí)，由，即，解得.當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，當(dāng),函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.（）當(dāng)時(shí)，在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，2）上是增函數(shù)，所以對(duì)任意，有，又已知存在，使，所以，（）又當(dāng)時(shí)，與（）矛盾；當(dāng)

8、時(shí)，也與（）矛盾；當(dāng)時(shí)，.11：解：（）的定義域?yàn)椋?，+）. .當(dāng)時(shí)，0，故在（0，+）單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)，0，故在（0，+）單調(diào)減少；當(dāng)-10時(shí)，令=0，解得.則當(dāng)時(shí)，0；時(shí)，0.故在單調(diào)增加，在單調(diào)減少.（）不妨假設(shè)，而-1，由（）知在（0，+）單調(diào)減少，從而 ，等價(jià)于， 令，則等價(jià)于在（0，+）單調(diào)減少，即 . 從而 故a的取值范圍為（-，-2. 12：【答案】（1）1（2）在和內(nèi)減函數(shù)，在內(nèi)增函數(shù)。函數(shù)在處取得極大值，且=函數(shù)在處取得極小值，且=【解析】解：當(dāng)所以曲線處的切線斜率為1.（2）解：，令，得到因?yàn)楫?dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：+0-0+極小值極大值在和內(nèi)減函數(shù)，在內(nèi)增函數(shù)。函數(shù)在處取得極大值，且=函數(shù)在處取得極小值，且=（3）解：由題設(shè)， 所以方程=0由兩個(gè)相異的實(shí)根，故，且，解得因?yàn)槿?，而，不合題意若則對(duì)任意的有則又