圓錐曲線定義解題

1、巧用圓錐曲線定義法解題摘 要：圓錐曲線是解析幾何中的重點(diǎn)，也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的重點(diǎn)章節(jié)之一，在教學(xué)過程和高考試卷中都占有很大的比例。在歷年高考的命題中都是熱點(diǎn)和重點(diǎn)之一。圓錐曲線的定義在初高中數(shù)學(xué)乃至高等數(shù)學(xué)中，都有廣泛的應(yīng)用。本論文首先對(duì)圓錐曲線的定義進(jìn)行歸納總結(jié)概述，運(yùn)用類比和大量的舉例對(duì)圓錐曲線概念作了說明；其次給出了利用圓錐曲線定義巧解題的一些方法以及解題過程，然后對(duì)利用圓錐曲線定義巧解題中所涉及到的數(shù)學(xué)思想作了歸納和總結(jié)；最后通過調(diào)查分析了解了學(xué)生在學(xué)習(xí)利用圓錐曲線定義解題中常出錯(cuò)的地方，并給出了應(yīng)對(duì)方法。關(guān)鍵詞： 圓錐曲線 定義 解題方法 一、圓錐曲線的定義 圓錐曲線包括三類曲

2、線，分別為橢圓，雙曲線，拋物線。 對(duì)于圓錐曲線，國(guó)際上總體上有兩大類的定義，第一種定義明確的標(biāo)出了圓錐曲線的三類曲線的特性，第二種定義則概括出了各圓錐曲線的本質(zhì)上的聯(lián)系。在數(shù)學(xué)中，定義是展現(xiàn)數(shù)學(xué)概念之間區(qū)別的強(qiáng)有力的工具，定義反映了數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性和特征，對(duì)與數(shù)學(xué)定義的深刻理解，能夠?yàn)樘岣呓忸}能力打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。在圓錐曲線中，有相當(dāng)多的問題是可以化歸到運(yùn)用定義從而得以簡(jiǎn)捷求解。1.1圓錐曲線的第一定義高中數(shù)學(xué)教材中對(duì)與圓錐曲線給出了兩種定義，第一定義展示了三類曲線各自獨(dú)特性質(zhì)和幾何特征，分別為： 橢圓：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)距離的和等于定值的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫

3、做焦距。 雙曲線：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)距離的差的絕對(duì)值是定值的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做焦距。 拋物線：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線。 幾何解析中，用垂直于圓錐錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓;把平面稍稍的傾斜，得到橢圓；當(dāng)平面傾斜到和圓錐的一條母線平行時(shí)，得到拋物線；當(dāng)平面再傾斜一些就可以得到雙曲線。1.2圓錐曲線的第二定義圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）統(tǒng)一定義：平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M與一個(gè)定點(diǎn)F的距離與一條定直線l（點(diǎn)F不在直線l上）的距離比等于一個(gè)常數(shù)e。當(dāng)0e1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是橢圓；當(dāng)e=1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是拋物線；當(dāng)e1時(shí)，動(dòng)

4、點(diǎn)M的軌跡是雙曲線。圓錐曲線的第二定義，是圓錐曲線定義概念的重要組成部分，揭示了圓錐曲線之間的內(nèi)在聯(lián)系。學(xué)習(xí)好圓錐曲線的定義，不僅是研究圓錐曲線圖像與性質(zhì)的基礎(chǔ)，而且在許多高中數(shù)學(xué)問題的解題過程中。具有不可磨滅的特殊作用。第二定義（又叫做統(tǒng)一定義）深刻揭露了三類曲線的內(nèi)在聯(lián)系，使焦點(diǎn)，離心率，和準(zhǔn)線等構(gòu)成一個(gè)統(tǒng)一的整體，它揭示了圓錐曲線定義的本質(zhì)屬性。二、圓錐曲線定義的作用2.1導(dǎo)向作用:充分理解圓錐曲線的定義，對(duì)于很多高中數(shù)學(xué)以至于以后的高等數(shù)學(xué)，關(guān)于圓錐曲線的問題的解題過程上都有很大的導(dǎo)向作用，可以有助于拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思維，啟迪解題思路。2.2簡(jiǎn)化作用:幾何學(xué)學(xué)習(xí)中巧用圓錐曲線的定義，

5、能夠化簡(jiǎn)復(fù)雜的變形與討論，從而使問題變得簡(jiǎn)潔，也有利于學(xué)生在考場(chǎng)上輕松解決與關(guān)于圓錐曲線考點(diǎn)的相關(guān)習(xí)題。2.3轉(zhuǎn)化作用:結(jié)合曲線圓錐的第一和第二定義，分析具體題目的獨(dú)特的結(jié)構(gòu)特征，有助于發(fā)掘隱含在考題當(dāng)中的條件，從而使得題目化隱為顯，有效解決高考中的圓錐曲線問題。2.4聯(lián)絡(luò)問題:對(duì)于一些需要多種屬性思維和解題方法技巧的題目，圓錐曲線定義可以再其中起到橋梁紐帶作用，使得解題思路更連貫暢通。三、圓錐曲線的方程和圓錐曲線的基本性質(zhì)3.1圓錐曲線的方程3.1.1橢圓 參數(shù)方程：(為參數(shù)) 直角坐標(biāo)（中心為原點(diǎn)）：3.1.2拋物線 參數(shù)方程：（t為參數(shù)） 直角坐標(biāo)：（開口方向?yàn)閥軸，） 3.1.3雙曲線

6、 參數(shù)方程：(為參數(shù)) 直角坐標(biāo)（中心為原點(diǎn)）：（開口方向?yàn)閤軸） 在近幾年高考對(duì)于考察圓錐曲線的考題中，大多數(shù)都是題目繁瑣，且解答過程也很繁雜，但如果能透徹的理解圓錐曲線的定義，并利用定義熟練解題，就會(huì)使問題化繁為簡(jiǎn)，3.2橢圓、雙曲線和拋物線基本性質(zhì)曲線性質(zhì)橢 圓雙曲線拋物線軌跡條件MMF1+MF2=2a,F1F22aMMF1-MF2.=±2a,F2F22a.M MF=點(diǎn)M到直線l的距離. 形 狀標(biāo)準(zhǔn)方程+=1(ab0)-=1(a0,b0)y2=2px(p0)頂 點(diǎn)A1(-a,0),A2(a,0);B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)O(0,0)軸對(duì)稱

7、軸x=0,y=0長(zhǎng)軸長(zhǎng)：2a短軸長(zhǎng)：2b對(duì)稱軸x=0,y=0實(shí)軸長(zhǎng)：2a 虛軸長(zhǎng)：2b對(duì)稱軸y=0焦 點(diǎn)F1(-c,0),F2(c,0)焦點(diǎn)在長(zhǎng)軸上F1(-c,0),F2(c,0)焦點(diǎn)在實(shí)軸上F(，0)焦點(diǎn)對(duì)稱軸上焦 距F1F2=2c，c=F1F2=2c,c=準(zhǔn) 線x=±準(zhǔn)線垂直于長(zhǎng)軸，且在橢圓外.x=±準(zhǔn)線垂直于實(shí)軸，且在兩頂點(diǎn)的內(nèi)側(cè).x=-準(zhǔn)線與焦點(diǎn)位于頂點(diǎn)兩側(cè)，且到頂點(diǎn)的距離相等.離心率e=,0e1e=,e1e=1四、巧用圓錐曲線定義解最值問題4.1.橢圓第一定義在最值問題中的巧用 橢圓第一定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)、的距離之和等于常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓，即。例1：橢圓上一

8、點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之積為，求的最大值，并求出當(dāng)取得最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)。 分析：此題求點(diǎn)到兩焦點(diǎn)之積，由不等式性質(zhì)和橢圓第一定義，可轉(zhuǎn)化為兩距離之和來求解。解：設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、, ,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)點(diǎn)為短軸的端點(diǎn)。所以的坐標(biāo)為（0，4）或（0，-4）時(shí)，能夠取最大值，最大值為36。考題中考察的是圓錐曲線的最值問題，而且題目中有涉及到圓錐曲線的焦點(diǎn)，我們此時(shí)可快速想到這種問題可以運(yùn)用圓錐曲線的定義來解。此題考察的是動(dòng)點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之積，從而能夠很快速的想到該題能夠涉及圓錐曲線的第一定義：動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和等于定值2a。再結(jié)合曾經(jīng)學(xué)過的不等式性質(zhì)，能夠很容易的把題目的考點(diǎn)轉(zhuǎn)化為曾經(jīng)學(xué)過的

9、知識(shí)，從而使得問題得到輕松的解決。例2、如圖，橢圓C的方程為，A是橢圓C的短軸左頂點(diǎn)，過A點(diǎn)作斜率為1的直線交橢圓于B點(diǎn)，點(diǎn)P（1，0）, 且BPy軸，APB的面積為 ，求橢圓C的方程；ABPxyO分析：看似題目考查的是函數(shù)問題 ，按照經(jīng)驗(yàn)似乎應(yīng)該做函數(shù)求峰值。但如果這樣一來，問題會(huì)變的很復(fù)雜。但是我們可以巧用橢圓的第一定義，解答就相比較變得簡(jiǎn)潔許多。解：（1） 又PAB45°，APPB，故APBP3. P（1,0），A（2,0），B（1,3）b=2，將B點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓得： 得 ，所求橢圓方程為如果題目問的是圓錐曲線的最值問題時(shí), 如果由題目所給的條件, 考慮用圓錐曲線的定義來求解,

10、 就能起到化繁為簡(jiǎn)的效果。在解題中，要注意題目的已知條件，對(duì)問題中所給的條件反復(fù)推敲，舉一反三。假以時(shí)日，以后遇到相同或者相近的習(xí)題時(shí)，就都可以此類推，下面列出一題，因解法類似，在此就不做解答了。題：已知兩點(diǎn)M(-2, 0)，N(2, 0)，動(dòng)點(diǎn)P(x, y)在y軸上的射影為H，是2和的等比中項(xiàng).（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（2）若以點(diǎn)M、N為焦點(diǎn)的雙曲線C過直線x+y=1上的點(diǎn)Q，求實(shí)軸最長(zhǎng)的雙曲線C的方程.4.2.雙曲線的第一定義在最值問題中的巧用雙曲線第一定義：平面內(nèi)點(diǎn)與一定點(diǎn)的距離和它到一定直線的距離的比是常數(shù)，這個(gè)點(diǎn)的軌跡是雙曲線。定點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)是雙曲線

11、的離心率。例3：如圖2，M是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線右支上任一點(diǎn)，若點(diǎn)M到點(diǎn)C（3，1）與點(diǎn)B的距離之和為S，則S的取值范圍是（ ）A、 B、C、 D、解：連結(jié)MA，由雙曲線的第一定義可得： 當(dāng)且僅當(dāng)A、M、C三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值。此題充分凸顯的用圓錐曲線定義解題的便捷性。我們現(xiàn)將該題延伸（1）若M點(diǎn)在左支上，則點(diǎn)M到點(diǎn)C（3，1）與點(diǎn)B的距離之和為S，則S的取值范圍是多少？（2）如果M是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓上任一點(diǎn)，若點(diǎn)M到點(diǎn)與點(diǎn)B的距離之差為S，則S的最大值是多少？（3）如果M是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓上任一點(diǎn)，若點(diǎn)M到點(diǎn)與點(diǎn)B的距離之和為S，則S的取值范圍是多少？分析：連結(jié)MA，由橢圓的第一定

12、義可得：，當(dāng)且僅當(dāng)A、M、C三點(diǎn)共線時(shí)取得最大、最小值，如圖所示。對(duì)于拋物線，也有類似的結(jié)論，由于較簡(jiǎn)單，在此就不一一列舉了。例4：已知雙曲線內(nèi)有一點(diǎn),、分別為雙曲線左右焦點(diǎn)，是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值。 分析：題目問的是的最值問題，若從函數(shù)問題著手求最值則顯得太過繁瑣，我們可以從圓錐曲線定義入手。利用曲線第一定義，把轉(zhuǎn)化為,而為平面內(nèi)三點(diǎn)距離之和，當(dāng),點(diǎn)共線時(shí)有最小值。 解:如圖，由題意得、，有雙曲線的第一定義得 所以，當(dāng)p點(diǎn)在如圖2位置時(shí)有最小值，當(dāng)點(diǎn)在如圖位置時(shí)有最小值，即 ,所以的最小值為。 4.3.拋物線的第一定義在最值中的巧用拋物線的定義，必須滿足的條件是定點(diǎn)需在直線外。如果

13、定點(diǎn)跑到直線上，則平面內(nèi)與這個(gè)定點(diǎn)和定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡是過這個(gè)定點(diǎn)與定直線垂直的直線。在拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中,的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。1、用定義解決的第一類問題：求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程。若已知焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，頂點(diǎn)，以及拋物線上一點(diǎn)的坐標(biāo)這四個(gè)條件中的任意兩個(gè)，就可以畫出草圖求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。2、用定義解決的第二類問題：已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。 又如，下面的問題涉及到充分把握定義中p的幾何意義。例5：求拋物線x2=2ay(a0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。方程中的字母a有兩種情況：（1）a>0時(shí)，拋物線開口向上，2p=2a,p=a,p/2=a/2,焦點(diǎn)（0,a/2）在y軸正

14、半軸上,準(zhǔn)線方程：x=-a/2.（2）a<0時(shí)，拋物線開口向下，x2=-(-2a)y,2p=-2a,p=-a,p/2=-a/2,焦點(diǎn)（0,a/2）在y軸負(fù)半軸上,準(zhǔn)線方程：x=-a/2.這樣討論之后才發(fā)現(xiàn)，無論a (a0)取何值，焦點(diǎn)坐標(biāo)（0,a/2）,準(zhǔn)線方程：x=-a/2.4.4利用拋物線定義解決的第三類問題：焦半徑和焦點(diǎn)弦。 拋物線上任意一點(diǎn)，焦點(diǎn)為F ，線段MF叫做焦半徑。如圖。連接，并作垂直于準(zhǔn)線l交軸于點(diǎn)。 根據(jù)拋物線的定義， 應(yīng)用：求焦點(diǎn)在x軸上，且點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是，求拋物線的方程。拋物線，過焦點(diǎn)的直線交拋物于A,B兩點(diǎn)，A(x1,y1)，B(x2,y2),線段AB叫做拋物

15、線的焦點(diǎn)弦。由上面焦半徑公式可知， =x1+x2+ 于是得到焦點(diǎn)弦公式： 。這個(gè)公式對(duì)于開口方向不同的拋物線要靈活應(yīng)用，在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行記憶。例6：動(dòng)點(diǎn)M到的距離比到直線m：的距離大，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡。如果用一般求軌跡的方法，解法如下：設(shè)，點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為則，=即， 根據(jù)圖形可知，點(diǎn)M在直線的右側(cè)，于是去絕對(duì)值得 兩邊平方化簡(jiǎn)得：這樣求出來才發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的軌跡是拋物線。我們也可以換一種思路：先判斷出軌跡再求方程。如圖，作m的垂線交于N，交直線于.則= 而 所以=這樣，用語言表述上面的等式是：點(diǎn)M到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離，根據(jù)拋物線的定義可知，點(diǎn)M的軌跡是拋物線，點(diǎn)A是焦點(diǎn)，x=-3是準(zhǔn)線。所以，拋

16、物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是：。對(duì)比以上兩種解題方法，第一種方法是先求出軌跡方程后知道軌跡，第二種方法先判斷出軌跡再求解軌跡方程。我傾向于第二種方法，簡(jiǎn)化了計(jì)算，比較簡(jiǎn)單。當(dāng)然了，只有在熟練了定義情況下才能做到得心應(yīng)手。五、圓錐曲線第二定義在最值問題中的巧用5.1橢圓第二定義在最值問題中的巧用圓錐曲線的第二定義既是推導(dǎo)圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的依據(jù)，又是用來解決一些問題的重要方法，一般情況下，當(dāng)問題涉及焦點(diǎn)或準(zhǔn)線，且用其它方法不易求解時(shí)，可考慮運(yùn)用定義求解。圓錐曲線中涉及到很多最值問題，如果方法不當(dāng)，求解過程就很復(fù)雜。有些與焦點(diǎn)和準(zhǔn)線有關(guān)的問題，從第二定義入手，就很容易解決問題。 圓錐曲線第二定義在求最值的形式一

17、般是：的最小值。其中，在曲線（橢圓，雙曲線或拋物線）內(nèi)一定點(diǎn)（異于焦點(diǎn)），是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，是曲線的離心率。 橢圓第二定義：平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離之比為常數(shù)時(shí)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓。例7：已知的右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)。分析：此題主要在于的轉(zhuǎn)化，由第二定義：，可得出，即為M到L（右準(zhǔn)線）的距離。再求最小值可較快的求出。解：如圖所示，過M作于N，L為右準(zhǔn)線：，由第二定義，知：， 要使為最小值，即：為“最小”，由圖知：當(dāng)共線，即：時(shí)，為最??；且最小值為到的距離，此時(shí)，可設(shè)，代入橢圓方程中，解得： 故：當(dāng)時(shí)，為的最小值為

18、由上我們可以知道，利用橢圓的第二定義解題，能夠使問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，很容易使題目變得簡(jiǎn)單。在以后的學(xué)習(xí)中，看到求點(diǎn)到直線的距離，就要充分理解運(yùn)用第二定義的思維去解決圓錐曲線相關(guān)問題。例8：設(shè)為橢圓的一點(diǎn)，離心率為e，P到左焦點(diǎn)F1和右焦點(diǎn)F2的距離分別為r1，r2 求證：證明如圖，由第二定義： 即：又 注：上述結(jié)論，稱為橢圓中的焦半徑公式 得出即當(dāng) 當(dāng)5.2.雙曲線的第二定義在最值問題中的巧用 雙曲線的第二定義：平面內(nèi)點(diǎn)與一定點(diǎn)的距離和它到一定直線的距離的比是常數(shù)，這個(gè)點(diǎn)的軌跡是雙曲線。定點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)是雙曲線的離心率。例9：平面內(nèi)，點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到直線

19、的距離的比是常數(shù)，求點(diǎn)的軌跡。首先通過幾何畫板演示，讓學(xué)生有一個(gè)感性的認(rèn)識(shí)，并從中觀察出點(diǎn)的軌跡，然后進(jìn)行求解。解：設(shè)是點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)題意，所求的軌跡就是這是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以點(diǎn)M的軌跡是實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)分別為2a、2b的雙曲線。注:對(duì)于雙曲線，相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程是，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程是，所以雙曲線有兩條準(zhǔn)線。例10：如果雙曲線上一點(diǎn)P到雙曲線右準(zhǔn)線的距離等于，求點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離。 即點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為。如上題如何求P到左焦點(diǎn)的距離解：， ， 方法二：雙曲線左支上的點(diǎn)離右準(zhǔn)線的距離的最小值，故點(diǎn)為雙曲線右支上的點(diǎn)，P到左準(zhǔn)線的距離由雙曲線的第二定義注：通過一題多解鞏固雙曲線中焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的“對(duì)應(yīng)”關(guān)系。例2：已知點(diǎn)，在雙曲線上求一點(diǎn)，使的值最小。解：，e=，設(shè)到與焦點(diǎn)相應(yīng)的準(zhǔn)線的距離為，則即在雙曲線上求點(diǎn)，使到定點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離和最小，顯然直線垂直于準(zhǔn)線時(shí)合題意，且在雙曲線的右支上，此時(shí)點(diǎn)縱坐標(biāo)為，所求的點(diǎn)為5.3.拋物線的第二定義在最值中的巧用例11：設(shè)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若有點(diǎn)，求的