曲線積分和曲面積分重點(diǎn)總結(jié)例題

1、第十章 曲線積分與曲面積分【教學(xué)目標(biāo)與要求】1.理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系。2.掌握計(jì)算兩類曲線積分的方法。3.熟練掌握格林公式并會運(yùn)用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，會求全微分的原函數(shù)。4.了解第一類曲面積分的概念、性質(zhì)，掌握計(jì)算第一類曲面積分的方法?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】1.兩類曲線積分的計(jì)算方法；2.格林公式及其應(yīng)用；3. 第一類曲面積分的計(jì)算方法；【教學(xué)難點(diǎn)】1.兩類曲線積分的關(guān)系及第一類曲面積分的關(guān)系；2.對坐標(biāo)的曲線積分與對坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算；3.應(yīng)用格林公式計(jì)算對坐標(biāo)的曲線積分；6.兩類曲線積分的計(jì)算方法；7.格林公式及其應(yīng)用格林公式計(jì)算對坐標(biāo)的曲線

2、積分；【參考書】1同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下），第五版.高等教育出版社.2 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解，第六版.高等教育出版社.3 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)習(xí)題全解指南（下），第六版.高等教育出版社11.1 對弧長的曲線積分 一、 對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì) 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量: 設(shè)一曲線形構(gòu)件所占的位置在xOy面內(nèi)的一段曲線弧L上, 已知曲線形構(gòu)件在點(diǎn)(x, y)處的線密度為m(x, y). 求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量. 把曲線分成n小段, Ds1, Ds2, , Dsn(Dsi也表示弧長); 任取(xi , hi)Dsi, 得第i小段質(zhì)量的近似值m(xi , hi)Dsi; 整個(gè)

3、物質(zhì)曲線的質(zhì)量近似為; 令l=maxDs1, Ds2, , Dsn0, 則整個(gè)物質(zhì)曲線的質(zhì)量為 . 這種和的極限在研究其它問題時(shí)也會遇到. 定義 設(shè)函數(shù)f(x, y)定義在可求長度的曲線L上, 并且有界.，將L任意分成n個(gè)弧段: Ds1, Ds2, , Dsn, 并用Dsi表示第i段的弧長; 在每一弧段Dsi上任取一點(diǎn)(xi, hi), 作和; 令l=maxDs1, Ds2, , Dsn, 如果當(dāng)l0時(shí), 這和的極限總存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x, y)在曲線弧L上對弧長的曲線積分或第一類曲線積分, 記作, 即 . 其中f(x, y)叫做被積函數(shù), L 叫做積分弧段. 曲線積分的存在性: 當(dāng)

4、f(x, y)在光滑曲線弧L上連續(xù)時(shí), 對弧長的曲線積分是存在的. 以后我們總假定f(x, y)在L上是連續(xù)的. 根據(jù)對弧長的曲線積分的定義,曲線形構(gòu)件的質(zhì)量就是曲線積分的值, 其中m(x, y)為線密度. 對弧長的曲線積分的推廣: . 如果L(或G)是分段光滑的, 則規(guī)定函數(shù)在L(或G)上的曲線積分等于函數(shù)在光滑的各段上的曲線積分的和. 例如設(shè)L可分成兩段光滑曲線弧L1及L2, 則規(guī)定 . 閉曲線積分: 如果L是閉曲線, 那么函數(shù)f(x, y)在閉曲線L上對弧長的曲線積分記作 . 對弧長的曲線積分的性質(zhì): 性質(zhì)1 設(shè)c1、c2為常數(shù), 則 ; 性質(zhì)2 若積分弧段L可分成兩段光滑曲線弧L1和L

5、2, 則 ; 性質(zhì)3設(shè)在L上f(x, y)g(x, y), 則 . 特別地, 有 二、對弧長的曲線積分的計(jì)算法 根據(jù)對弧長的曲線積分的定義, 如果曲線形構(gòu)件L的線密度為f(x, y), 則曲線形構(gòu)件L的質(zhì)量為 . 另一方面, 若曲線L的參數(shù)方程為x=j(t), y=y (t) (atb),則質(zhì)量元素為 , 曲線的質(zhì)量為 . 即 . 定理 設(shè)f(x, y)在曲線弧L上有定義且連續(xù), L的參數(shù)方程為 x=j(t), y=y(t) (atb), 其中j(t)、y(t)在a, b上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 且j2(t)+y2(t)0, 則曲線積分存在, 且 (ab). 應(yīng)注意的問題: 定積分的下限a一定要小

6、于上限b. 討論: (1)若曲線L的方程為y=y(x)(axb), 則=?提示: L的參數(shù)方程為x=x, y=y(x)(axb), . (2)若曲線L的方程為x=j(y)(cyd), 則=?提示: L的參數(shù)方程為x=j(y), y=y(cyd), . (3)若曲G的方程為x=j(t), y=y(t), z=w(t)(atb), 則=? 提示: . 例1 計(jì)算, 其中L是拋物線y=x2上點(diǎn)O(0, 0)與點(diǎn)B(1, 1)之間的一段弧. 解 曲線的方程為y=x2 (0x1), 因此 . 例2 計(jì)算半徑為R、中心角為2a的圓弧L對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I(設(shè)線密度為m=1). 解 取坐標(biāo)系如圖所示,

7、 則. 曲線L的參數(shù)方程為 x=Rcosq, y=Rsinq (-aq0). 由L及l(fā)圍成了一個(gè)復(fù)連通區(qū)域D 1, 應(yīng)用格林公式得, 其中l(wèi)的方向取逆時(shí)針方向. 于是 =2p.記L 所圍成的閉區(qū)域?yàn)镈. 當(dāng)(0, 0)D時(shí), 由格林公式得 . 分析: 這里, , 當(dāng)x2+y20時(shí), 有. 二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件 曲線積分與路徑無關(guān): 設(shè)G是一個(gè)開區(qū)域, P(x, y)、Q(x, y)在區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù). 如果對于G內(nèi)任意指定的兩個(gè)點(diǎn)A、B以及G內(nèi)從點(diǎn)A到點(diǎn)B的任意兩條曲線L 1、L 2, 等式 恒成立, 就說曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān), 否則說與路徑有關(guān). 設(shè)曲線積分在G內(nèi)

8、與路徑無關(guān), L 1和L 2是G內(nèi)任意兩條從點(diǎn)A到點(diǎn)B的曲線, 則有 , 因?yàn)?, 所以有以下結(jié)論: 曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān)相當(dāng)于沿G內(nèi)任意閉曲線C的曲線積分等于零. 定理2 設(shè)開區(qū)域G是一個(gè)單連通域, 函數(shù)P(x, y)及Q(x, y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān)（或沿G內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零）的充分必要條件是等式 在G內(nèi)恒成立. 充分性易證: 若, 則, 由格林公式, 對任意閉曲線L, 有 . 必要性: 假設(shè)存在一點(diǎn)M0G, 使, 不妨設(shè)h0, 則由的連續(xù)性, 存在M0的一個(gè)d 鄰域U(M0, d), 使在此鄰域內(nèi)有. 于是沿鄰域U(M0, d)邊界l 的閉

9、曲線積分 , 這與閉曲線積分為零相矛盾, 因此在G內(nèi). 應(yīng)注意的問題: 定理要求, 區(qū)域G是單連通區(qū)域, 且函數(shù)P(x, y)及Q(x, y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù). 如果這兩個(gè)條件之一不能滿足, 那么定理的結(jié)論不能保證成立. 破壞函數(shù)P、Q及、連續(xù)性的點(diǎn)稱為奇點(diǎn). 例5 計(jì)算, 其中L為拋物線y=x2上從O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧. 解: 因?yàn)樵谡麄€(gè)xOy面內(nèi)都成立, 所以在整個(gè)xOy面內(nèi), 積分與路徑無關(guān). . 討論: 設(shè)L為一條無重點(diǎn)、分段光滑且不經(jīng)過原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線, L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向, 問是否一定成立？提示: 這里和在點(diǎn)(0, 0)不連續(xù). 因?yàn)楫?dāng)x2+y20時(shí),

10、, 所以如果(0, 0)不在L所圍成的區(qū)域內(nèi), 則結(jié)論成立, 而當(dāng)(0, 0)在L所圍成的區(qū)域內(nèi)時(shí), 結(jié)論未必成立. 三、二元函數(shù)的全微分求積 曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān), 表明曲線積分的值只與起點(diǎn)從點(diǎn)(x0, y0)與終點(diǎn)(x, y)有關(guān). 如果與路徑無關(guān), 則把它記為 即 . 若起點(diǎn)(x0, y0)為G內(nèi)的一定點(diǎn), 終點(diǎn)(x, y)為G內(nèi)的動(dòng)點(diǎn), 則 u(x, y)為G內(nèi)的的函數(shù). 二元函數(shù)u(x, y)的全微分為du(x, y)=ux(x, y)dx+uy(x, y)dy. 表達(dá)式P(x, y)dx+Q(x, y)dy與函數(shù)的全微分有相同的結(jié)構(gòu), 但它未必就是某個(gè)函數(shù)的全微分. 那么在什么

11、條件下表達(dá)式P(x, y)dx+Q(x, y)dy是某個(gè)二元函數(shù)u(x, y)的全微分呢？當(dāng)這樣的二元函數(shù)存在時(shí)怎樣求出這個(gè)二元函數(shù)呢？ 定理3 設(shè)開區(qū)域G是一個(gè)單連通域, 函數(shù)P(x, y)及Q(x, y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則P(x, y)dx+Q(x, y)dy 在G內(nèi)為某一函數(shù)u(x, y)的全微分的充分必要條件是等式 在G內(nèi)恒成立. 簡要證明: 必要性: 假設(shè)存在某一函數(shù)u(x, y), 使得du=P(x, y)dx+Q(x, y)dy, 則有 , . 因?yàn)椤⑦B續(xù), 所以, 即. 充分性: 因?yàn)樵贕內(nèi), 所以積分在G內(nèi)與路徑無關(guān). 在G內(nèi)從點(diǎn)(x0, y0)到點(diǎn)(x, y)的

12、曲線積分可表示為 u(x, y). 因?yàn)?u(x, y) , 所以 . 類似地有, 從而du =P(x, y)dx+Q(x, y)dy. 即P(x, y)dx+Q(x, y)dy是某一函數(shù)的全微分. 求原函數(shù)的公式: , , . 例6 驗(yàn)證:在右半平面(x0)內(nèi)是某個(gè)函數(shù)的全微分, 并求出一個(gè)這樣的函數(shù). 解: 這里, . 因?yàn)镻、Q在右半平面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且有 , 所以在右半平面內(nèi), 是某個(gè)函數(shù)的全微分. 取積分路線為從A(1, 0)到B(x, 0)再到C(x, y)的折線, 則所求函數(shù)為 . 問: 為什么(x0, y0)不取(0, 0)? 例7 驗(yàn)證: 在整個(gè)xOy面內(nèi), xy2

13、dx+x2ydy是某個(gè)函數(shù)的全微分, 并求出一個(gè)這樣的函數(shù). 解 這里P=xy2, Q=x2y. 因?yàn)镻、Q在整個(gè)xOy面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且有 , 所以在整個(gè)xOy面內(nèi), xy2dx+x2ydy是某個(gè)函數(shù)的全微分. 取積分路線為從O(0, 0)到A(x, 0)再到B(x, y)的折線, 則所求函數(shù)為 . 思考與練習(xí): 1.在單連通區(qū)域G內(nèi), 如果P(x, y)和Q(x, y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且恒有, 那么(1)在G內(nèi)的曲線積分是否與路徑無關(guān)?(2)在G內(nèi)的閉曲線積分是否為零? (3) 在G內(nèi)P(x, y)dx+Q(x, y)dy是否是某一函數(shù)u(x, y)的全微分? 2.在區(qū)域G

14、內(nèi)除M0點(diǎn)外, 如果P(x, y)和Q(x, y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且恒有, G1是G內(nèi)不含M0的單連通區(qū)域, 那么(1)在G 1內(nèi)的曲線積分是否與路徑無關(guān)?(2)在G 1內(nèi)的閉曲線積分是否為零?(3) 在G 1內(nèi)P(x, y)dx+Q(x, y)dy是否是某一函數(shù)u(x, y)的全微分? 3. 在單連通區(qū)域G內(nèi), 如果P(x, y)和Q(x, y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), , 但非常簡單, 那么(1)如何計(jì)算G內(nèi)的閉曲線積分? (2)如何計(jì)算G內(nèi)的非閉曲線積分? (3)計(jì)算, 其中L為逆時(shí)針方向的上半圓周(x-a)2+y2=a 2, y0, 小結(jié)1.格林公式2. 格林公式中的等價(jià)條件。教學(xué)方

15、式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題在教學(xué)過程中要注意格林公式和其中的等價(jià)條件，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解。師生活動(dòng)設(shè)計(jì)講課提綱、板書設(shè)計(jì)作業(yè) P214: 2 (1); 3 ; 4 (3) ; 5 (1) , (4) ; 6 (2) , (5)11. 4 對面積的曲面積分一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì) 物質(zhì)曲面的質(zhì)量問題: 設(shè)S為面密度非均勻的物質(zhì)曲面, 其面密度為r(x, y, z), 求其質(zhì)量: 把曲面分成n個(gè)小塊: DS1, DS2 , , DSn (DSi也代表曲面的面積);求質(zhì)量的近似值: (xi, hi, zi )是DSi上任意一點(diǎn)); 取極限求精確值: (l為各小塊曲面直徑的最大值). 定義

16、設(shè)曲面S是光滑的, 函數(shù)f(x, y, z)在S上有界. 把S任意分成n小塊: DS1, DS2 , , DSn (DSi也代表曲面的面積), 在DSi上任取一點(diǎn)(xi, hi, zi ), 如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值l0時(shí), 極限總存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x, y, z)在曲面S上對面積的曲面積分或第一類曲面積分, 記作, 即 .其中f(x, y, z)叫做被積函數(shù), S叫做積分曲面. 對面積的曲面積分的存在性: 我們指出當(dāng)f(x, y, z)在光滑曲面S上連續(xù)時(shí)對面積的曲面積分是存在的. 今后總假定f(x, y, z)在S上連續(xù). 根據(jù)上述定義面密度為連續(xù)函數(shù)r(x, y, z)的

17、光滑曲面S的質(zhì)量M可表示為r(x, y, z)在S上對面積的曲面積分: 如果S是分片光滑的我們規(guī)定函數(shù)在S上對面積的曲面積分等于函數(shù)在光滑的各片曲面上對面積的曲面積分之和. 例如設(shè)S可分成兩片光滑曲面S1及S2(記作S=S1+S2)就規(guī)定 . 對面積的曲面積分的性質(zhì): (1)設(shè)c 1、c 2為常數(shù), 則 ; (2)若曲面S可分成兩片光滑曲面S1及S2, 則 ; (3)設(shè)在曲面S上f(x, y, z)g(x, y, z), 則 ; (4), 其中A為曲面S的面積. 二、對面積的曲面積分的計(jì)算 面密度為f(x, y, z)的物質(zhì)曲面的質(zhì)量為. 另一方面, 如果S由方程z=z(x, y)給出, S在

18、xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈 , 那么 曲面的面積元素為,質(zhì)量元素為. 根據(jù)元素法, 曲面的質(zhì)量為 . 因此. 化曲面積分為二重積分: 設(shè)曲面S由方程z=z(x, y)給出, S在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy, 函數(shù)z=z(x, y)在Dxy上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 被積函數(shù)f(x, y, z)在S上連續(xù), 則 . 如果積分曲面S的方程為y=y(z, x), Dzx為S在zOx面上的投影區(qū)域, 則函數(shù)f(x, y, z)在S上對面積的曲面積分為 . 如果積分曲面S的方程為x=x(y, z), Dyz為S在yOz面上的投影區(qū)域, 則函數(shù)f(x, y, z)在S上對面積的曲面積分為 . 例1 計(jì)算曲面積分, 其中S是球面x2+y2+z2=a2被平面z=h(0ha)截出的頂部. 解 S的方程為, Dxy : x2+y2a2-h2. 因?yàn)?, , , 所以 . 提示: . 例2 計(jì)算, 其中S是由平面x=0, y=0, z=0及x+y+z=1所圍成的四面體的整個(gè)邊界曲面. 解 整個(gè)邊界曲面S在平面x=0、y=0、z=0及x+