平行四邊形知識點及證明題

1、知新教育伴你成長第 18 章 平行四邊形、矩形、菱形、正方形知識點總結(jié)一正確理解定義（1）定義： 兩組對邊 分別平行的四邊形是平行四邊形平行四邊形的定義揭示了圖形的最本質(zhì)的屬性，它既是平行四邊形的一條性質(zhì)，又是一個判定方法（2）表示方法： 用“”表示平行四邊形， 例如：平行四邊形ABCD記作ABCD，讀作“平行四邊形 ABCD”2熟練掌握性質(zhì)平行四邊形的有關(guān)性質(zhì)和判定都是從 邊、角、對角線 三個方面的特征進行簡述的（1）角：平行四邊形的 鄰角互補 ，對角相等 ；（2）邊：平行四邊形兩組 對邊分別平行且相等 ；（3）對角線 ：平行四邊形的對角線互相平分 ；（4）面積： S 底 高 = ah ；平

2、行四邊形的對角線將四邊形分成4 個面積相等的三角形3平行四邊形的判別方法定義：兩組對邊 分別平行的四邊形是平行四邊形方法 1：兩組對角 分別相等的四邊形是平行四邊形方法 2：兩組對邊 分別相等的四邊形是平行四邊形方法 3：對角線互相平分 的四邊形是平行四邊形方法 4：一組平行且相等 的四邊形是平行四邊形二、幾種特殊四邊形的有關(guān)概念（1）矩形： 有一個角是 直角 的平行四邊形 是矩形，它是研究矩形的基礎(chǔ)，它既可以看作是矩形的性質(zhì)，也可以看作是矩形的判定方法，對于這個定義，要注意把握：平行四邊形； 一個角是直角，兩者缺一不可（2）菱形： 有一組鄰邊相等 的平行四邊形 是菱形，它是研究菱形的基礎(chǔ)，它

3、既可以看作是菱形的性質(zhì)，也可以看作是菱形的判定方法，對于這個定義，要注意把握：平行四邊形； 一組鄰邊相等，兩者缺一不可（3）正方形： 有一組 鄰邊相等 且有一個 直角 的平行四邊形 叫做正方形，它是最特殊的平行四邊形，它既是平行四邊形，還是菱形，也是矩形，它兼有這三者的特征，是一種非常完美的圖形2幾種特殊四邊形的有關(guān)性質(zhì)（1）矩形：邊：對邊平行且相等；角：對角相等、鄰角互補；對角線：對角線互相平分且相等；對稱性：軸對稱圖形（對邊中點連線所在直線，2 條）（2）菱形： 邊：四條邊都相等；角：對角相等、鄰角互補；對角線：對角線互相垂直平分且每條對角線平分每組對角； 對稱性：軸對稱圖形（對角線所在直

4、線， 2 條）（3）正方形： 邊：四條邊都相等；角：四角相等；對角線：對角線互相垂直平分且相等，對角線與邊的夾角為 450； 對稱性：軸對稱圖形（4 條）3幾種特殊四邊形的判定方法（1）矩形的判定： 滿足下列條件之一的四邊形是矩形有一個角是直角的平行四邊形；對角線相等的平行四邊形；四個角都相等（2）菱形的判定： 滿足下列條件之一的四邊形是矩形有一組鄰邊相等的平行四邊形；對角線互相垂直的平行四邊形；四條邊都相等（3）正方形的判定： 滿足下列條件之一的四邊形是正方形 有一組鄰邊相等 且有一個 直角 的平行四邊形 有一組鄰邊相等 的矩形； 對角線互相垂直的矩形 有一個角是 直角 的菱形 對角線相等

5、的菱形；4幾種特殊四邊形的常用說理方法與解題思路分析（1）識別矩形的常用方法先說明四邊形 ABCD為平行四邊形，再說明平行四邊形ABCD的任意一個角為直角先說明四邊形 ABCD為平行四邊形，再說明平行四邊形ABCD的對角線相等說明四邊形 ABCD的三個角是直角（2）識別菱形的常用方法先說明四邊形 ABCD為平行四邊形，再說明平行四邊形ABCD的任一組鄰邊相等先說明四邊形 ABCD為平行四邊形，再說明對角線互相垂直說明四邊形 ABCD的四條相等（3）識別正方形的常用方法先說明四邊形 ABCD為平行四邊形，再說明平行四邊形 ABCD的一個角為直角且有一組鄰邊相等 先說明四邊形 ABCD為平行四邊形

6、，再說明對角線互相垂直且相等 先說明四邊形 ABCD為矩形，再說明矩形的一組鄰邊相等 先說明四邊形 ABCD為菱形，再說明菱形 ABCD的一個角為直角5幾種特殊四邊形的面積問題 設(shè)矩形 ABCD的兩鄰邊長分別為 a,b，則 S 矩形 =ab 設(shè)菱形 ABCD的一邊長為 a，高為 h，則 S 菱形 =ah；若菱形的兩對角線的長分別為a,b，則 S菱形 = 1 ab 2 設(shè)正方形 ABCD的一邊長為 a，則 S正方形 =2 ；若正方形的對角線的長為，則 正方形=12 aaSa2平行四邊形矩形菱形正方形圖形1對邊1對邊1 對邊1對邊且；且；且四條邊且四條邊2對角；2對角都；都；鄰角；且四個角都是2對

7、角；2對角性質(zhì)3對角線且 四個角 都3對角線；是；且每；3對角線3對角線條對角線；且每條對角線；面積證明題1.如圖，在菱形ABCD中， A=60° , AB =4, O 為對角線BD 的中點，過O 點作 OE AB，垂足為 E(1) 求 ABD 的度數(shù)；(2) 求線段 BE 的長2. 如圖，菱形 ABCD 的對角線 AC 與 BD 相交于點 O ，點 E 、 F 分別為邊 AB 、 AD 的中點，連接 EF 、 OE 、OF .求證：四邊形AEOF 是菱形 .AEFBDOC3. 在正方形 ABCD中， AC為對角線， E 為 AC上一點，連接 EB、 ED（ 1）求證： BEC DE

8、C；（ 2）延長 BE交 AD 于 F，當(dāng) BED=120°時，求 EFD的度數(shù)AFDEABC4. 已知：如圖，在正方形 ABCD中，點 E、 F 分別在 BC和 CD上， AE = AF（ 1）求證： BE = DF；（ 2）連接 AC 交 EF于點 O，延長 OC至點 M，使 OM = OA，連接 EM、FM判斷四邊形AEMF 是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論AD證明：（ 1）FOBEC5. 如圖，四邊形 ABCD是邊長為 a 的正方形，點 G，E分別是邊 AB，BC的中點，AEF=90o ，且 EF交正方形外角的平分線 CF于點 F（ 1）證明： BAE= FEC；（ 2）證明

9、： AGE ECF；（ 3）求 AEF的面積6.已知梯形 ABCD 中， AD / BC ， AB AD(如圖所示 )BAD 的平分線 AE 交 BC 于點 E ，聯(lián)結(jié) DE (1)在圖中，用尺規(guī)作BAD 的平分線 AE (保留作圖痕跡，不寫作法)，并證明四邊形 ABED 是菱形；(2)若 ABC 60 ， EC 2BE ，求證： EDDC 7. (2010 湖北省黃石市 ) 如圖，正方形 ABCD 中， E、 F 分別是 AB、BC 邊上的點， 且 AEBF .求證 AF DE .DCFABE8. 如圖，將矩形紙片ABCD 沿 EF 折疊，使點A 與點 C 重合，點 D 落在點 G 處， E

10、F 為折痕（ 1）求證： FGC EBC ；（ 2）若 AB 8，AD 4 ，求四邊形 ECGF （陰影部分 ）的面積9. 如圖，在 ABC中， D 是 BC 邊的中點， E、 F 分別在 AD 及其延長線上， CE BF，連接 BE、 CF（ 1）求證： BDF CDE；（ 2）若 AB AC，求證：四邊形 BFCE是菱形10. 如圖，在矩形 ABCD（AB AD）中，將AC 上，點 B 的對應(yīng)點為 F，同時將 CEG沿點 C 的對應(yīng)點為 HABE 沿 AE 對折，使 AB 邊落在對角線 EG 對折，使 CE邊落在 EF 所在直線上，（ 1）證明： AF HG（圖（ 1）；（ 2）證明： AEF EGH（圖（ 1）；（ 3）如果點 C 的對應(yīng)點H 恰好落在邊AD 上（圖（ 2）求此時 BAC的大小11.如圖，梯形ABCD中， AB CD， AC平分 BAD， CE AD 交 AB 于點 E求證：四邊形AECD是菱形12. 求證：矩形的對角線相等13. 如圖，在 ABCD中， EF BD，分別交 BC、 CD 于點 P、Q