雙曲拋物面薄殼屋蓋的制作造型設(shè)計課件資料

1、數(shù)學(xué)模型與實驗課程論文姓 名論文題目雙曲拋物面薄殼屋蓋的制作、造型設(shè)計學(xué) 號學(xué)院、專業(yè)數(shù)計學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)最便捷聯(lián)系電話Email Q Q論文分數(shù)教師填寫:雙曲拋物面薄殼屋蓋的制作、造型設(shè)計摘要隨著社會經(jīng)濟的高速發(fā)展人們的生活水平不斷地提高，人們的住房也是越來越好，住房的薄殼屋蓋的制作、造型設(shè)計在隨著科技的發(fā)展而在不斷地改進，由原來的磚瓦改變?yōu)殡p曲拋物面，鋼筋混凝土雙曲拋物面(馬鞍面)薄殼作為屋蓋, 具有利于排水、防止?jié)B漏、減輕自重、節(jié)約材料、受力性能較好、剛度較大、造型優(yōu)美等優(yōu)點，在廠房、商場、影劇院等民用建筑廣泛應(yīng)用，本文就是研究雙曲拋物面薄殼屋蓋的特點，通過模型假設(shè)預(yù)應(yīng)力鋼筋理想化為

2、一維的直線. 利用雙曲拋物面是直紋面的特點來了解雙曲拋物面薄殼屋蓋的各個特點以及假設(shè)圓柱形預(yù)應(yīng)力鋼筋的模型來了解雙曲拋物面薄殼屋蓋的特點，從而研究雙曲拋物面薄殼屋蓋進一步來了解雙曲拋物面得的一些特點，從而擴充我 們的幾何知識。通過上述模型來展示其是一種實用、美觀的屋蓋造型。關(guān)鍵詞：雙曲拋物面 直母線 錨固面 預(yù)應(yīng)力鋼筋1 問題的背景在人們?nèi)粘Ｉ钪凶》繂栴}是一個比較重要的問題，如何使得我們的住房比較舒服，在隨著社會的發(fā)展也是越來越重要，現(xiàn)在許多的人們都在追求使得自己的生活過的舒服，住房美觀實用，在過去的瓦房到現(xiàn)在的平房的改變，屋蓋的制作、造型設(shè)計也在不斷地創(chuàng)新。如何使得我們的屋蓋即能實用、又能

3、美觀的屋蓋造型。2 問題的重述現(xiàn)在大多數(shù)屋蓋都采用鋼筋混凝土雙曲拋物面(馬鞍面)薄殼作為屋蓋, 具有利于排水、防止?jié)B漏、減輕自重、節(jié)約材料、受力性能較好、剛度較大、造型優(yōu)美等優(yōu)點, 可以用于廠房、商場、影劇院等民用建筑. 其數(shù)學(xué)表示由下面兩個曲面 和 以及平面 圍成的空間區(qū)域構(gòu)成. 其中的參數(shù), 例如, 可以是 把直徑為6 mm(或5mm)預(yù)應(yīng)力鋼筋沿中斷面的拋物線 的臨近處從原點(0,0,0)往左右兩邊沿馬鞍面的兩族直母線配筋, 然后再澆注混凝土或樹脂1. 就上述單個的雙曲拋物面薄殼屋蓋的配筋問題，用數(shù)學(xué)建模的方法 解決以下問題：【1】（1）：把預(yù)應(yīng)力鋼筋理想化為一維的直線. 利用雙曲拋物面

4、是直紋面的特點, 把預(yù)應(yīng)力鋼筋安置在兩族直母線處, 即在跨中端面處拋物線 上的點處安放兩族直母線鋼筋. 并固定(錨固)在過原點的直母線與平面 ( )相交的點處與該直母線垂直的錨固面上. 通過模型的求解來求解以下幾個問題: a. 能安排多少根過點 的直母線鋼筋. 寫出這些空間直線的方程, 并 圖示之. b. 寫出錨固面的方程, 并寫出直母線和錨固面的交點的表示式.c. 求出直母線之間的交點的表示式.d. 求出直母線和錨固面的法線之間的夾角, 以便在錨固面上適當打孔以固定直母線鋼筋. e. 根據(jù)前面的數(shù)據(jù)以及 , 具體計算a d.f. 編制一個可以包括不等距安置直母線鋼筋的通用程序(軟件). （2

5、）；如果圓柱形預(yù)應(yīng)力鋼筋不能簡化為直線，請通過模型的求解來求解以下幾個問題：, a. 圓柱形預(yù)應(yīng)力鋼筋的中心軸線應(yīng)該安置在 臨近的哪些點處. 寫出這些 中心軸線的方程, 并圖示之. b. 寫出這些中心軸線和錨固面的交點的表示式.c. 要求這些圓柱形預(yù)應(yīng)力鋼筋不能相交. 它們的中心軸線在x-y平面上的垂直投是可以相交的, 寫出交點的表示式. 計算沿這些交點垂直方向的兩根圓柱形預(yù)應(yīng)力鋼筋之間的距離, 要盡可能小(最好為零). d. 編制一個通用的程序(軟件).3 模型的假設(shè)（1）：假設(shè)能把預(yù)應(yīng)力鋼筋理想化為一維的直線。（2）:假設(shè)每個屋蓋都是雙曲拋物面薄殼。（3）:假設(shè)問題所給數(shù)計都是相當精確的。

6、（4）：圓柱形預(yù)應(yīng)力鋼筋都是沒有彎曲的。（5）：假設(shè)圓柱形預(yù)應(yīng)力鋼筋不會產(chǎn)生形變。4模型符號說明 ， ， ，為平面的法向量，為直線的方向向量，參數(shù)預(yù)應(yīng)力鋼筋半徑A，B代換量為已知參量，為未知數(shù)為未知參量5 模型的分析和求解通過假設(shè)把預(yù)應(yīng)力鋼筋理想化為一維的直線，則幾何知識可知單個的雙曲拋物面薄殼屋蓋的配筋問題。a. 能安排多少根過點的直母線鋼筋. 寫出這些空間直線的方程。由題目中所給的 我們對雙曲拋物面薄殼屋蓋進行簡化，暫時忽略其厚度，就是對其的正中間的截面進行分析。設(shè)： 為計算簡便我們令 ，將其為為標準型來研究， 得： 由于預(yù)應(yīng)力鋼筋安置在兩族直母線處，所以我們需求出雙曲拋物面的兩族直母線的

7、表達式。 令 令 得： 得： 在空間中我們無法得出問題的答案，所以我們需要將兩族的直母線投影到平面上，于是我們需要驗證同族直母線的投影是互相平行的，從兩族的直母線的表達式中我們不難發(fā)現(xiàn)兩族的直母線是由兩個面相交得到的，則直母線的方向向量就由這兩個平面的法相量的向量積得到。1求U族直母線的方向向量: ， 其法相量為 ，其法相量為 U族直母線的方向向量：2求V族直母線的方向向量： ， 其法相量為： ， 其法相量為： V族直母線的方向向量： 由所求的兩族直母線的方向向量可知在平面上，同族的直母線的投影是互相平行的。我們選取其中的一族作為研究的對象，在這里我們選取U族進行研究。在平面上的投影直母線的方

8、向向量為： 則在平面上的投影的斜率為： 由斜率我們可以為建立方程投影的方程為: 圖（1） 圖（2）由圖（1）可知并非同一族的直母線都可以安置預(yù)應(yīng)力鋼筋的。只有能在兩端固定的直母線才可以，又由圖（2）可知過矩形頂點的直母線的投影的方程所過的點為（a,b）。求出該邊上的直線后，求出其在x軸上的截距，用該截距除以之間的間距，便可算出原點一邊的所用的預(yù)應(yīng)力鋼筋的數(shù)目，而將一邊的鋼筋數(shù)目乘2加1，便是一個族所具有的預(yù)應(yīng)力鋼筋的數(shù)目，由圖形的對稱性可知，所有的鋼筋數(shù)目為一個族的兩倍。取點（a,b）得： 則直線方程為： 當時，在軸上的截距為： 已知每一條母線之間的間隔為： 則一共可安放過點的直母線鋼筋數(shù)為：

9、 由于兩族直母線過空間點 （，m已知），便將點帶入兩族直母線的表達式中，可求的u,v，于是便得到了這些安放的直母線鋼筋的方程。 將點帶入 和 中，得： ，則： U族中安放的直母線鋼筋的方程為： V族中安放的直母線鋼筋的方程： b. 寫出錨固面的方程, 并寫出直母線和錨固面的交點的表示式. 已知錨固面是與過原點的直母線互相垂直的，由此我們可知錨固面的法相量便是該直母線的方向向量。又知該直母線與平面相交，而該交點也在錨固面上，這樣就不難求出錨固面的方程。 過原點的直母線方程： 直母線與平面的交點為： 根據(jù)錨固面的法向量為過U族的直母線的方向向量設(shè)錨固面的方程為： 當時，得： 則錨固面的方程： 為求

10、直母線與錨固面的交點，只需將直母線的方程與錨固面的方程聯(lián)立即可。U族直母線與錨固面的交點的表達式： V族直母線與錨固面的交點的表達式： c. 求出直母線之間的交點的表示式. 我們知道同族的直母線之間是不可能相交的，只可能是異族的直母線才可能有交點。為求直母線之間的交點，可先求出其在平面上的投影方程之間的交點坐標，又因為直母線之間的交點滿足雙曲拋物面的方程，便可將之前求出的x,y帶入雙曲拋物面的方程中，這樣就可以求出直母線之間的交點。我們可以設(shè)U族直母線投影的方程為： 由于投影方程過點，帶入上述方程中得： 得方程： 同理設(shè)V族直母線投影的方程為： 由于投影方程過點，帶入上述方程中得： 得方程：

11、兩方程聯(lián)立得 以知，將上述求的的x,y帶入，則交點坐標為： d. 求出直母線和錨固面的法線之間的夾角, 以便在錨固面上適當打孔以固定直母線鋼筋. 要求直母線和錨固面的法線之間的夾角，我們已知的是錨固面的法相量，還知道各族的直母線的方向向量，根據(jù)解析幾何中求兩直線的夾角的公式，就不難求出直母線和錨固面的法線之間的夾角。 已知錨固面的法向量為 1U族直母線的方向向量為，根據(jù)公式得： 2V族直母線的方向向量為，根據(jù)公式得： e.當時，其a,b,c,d的結(jié)果是：a: 鋼筋條數(shù)：b: 交點為：和交點為：和C: d:f:給出一些簡單的計算程序：求U族直母線的方向向量: ， 其法相量為 ，其法相量為 U族直

12、母線的方向向量：2求V族直母線的方向向量： ， 其法相量為： ， 其法相量為： V族直母線的方向向量： 由所求的兩族直母線的方向向量可知在平面上，同族的直母線的投影是互相平行的。我們選取其中的一族作為研究的對象，在這里我們選取U族進行研究。在平面上的投影直母線的方向向量為： 則在平面上的投影的斜率為： 由斜率我們可以為建立方程投影的方程為: 圖（1） 圖（2）由圖（1）可知并非同一族的直母線都可以安置預(yù)應(yīng)力鋼筋的。只有能在兩端固定的直母線才可以，又由圖（2）可知過矩形頂點的直母線的投影的方程所過的點為（a,b）。求出該邊上的直線后，求出其在x軸上的截距，用該截距除以之間的間距，便可算出原點一邊

13、的所用的預(yù)應(yīng)力鋼筋的數(shù)目，而將一邊的鋼筋數(shù)目乘2加1，便是一個族所具有的預(yù)應(yīng)力鋼筋的數(shù)目，由圖形的對稱性可知，所有的鋼筋數(shù)目為一個族的兩倍。取點（a,b）得： 則直線方程為： 當時，在軸上的截距為： 已知每一條母線之間的間隔為： 則一共可安放過點的直母線鋼筋數(shù)為： 1.2 當圓柱形預(yù)應(yīng)力鋼筋不能簡化為直線。a. 圓柱形預(yù)應(yīng)力鋼筋的中心軸線應(yīng)該安置在臨近的哪些點處. 寫出這些中心軸線的方程。 假設(shè)圓柱形預(yù)應(yīng)力是直線的話，則中心軸線經(jīng)過,則其坐標為 由于預(yù)應(yīng)力鋼筋的半徑無法忽略，所以其中心軸便相當于經(jīng)過平移后形成一條新的拋物線上的點，平移后其方向向量沒有改變。假設(shè)平移后的坐標為，原有坐標與現(xiàn)有坐標

14、的關(guān)系為： 設(shè)平移后U族，V族的直母線經(jīng)過的坐標為： 兩個族的方向向量：U族的方向向量： V族的方向向量： 因為中心軸方程經(jīng)過點，根據(jù)直線的標準方程可知：U族的中心軸方程為： V族的中心軸方程為： b. 寫出這些中心軸線和錨固面的交點的表示式. 要求出中心軸線和錨固面的交點只需要將兩個方程聯(lián)立即可。U族中心軸與錨固面的交點的表示式： V族中心軸與錨固面的交點的表示式： c. 要求這些圓柱形預(yù)應(yīng)力鋼筋不能相交。它們的中心軸線在x-y平面上的垂直投影是可以相交的,計算沿這些交點垂直方向的兩根圓柱形預(yù)應(yīng)力鋼筋之間的距離,要盡可能小(最好為零)。 要求兩根圓柱形預(yù)應(yīng)力鋼筋之間的距離，便是要求空間中兩根

15、直線之間的距離，根據(jù)解析幾何中計算兩直線的距離的公式，我們可以求出兩根圓形預(yù)應(yīng)力鋼筋之間的距離，但是還要減去兩圓柱形預(yù)應(yīng)力鋼筋的半徑。 設(shè)U族經(jīng)過的點為：，V族經(jīng)過的點為 U族方向向量，V族方向向量 根據(jù)公式得： 兩個半圓柱形預(yù)應(yīng)力鋼筋之間的距離為： 6 模型評價模型的優(yōu)點：（1）：模型通過一些合理的假設(shè)將模型簡化，使得模型更加的簡單，易解決問題。（2）：模型更加全面介紹雙曲拋物面和直母線的一些特性而且使得模型更模型給出了一些數(shù)計，讓讀者能過更加清楚的了解一些有關(guān)雙曲拋物面性質(zhì)。（3）:模型給出了一些簡單的程序使得以后碰到相同的問題能夠大概算出結(jié)果。模型的缺點：（1）：計算存在一些誤差，使得結(jié)果不夠精確。（2）：模型只能解決一些簡單的問題；不能解決一些俄復(fù)雜的問題。（3）:模型只能