中考沖刺數(shù)學專題07探究規(guī)律問題含答案

1、中考沖刺數(shù)學專題7探究規(guī)律問題【備考點睛】近年來，探索規(guī)律的題目成為數(shù)學中考的一個熱點，從填空、選擇到解答題中都可見到這類探究規(guī)律問題,。這類問題題目分為題設(shè)和結(jié)論兩部分，通常題設(shè)部分給出一些數(shù)量關(guān)系或圖形變換關(guān)系，通過觀察分析，要求學生找出這些關(guān)系中存在的規(guī)律。這種數(shù)學題目本身存在一種數(shù)學探索的思想，體現(xiàn)了數(shù)學思想從特殊到一般的發(fā)現(xiàn)規(guī)律，是中考的一個難點，往往出現(xiàn)在填空選擇的最后一兩道題、或解答題的最后幾題，應引起考生的重視。規(guī)律探索型問題涉及的基礎(chǔ)知識非常廣泛，題目沒有固定的形式，因此沒有固定的解題方法。它既能充分地考察學生對基礎(chǔ)知識掌握的熟悉程度，又能較好地考察學生的觀察、分析、比較、概

2、括及發(fā)散思維的能力及創(chuàng)新意識?！窘?jīng)典例題】類型一、借助以歸納為指導的思想方法，得到表示變化規(guī)律的代數(shù)式例題1 如圖，在中，把邊長分別為,，的個正方形依次放入中，請回答下列問題：ABC（1）按要求填表：123（2）第個正方形的邊長 ；解答：如圖，設(shè)，則，相當于搞清楚第一項；由,得，而，ABC 解得即；完全類似地可得。搞清楚了遞推關(guān)系。把這些都搞清楚了，本題的解就很容易得到了。（1）依次應填； （2）例題2（2010山東濟寧）觀察下面的變形規(guī)律： 1； ；解答下面的問題：（1）若n為正整數(shù)，請你猜想 ；（2）證明你猜想的結(jié)論；（3）求和： .解答：（1）（2）證明：.（3）原式1 .例題3 如圖，

3、下列幾何體是由棱長為1的小立方體按一定規(guī)律在地面上擺成的，若將露出的表面都涂上顏色（底面不涂色），則第個幾何體中只有兩個面涂色的小立方體共有 。解答：我們把上面各圖中滿足“只有兩個面涂色的立方體”用涂色法表示出來：所以 第個幾何體中只有兩個面涂色的小立方體共有個.例題4 探索的正方形釘子板上（是釘子板每邊上的釘子數(shù)），連接任意兩個釘子所得到的不同長度值的線段種數(shù)：當時，釘子板上所連不同線段的長度值只有1與，所以不同長度值的線段只有2種，若用表示不同長度值的線段種數(shù)。則當時，釘子板上所連不同線段的長度值只有五種，比時增加了3種，即。（1）觀察圖形，填寫下表：釘子數(shù)值22+32+3+（ ）（ ）（

4、2）寫出和的兩個釘子板上，不同長度值的線段種數(shù)之間的關(guān)系；（用式子或語言表述均可）。（3）對的釘子板，寫出用表示的代數(shù)式。解答：當時，釘子板上所連不同線段的長度值只有。（這些是時已有的），（新增加的）即左下角的釘子分別和最上一行四個釘子的所連線段的長（第一層歸納）；時比時多出3個種數(shù)；時比時多出4個種數(shù);時比時多出個種數(shù);-(第二層歸納). 有了以上兩個層次的歸納概括,三個問題的解都已是水到渠成.(1)兩個括號內(nèi)應分別埴: 4; 2+3+4+5;(2) 的釘子板比的釘子板中不同長度值的線段種數(shù)增加了種;(3).歸納的實質(zhì)是從若干個特殊中發(fā)現(xiàn)共性,因此應從研究特殊和特殊之間的關(guān)聯(lián)入手,這一點,本

5、題體現(xiàn)得比較充分.類型二、借助于函數(shù)思想，得到表示變化規(guī)律的代數(shù)式例題5 一根繩子彎曲成如圖（1）所示的形狀，當用剪刀像圖（2）那樣沿虛線把繩子剪斷時，繩子被剪為5段；當用剪刀像圖（3）那樣沿虛線把繩子再剪一次時，繩子就被剪成9段。若用剪刀在虛線之間把繩子再剪次（剪刀的方向與平行），這樣一共剪次時繩子的段數(shù)是（ ）A、B、 C、 D、解答：我們先找出圖1，2，3，4中序號和繩子段數(shù)的對應情況，有（1，1），（2，5），（3，9），（4，13）。序號每增大1，段數(shù)值就增大4，應呈一次函數(shù)關(guān)系。設(shè)為，由（1，1），（2，5）得：即。本題要求的是“剪次”，實際上是序號所對應的圖，其中繩子的段數(shù)應為。

6、答：應選A。說明：對于本題應特別注意的是，圖形序號和剪的次數(shù)是不一致的，我們建立的是圖形序號與繩子線段的函數(shù)，而剪刀則是第個圖，二者不應弄混。 當然，本題也可一開始就考慮“剪的次數(shù)”與繩子段數(shù)之間的關(guān)系，那就有（0，1），（1，5），（2，9），（3，13）仍借助于待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式,最后的結(jié)果是一樣的.例題6 觀察圖，（1）至（4）中小圓圈的擺放規(guī)律，并按這樣的規(guī)律繼續(xù)擺放，記第個圖中小圓圈的個數(shù)為，則 （用含的代數(shù)式表示）。解答：題目提供的圖形的序數(shù)與小圓圈的個數(shù)滿足（1，5），（2，8），（3，11），（4，14），序數(shù)（自變量）每增大1，對應的函數(shù)值就增大3。因此，它們就應當成一

7、次函數(shù)關(guān)系。這樣，我們就可以用待定系數(shù)法求其表達式。設(shè)，由（1，5），（2，8）滿足關(guān)系，可知有：答： 說明：就本題來說，用“一般歸納”的方法也容易求得結(jié)果，而應用“待定系數(shù)法”不僅多了一種選擇方法，更在于它過程規(guī)范，結(jié)果肯定，把合情“猜想”轉(zhuǎn)變?yōu)槌绦蛐缘膱?zhí)行。提高了確定感。例題7 將圖(1)所示的正六邊形進行分割得到圖(2),再將圖(2)中最小的某一個正六邊形按同樣的方式進行分割得到圖(3),再將(3) 中最小的某一個正六邊形按同樣的方式進行分割,，則第個圖形中，其有 個六邊形。解答：圖形序號與圖形中正六邊形的個數(shù)滿足（1，1），（2，4），（3，7），每增大1，就增大3，可知是的一次函數(shù)，

8、用待定系數(shù)法（略）求得類型三、借助于直接計算，得到表示變化規(guī)律的代數(shù)式例題8（2010 貴州貴陽）如圖，在直角坐標系中，已知點的坐標為（1,0），將線段繞原點O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)45，再將其延長到，使得，得到線段；又將線段繞原點O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)45，再將其延長到，使得，得到線段，如此下去，得到線段，（1）寫出點M5的坐標；（2）求的周長；（3）我們規(guī)定：把點（0,1,2,3）的橫坐標，縱坐標都取絕對值后得到的新坐標稱之為點的“絕對坐標”根據(jù)圖中點的分布規(guī)律，請你猜想點的“絕對坐標”，并寫出來（4分） 解答：（1）M5（4，4）（2）由規(guī)律可知，,， 的周長是（3）解法一：由題意知，旋轉(zhuǎn)8次之后

9、回到軸的正半軸，在這8次旋轉(zhuǎn)中，點分別落在坐標象限的分角線上或軸或軸上，但各點“絕對坐標”的橫、縱坐標均為非負數(shù)，因此，點的“絕對坐標”可分三類情況：令旋轉(zhuǎn)次數(shù)為 當點M在x軸上時: M0（），M4（），M8（），M12（）,，即：點的“絕對坐標”為（）。 當點M在y軸上時: M2，M6，M10，M14,，即：點的“絕對坐標”為。 當點M在各象限的分角線上時：M1，M3，M5，M7,，即：的“絕對坐標”為。解法二：由題意知，旋轉(zhuǎn)8次之后回到軸的正半軸，在這8次旋轉(zhuǎn)中，點分別落在坐標象限的分角線上或軸或軸上，但各點“絕對坐標”的橫、縱坐標均為非負數(shù)，因此，各點的“絕對坐標”可分三種情況：當時（其

10、中=0，1，2，3，），點在軸上，則（）當時（其中=1，2，3，），點在軸上，點（）當=1，2，3，時，點在各象限的分角線上，則點（）例題9 如圖，已知的面積。（1）在圖（1）中，若則；（2）在圖（2）中，若，則A（3）在圖（3）中，若則；按此規(guī)律，若，則 。ABCAABCBCAA（1）（2）（3）解答：其實不用管圖（1），（2），（3），可直接計算的面積即可，實際上表示邊上的高）邊AB上的高）同理，均等于，得。例題10（2010廣東中山）閱讀下列材料：，由以上三個等式相加，可得讀完以上材料，請你計算下列各題：（1）（寫出過程）；（2）= ；（3）= 解答：（1）=+=440（2）（3）=+=

11、1260【技巧提煉】規(guī)律探索性問題的特點是問題的結(jié)論或條件不直接給出,需要通過觀察、分析、綜合、歸納、概括、推理、判斷等一系列探索活動逐步確定需求的結(jié)論和條件, 解答這類問題的關(guān)鍵是認真審題,掌握規(guī)律,合理推測,認真驗證,從而得出問題的正確結(jié)論.研究解決這類題目所用到的主要數(shù)學思想和思考方法：1、以歸納概括為指導的思考方法；這類問題思考特點是：第一，系統(tǒng)考察所提供的一系列特殊，從每個特殊與其位次的對應關(guān)系上找共同的規(guī)律，第二，特別注意研究相鄰兩項之間的相關(guān)性。2、以函數(shù)思想為指導的方法；這類問題的思考特點是：第一，先根據(jù)背景與問題的特點，選定標準并按其分類；第二，將問題按所屬類別做出解答。3、

12、以直接計算為指導的方法。這類問題的思考特點：找到由前一項（或前幾項）表示該項的規(guī)律。這樣，只要知道第一項（或前幾項），就可以逐個地將隨后的項推出?！倔w驗中考】1（2010山東日照）古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，例如： 他們研究過圖1中的1，3，6，10，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1，4，9，16，這樣的數(shù)為正方形數(shù)下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是（ ）（A）15 （B）25 （C）55 （D）12252世界上著名的萊布尼茨三角形如圖所示：則排在第10行從左邊數(shù)第3個位置上的數(shù)是（ ）A、 B、 C、 D、仔細分析與研究后可以發(fā)現(xiàn)：（1

13、）每一行左數(shù)從第一個數(shù)為該行的倒數(shù)；（2）每行中間及偏左的數(shù)，都等于它左上角的數(shù)減去它左邊的數(shù)，如第3行中，如第7行中，依（1）和（2）可知：第9行左數(shù)第2個數(shù)為；第10行左數(shù)第2 個數(shù)為，第10行左數(shù)第3個數(shù)應為3（2010安徽中考）下面兩個多位數(shù)1248624、6248624，都是按照如下方法得到的：將第一位數(shù)字乘以2，若積為一位數(shù)，將其寫在第2位上，若積為兩位數(shù)，則將其個位數(shù)字寫在第2位。對第2位數(shù)字再進行如上操作得到第3位數(shù)字，后面的每一位數(shù)字都是由前一位數(shù)字進行如上操作得到的。當?shù)?位數(shù)字是3時，仍按如上操作得到一個多位數(shù)，則這個多位數(shù)前100位的所有數(shù)字之和是（ ）（A）495 B

14、）497 C）501 D）5034（2010廣東茂名）用棋子擺出下列一組“口”字，按照這種方法擺下去，則擺第n個“口”字需用棋子第2個“口”第1個“口”第3個“口”第n個“口”？A4n枚 B(4n-4)枚 C(4n+4)枚 D n2枚5（2010廣東深圳）觀察下列算式，用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律得出的末位數(shù)字是（ ）21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，A2 B4 C6 D86（2010江蘇淮安）觀察下列各式：計算：3×(1×2+2×3+3×4+99×100)= A97×98×9

15、9 B98×99×100 C99×100×101 D100×101×102CAFDEBG7（2010 山東濟南） 如圖所示，兩個全等菱形的邊長為1厘米，一只螞蟻由點開始按的順序沿菱形的邊循環(huán)運動，行走2010厘米后停下，則這只螞蟻停在 點8. 觀察下列等式：，通過觀察，用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定的個位數(shù)字是 。9（2010 江蘇連云港）如圖，ABC的面積為1，分別取AC、BC兩邊的中點A1、B1，則四邊形A1ABB1的面積為，再分別取A1C、B1C的中點A2、B2，A2C、B2C的中點A3、B3，依次取下去利用這一圖形，能直觀地計算出_ A

16、DBADCFEBADA1A2A3B1B2B310. 如圖,是用火柴棒擺出的一系列三角形圖案,按這種方式擺下去,當每邊上擺10根火柴棒時,共需要擺 根火柴棒.11（2010 四川成都）已知是正整數(shù)，是反比例函數(shù)圖象上的一列點，其中記，若（是非零常數(shù)），則A1·A2··An的值是_（用含和的代數(shù)式表示）12 如圖，是用火棍擺成邊長分別是1，2，3根火柴棍時的正方形，當邊長為根火柴棍時，若擺出的正方形所用的火柴棍的根數(shù)為，則= 。（用含的代數(shù)式表示，為正整數(shù)）。13 將正六邊形紙片按下列要求分割（每次分割，紙片均不得有剩余）：第一次分割：將正六邊形紙片分割成三個全等的菱

17、形，然后選取其中一個菱形再分割成一個正六邊形和兩個全等的正三角形；第二次分割：將第一次分割后所得的正六邊形紙片分割成三個全等的菱形；然后選取其中一個菱形再分割成一個正六邊形和兩個全等的正三角形。按上述分割方法進行下去（1）請你在圖中畫出第一次分割的示意圖；（2）若原正六邊形的面積為，請你通過操作和觀察，將第1次，第2次，第3次分割后所得的正六邊形的面積填入下表： (3)觀察所填表格,并結(jié)合操作,請你猜想:分割后所得的正六邊形的面積與分割次數(shù)有何關(guān)系?( 用含和的代數(shù)式表示,不需要寫出推理過程).14. 如圖，已知，則點和點的坐4-3-2-42標分別為 ； 。15. 下面是某種細胞分裂示意圖，

18、這種細胞每過30分鐘便由1個分裂成2個，根據(jù)此項規(guī)律可得：（1）這樣的一個細胞經(jīng)過第四個30分鐘后分裂成 個細胞；（2）這樣的一個細胞經(jīng)過3個小時后可分裂成 個細胞；（3）這樣的一個細胞經(jīng)過（為正整數(shù)）小時后要分裂成 個細胞；16. 數(shù)字解密：第一個數(shù)是，第二個數(shù)是，第三個 是，第四個數(shù)是,按此規(guī)律觀察并猜想第六個數(shù)是 。17（2010浙江嘉興）如圖，已知O的半徑為1，PQ是O的直徑，n個相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都關(guān)于PQ對稱，其中第一個的頂點與點P重合，第二個的頂點是與PQ的交點，最后一個的頂點、在圓上（1）如圖1，當時，求正三角形的邊長；（2）如圖2，當時，求正三角形的邊

19、長； 全品中考網(wǎng)（3）如題圖，求正三角形的邊長（用含n的代數(shù)式表示）18（2010 廣東汕頭）閱讀下列材料：1×2 (1×2×30×1×2)，2×3 (2×3×41×2×3)，3×4 (3×4×52×3×4)，由以上三個等式相加，可得1×22×33×4 ×3×4×5 20讀完以上材料，請你計算下列各題：(1) 1×22×33×4··

20、83;10×11（寫出過程）；(2) 1×22×33×4···n×(n1) _；(3) 1×2×32×3×43×4×5···7×8×9 _19（2010浙江寧波）十八世紀瑞士數(shù)學家歐拉證明了簡單多面體中頂點數(shù)(V)、面數(shù)(F)、棱數(shù)(E)之間存在的一個有趣的關(guān)系式，被稱為歐拉公式. 請你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題：四面體 長方體 正八面體 正十二面體 多面體頂點數(shù)(V)面數(shù)(F)棱數(shù)(E)四面

21、體44長方體8612正八面體812正十二面體201230(1) 根據(jù)上面多面體模型，完成表格中的空格：你發(fā)現(xiàn)頂點數(shù)(V)、面數(shù)(F)、棱數(shù)(E)之間存在的關(guān)系式是 ；(2)一個多面體的面數(shù)比頂點數(shù)大8，且有30條棱，則這個多面體的面數(shù)是 ； (3)某個玻璃飾品的外形是簡單多面體，它的外表面是由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成，且有24個頂點，每個頂點處都有3條棱. 設(shè)該多面體外表面三角形的個數(shù)為x個，八邊形的個數(shù)為y個，求x+y的值.參考答案1【答案】D 2【答案】B 仔細分析與研究后可以發(fā)現(xiàn)：（1）每一行左數(shù)從第一個數(shù)為該行的倒數(shù)；（2）每行中間及偏左的數(shù)，都等于它左上角的數(shù)減去它左邊的數(shù)，

22、如第3行中，如第7行中，依（1）和（2）可知：第9行左數(shù)第2個數(shù)為；第10行左數(shù)第2 個數(shù)為，第10行左數(shù)第3個數(shù)應為3【答案】A4【答案】A 5【答案】B 6【答案】C 7【答案】C 8. 【答案】將題目提供的一列數(shù)字按“個位數(shù)”的情況重新分類：個位數(shù)字2的乘方2歸納概括為（為自然數(shù)，下同）4歸納概括為6歸納概括為8歸納概括為而，個位數(shù)字應為6。 個位數(shù)應為6。9【答案】10. 【答案】本題可以歸結(jié)為在相應圖形中求有多少個涂色的小三角形(所用火柴棒數(shù)就等于這樣的三角形數(shù)再乘以3).為了找到規(guī)律,可以將每邊4根火柴棒的情況也畫出:所以 應填165 .11【答案】12【答案】這只要直接計算第個圖

23、形（如上圖所示）有多少火柴棒即可，豎著擺放的火柴棍有列，有行，共有根，而橫著擺放的和豎著擺放的一樣多。因此13【答案】顯然,這是一個探究遞推關(guān)系的題目,首先應當完成第一次分割操作:如圖(1);其次,由操作和觀察容易知道,設(shè)原正六邊形的面積,則圖(1)中小正六邊形(陰影所示)的面積等于所在菱形面積的,從而等于整個大正六邊形面積的,即有關(guān)系.完全相同的道理,由此，問題（2）、（3）得解。（1）見圖（2）依次應填，；（3）（實際上是）。14. 【答案】要求點的坐標，一般分兩步考慮：第一步先確定該點在哪一個象限；第二步確定該點到兩坐標軸的距離，對本題我們也可以從這兩步來研究。第一步，可以看出除了點外，其他各點均在象限內(nèi)。按象限分類：所在象限點一歸納概括為（為自然數(shù)）二歸納概括為三歸納概括為四歸納概括為由，可知在第二象限，在第三象限。第二步，從題目提供的坐標系里的圖示看出：（1）第一、二、三、象限內(nèi)各點橫、縱坐標的絕對值是相等的；（2）就坐標的絕對值來說，又是這樣對應的：點歸納概括為坐標的絕對值123由知其坐標的絕對值應為；由，知其坐標的絕對值應為；將第一步和第二步結(jié)合，可得和的坐標。的坐標為，的 坐標為。