因式分解知識點(diǎn)總結(jié)

1、第一講因式分解一，知識梳理1. 因式分解定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積的形式，這種變形叫因式分解。 即：多項(xiàng)式 > 幾個(gè)整式的積伽 111例：一axbx x(a b)333因式分解，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。1. 因式分解的對象是多項(xiàng)式；2. 因式分解的結(jié)果一定是整式乘積的形式；3. 分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)因式都不能再分解為止；4. 公式中的字母可以表示單項(xiàng)式，也可以表示多項(xiàng)式；5. 結(jié)果如有相同因式，應(yīng)寫成幕的形式；6. 題目中沒有指定數(shù)的范圍，一般指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解;因式分解是對多項(xiàng)式進(jìn)行的一種恒等變形，是整式乘法的逆過程。2. 因式分解的方法：(1) 提公因式法：將多項(xiàng)式寫也可定義

2、：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有 公因式，可以把這個(gè)公因式提到括號外面， 成因式乘積的形式，這個(gè)變形就是提公因式法分解因式。公因式：多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有的相同的因式。公因式可以是一個(gè)數(shù)字或字母, 以是一個(gè)單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。系數(shù)一一取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)«字母一一取各項(xiàng)都含有的字母i指數(shù)取相同字母的最低次幕例：12a3b3c-8a3b2c3 6a4b2c2 的公因式是12、-8、6，它們的最大公約解析：從多項(xiàng)式的系數(shù)和字母兩部分來考慮，系數(shù)部分分別是數(shù)為2；字母部分a'b'c, a'b 7 ： a b C 2都含有因式a3b2c，故多項(xiàng)式的公因式是3 22 a b c .提公因

3、式的步驟第一步：找出公因式；第二步：提公因式并確定另一個(gè)因式，提公因式時(shí)，可用原多項(xiàng)式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一個(gè)因式。注意：提取公因式后，對另一個(gè)因式要注意整理并化簡，務(wù)必使因式最簡。多項(xiàng)式中第一項(xiàng)有負(fù)號的，要先提取符號。例 1： 把 12a2b -18ab2 -24a3b3 分解因式.解析：本題的各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)是6，相同字母的最低次幕是 ab，故公因式為6ab。解：12a2b -18ab2 -24a3b32 2= 6ab(2a-3b -4a b )例2：把多項(xiàng)式3(x -4) x(4 -x)分解因式解析：由于4 -x - -(x -4)，多項(xiàng)式3(4) x(4 -x)

4、可以變形為3(x-4) - x(x - 4),我們可以發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有公因式(x - 4),所以我們可以提取公因式(x - 4)后，再將多項(xiàng)式寫成積的形式解：3(x -4)x(4 - x)=3(x _4) _x(x _4)= (3-x)(x-4)例3：把多項(xiàng)式-x2 2x分解因式解: _x2 2x =-(x2 _2x) _ _x(x _2)(2) 運(yùn)用公式法定義：把乘法公式反過來用，就可以用來把某些多項(xiàng)式分解因式，這種分解因式的方 法叫做運(yùn)用公式法。a. 逆用平方差公式：a2 -b2 =(ab)(a-b)b. 逆用完全平方公式：a2二2ab - b2 (a二b)2c. 逆用立方和公式：a3

5、 b (a b)(a2 -ab - b2)(拓展)d. 逆用立方差公式：a3 -b3 = (a -b)(a2 ab - b2)(拓展)注意：公式中的字母可代表一個(gè)數(shù)、一個(gè)單項(xiàng)式或一個(gè)多項(xiàng)式。選擇使用公式的方法：主要從項(xiàng)數(shù)上看，若多項(xiàng)式是二項(xiàng)式可考慮平方差公式；若多項(xiàng)式是三項(xiàng)式，可考慮完全平方公式。例1因式分解a2 14a 492 2解：a -14a49 = (a -7)例2：因式分解a2 2a(b c) (b c)22 2 2解：a 2a(b c) (b c) = (a b c)(3) 分組分解法(拓展) 將多項(xiàng)式分組后能提公因式進(jìn)行因式分解；例：把多項(xiàng)式ab - a b -1分解因式解：ab

6、 - a b -1 = (ab -a) (b -1) = a(b -1) (b -1) = (a 1)(b -1) 將多項(xiàng)式分組后能運(yùn)用公式進(jìn)行因式分解.2 2例：將多項(xiàng)式a 2ab -1 b因式分解解：a2 -2ab -1 b22 2 2=(a -2ab b )-1 =(a-b) -1 = (a _b 1)(a _b _1)2 iII"iI(4) 十字相乘法(形如x (p q)x p(x p)(x q)形式的多項(xiàng)式，可以考慮運(yùn)用 此種方法)方法：常數(shù)項(xiàng)拆成兩個(gè)因數(shù)p和q，這兩數(shù)的和 p q為一次項(xiàng)系數(shù)2x (p q)x pq2X (p q)x pq =(x p)(x q)例：分解因

7、式X2 -x -30補(bǔ)充點(diǎn)詳解我們可以將-30分解成px q的形式，使 p+q=-1, p x q=-30,我們就有 p=-6,q=5 或 q=-6,p=5。q=50所以將多項(xiàng)式x2(p q)x pq可以分以分解為(x p)(x q)2分解因式x 52x 100補(bǔ)充點(diǎn)詳解我們可以將100分解成px q的形式，使 p+q=52, p x q=100,我們就有 p=2, 或 q=2,p=50。2所以將多項(xiàng)式x (p q) pq可解為(x p)(x q)2x 52x 100 二(x 50)(x 2)2x -x -30 =(x -6)(x 5)3. 因式分解的一般步驟：如果多項(xiàng)式有公因式就先提公因式，

8、沒有公因式的多項(xiàng)式就考慮運(yùn)用公式法；若是 四項(xiàng)或四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，通常采用分組分解法，最后運(yùn)用十字相乘法分解因式。因此，可以概括為：“一提”、套”、“三分組”、“四十字”。注意:因式分解一定要分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止，否則就是不完全的因式分解，若題目沒有明確指出在哪個(gè)范圍內(nèi)因式分解，應(yīng)該是指在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解，因此分解因式的結(jié)果，必須是幾個(gè) 整式的積的形式。一、例題解析提公因式法提取公因式：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，一般要將公因式提到括號外面確定公因式的方法：系數(shù)一一取多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母(或多項(xiàng)式因式)一一取各項(xiàng)都含有的字母(或多項(xiàng)式因式)的最低次幕【例1】分解因式：2n 12n 15a a -b 10ab b -a （ n 為正整數(shù)）4a2n怙“6an 2bm（m、n為大于1的自然數(shù)）【鞏固】分解因式：(x y)2n 1 _(x-z)(x-y)2n 2(y-x)2n(y -z) , n為正整數(shù).【例2】先化簡再求值,【鞏固】求代數(shù)式的值:y x y x y x y x2，其中 x - -2，(3x -2)2(2x 1) (3x 2)(2x 1)2 x(2x 1)(2 3x)，其中