平行四邊形全章復習與鞏固(基礎)知識講解

1、平行四邊形全章復習與鞏固（基礎）【學習目標】1.掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它們之間的關系 .2.探索并掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的有關性質和常用判別方法, 并能運用這些知識進行有關的證明和計算 .3. 掌握三角形中位線定理 .【知識網絡】【要點梳理】要點一、平行四邊形1定義： 兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.2性質：（ 1）對邊平行且相等；（ 2）對角相等；鄰角互補；（ 3）對角線互相平分；（ 4）中心對稱圖形 .3面積： S平行四邊形底高4判定： 邊：（ 1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（ 2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（ 3）一組

2、對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形角：（ 4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；（ 5）任意兩組鄰角分別互補的四邊形是平行四邊形邊與角：（ 6）一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形；對角線：（ 7）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.要點詮釋： 平行線的性質：（ 1）平行線間的距離都相等；（ 2）等底等高的平行四邊形面積相等.要點二、矩形1定義： 有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.2性質：（ 1）具有平行四邊形的所有性質；（ 2）四個角都是直角；（ 3）對角線互相平分且相等；（ 4）中心對稱圖形，軸對稱圖形 .3面積： S矩形 長寬判定：（ 1)有一個角是直角的平行四邊形是矩形

3、.（ 2）對角線相等的平行四邊形是矩形.（ 3）有三個角是直角的四邊形是矩形.要點詮釋： 由矩形得直角三角形的性質：（ 1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（ 2）直角三角形中， 30 度角所對應的直角邊等于斜邊的一半要點三、菱形1.定義： 有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2性質：（ 1）具有平行四邊形的一切性質；（ 2）四條邊相等；（ 3）兩條對角線互相平分且垂直，并且每一條對角線平分一組對角；（ 4）中心對稱圖形，軸對稱圖形 .對角線對角線3面積： S菱形底高24判定：（ 1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（ 2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（ 3）四邊相等的四邊形是菱形

4、 .要點四、正方形1.定義： 四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形叫做正方形.2性質：（1）對邊平行；（ 2）四個角都是直角；（ 3）四條邊都相等；（ 4）對角線互相垂直平分且相等，對角線平分對角；（ 5) 兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形；（ 6）中心對稱圖形，軸對稱圖形 .3面積：S正方形 = 邊長邊長 1 對角線對角線24判定：（ 1）有一個角是直角的菱形是正方形；（ 2）一組鄰邊相等的矩形是正方形；（ 3）對角線相等的菱形是正方形；（ 4）對角線互相垂直的矩形是正方形；（ 5）對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；（ 6）四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形是正方形.

5、【典型例題】類型一、平行四邊形1、如圖，在 口 ABCD中，點 E 在 AD上，連接BE， DF BE 交 BC于點 F， AF 與 BE交于點 M， CE與 DF 交于點 N求證：四邊形 MFNE是平行四邊形【答案與解析】證明：四邊形ABCD是平行四邊形. AD BC,AD BC（平行四邊形的對邊相等且平行）又 DF BE（已知）四邊形 BEDF是平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形） DE BF（平行四邊形的對邊相等） AD DE BC BF，即 AE CF又 AE CF四邊形AFCE是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形） AF CE四邊形MFNE是平行四邊形（

6、兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）【總結升華】要證明一個四邊形是平行四邊形首先要根據(jù)已知條件選擇一種合理的判定方法，如本題中已有一邊平行，只須說明另一邊也平行即可，故選用“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”來證明.舉一反三：【變式】 如圖， 等腰 ABC中， D是 BC邊上的一點， DE AC，DF AB,通過觀察分析線段DF， AB 三者之間有什么關系，試說明你的結論DE，【答案】 ABDE DF，提示： DE AC， DF AB，四邊形AEDF是平行四邊形，C EDB DFAE ABC是等腰三角形， B C， B EDB， DE BE， ABAE BEDF DE2、如圖，在ABC中

7、， ACB=90， BA，點 D為邊 AB的中點，DE BC交 AC于點 E，CFAB交 DE的延長線于點 F（ 1） 求 證 ： DE=EF；（ 2）連結 CD，過點 D作 DC的垂線交 CF的延長線于點 G，求證： B=A+DGC【思路點撥】（ 1）首先證明 四邊形 DBCF為平行 四邊形 ，可 得 DF=BC，再 證明 DE= 1 BC，2進 而 得 到 EF=CB， 即 可 證 出 DE=EF；（2）首先畫出圖形，首先根據(jù)平行線的性質可得ADG=G，再證明B=DCB， A= DCA，然 后 再 推 出 1= DCB= B，再 由 A+ ADG= 1 可 得 A+ G= B【答案與解析】

8、證明：（1）DEBC，CFAB，四邊形 DBCF為平行四邊形， DF=BC，D為邊 AB的中點，DEBC， DE= 1 BC， EF=DF-DE=BC- 1 CB= 1 CB，222 DE=EF；（ 2） DB CF， ADG= G，ACB=90， D為邊 AB的中點， CD=DB=AD， B= DCB， A= DCA， DG DC， DCA+ 1=90 ， DCB+ DCA=90， 1= DCB= B， A+ ADG= 1， A+ G= B【總結升華】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質，以及直角三角形的性質，關鍵是找出ADG=G，1=B掌 握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半類型二

9、、矩形3、已知：如圖， D 是 ABC的邊 AB 上一點， CNAB， DN交 AC于點 M， MA MC求證： CD AN；若 AMD2MCD，求證：四邊形 ADCN是矩形【思路點撥】 根據(jù)兩直線平行，內錯角相等求出 DAC NCA， 然后利用“角邊角”證明AMD和 CMN全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得ADCN，然后判定四邊形ADCN是平行四邊形， 再根據(jù)平行四邊形的對邊相等即可得證；根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和推出MCD MDC，再根據(jù)等角對等邊可得MD MC，然后證明AC DN，再根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形即可得證【答案與解析】證明： CNAB， DAC N

10、CA，在AMD和 CMN中，DACNCAMAMC，AMDCMN AMD CMN（ ASA），AD CN，又 ADCN，四邊形ADCN是平行四邊形，CD AN； AMD2MCD ， AMD MCD MDC， MCD MDC，MD MC，由知四邊形ADCN是平行四邊形，MD MN MAMC，AC DN，四邊形ADCN是矩形【總結升華】 要判定一個四邊形是矩形， 通常先判定它是平行四邊形， 再根據(jù)平行四邊形構成矩形的條件，判定有一個角是直角或對角線相等4、如圖所示，在矩形ABCD中， AB 6， BC 8將矩形ABCD沿 CE折疊后，使點D 恰好落在對角線AC上的點 F 處，求 EF 的長 .【思路

11、點撥】要求 EF 的長，可以考慮把EF 放入 Rt AEF 中，由折疊可知CD CF，DEEF ，易得 AC 10，所以 AF 4， AE 8- EF ，然后在 Rt AEF 中利用勾股定理求出 EF 的值【答案與解析】解：設 EF x ，由折疊可得： DE EF x ， CF CD 6，又 在 Rt ADC中， AC628210 AF AC CF 4， AE AD DE 8 x 在 Rt AEF中， AE2AF 2EF 2，即 (8 x)242x2 ，解得： x 3EF3【總結升華】 在矩形折疊問題中往往根據(jù)折疊找出相等的量，然后把未知邊放在合適的直角三角形中，再利用勾股定理進行求解舉一反三

12、：【變式】把一張矩形紙片 （矩形 ABCD）按如圖方式折疊， 使頂點 B 和點 D 重合，折痕為 EF若AB3cm ， BC 5 cm ，則重疊部分 DEF 的面積是 _ cm2 【答案】 5.1.提示：由題意可知BF DF， 設FC x ， DF 5 x ， 在Rt DFC 中 ，DC2228，BFDE 3.4，則 S DEF=1AB 1F CDF ，解得 x5DE22 3.4 35.1.類型三、菱形5、如圖 , 在菱形 ABCD中， BAD80， AB的垂直平分線交對角線AC于點 F，E 為垂足，連結DF，則 CDF等于 ().A.80 B.70 C.65 D.60 【答案】 D；【解析】

13、解：連結BF，由 FE是 AB的中垂線，知FB FA，于是 FBA FAB40. CFB 40 40 80 ,由菱形 ABCD知， DC CB， DCF BCF，CF CF，于是 DCF BCF，因此 CFD CFB 80,在 CDF中 ,CDF 180 40 80 60 .【總結升華】 運用菱形的性質可以證明線段相等、 角相等、 線段的平行及垂直等問題，關鍵是要記住它們的判定和性質 .舉一反三：【變式】用兩張等寬的紙帶交叉重疊地放在一起，重合的四邊形 ABCD是菱形嗎？如果是菱形請給出證明，如果不是菱形請說明理由【答案】 四邊形 ABCD是菱形；證明：由AD BC， AB CD得四邊形 AB

14、CD是平行四邊形,過 A，C 兩點分別作 AEBC于 E， CF AB于 F CFB AEB 90 AECF（紙帶的寬度相等） ABE CBF， Rt ABE Rt CBF, ABBC,四邊形ABCD是菱形 .類型四、正方形6、如圖，一個含45的三角板HBE的兩條直角邊與正方形ABCD的兩鄰邊重合，過E點作 EF AE交 DCE的角平分線于 F 點，試探究線段 AE 與 EF的數(shù)量關系，并說明理由 .【思路點撥】 AE EF根據(jù)正方形的性質推出AB BC， BAD HAD DCE90，推出HAE CEF，根據(jù) HEB 是以B 為直角的等腰直角三角形，得到 BH BE， H45，HA CE，根據(jù)

15、 CF 平分 DCE推出 H FCE，根據(jù) ASA證 HAE CEF 即可得到答案【答案與解析】探究： AE EF證明： BHE為等腰直角三角形, H HEB 45， BH BE.又 CF 平分 DCE，四邊形ABCD為正方形， FCE 1 DCE 45，2 H FCE.由正方形ABCD知 B 90， HAE 90 DAE90 AEB,而 AE EF， FEC90 AEB， HAE FEC.由正方形ABCD知 ABBC， BH AB BE BC， HA CE, AHE ECF （ ASA） ,AE EF.【總結升華】 充分利用正方形的性質和題目中的已知條件， 通過證明全等三角形來證明線段相等 .舉一反三：【變式】如圖所示， E、F、G、 H分別是四邊形 ABCD各邊中點，連接 EF、FG、GH、HE，則四邊形 EFGH為_形(1) 當四邊形滿足 _條件時，四邊形 EFGH是菱形(2) 當四邊形滿足 _條件時，四邊形 EFGH是矩形(3) 當四邊形滿足 _條件時，四邊形 EFGH是正方形在橫線上填上合適的條件，并說明你所填條件的合理性【答案】 四邊形 EFGH為平行四邊形；解： (1)AC BD，理由：如圖，四邊形ABCD的對角線ACBD，此時四邊形EFG