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1、關(guān)于實數(shù)幾個基本定理黃翔中山大學應用數(shù)學04級定理一 實數(shù)基本定理(戴德金實數(shù)連續(xù)性定理)實數(shù)系R按戴德金連續(xù)性準這是連續(xù)的,即對R的任意分劃A|B,都存在唯一的實數(shù) r,它大于或等于下類 A的每一實數(shù)。 小于或等于上類B中的每一個實數(shù)。定理二 單調(diào)有界有極限 單調(diào)上升(下降)有上(下)界的數(shù)列必有極限存在。定理三 確界定理在實數(shù)系R內(nèi),非空的有上(下)界的數(shù)集必有上(下)確界存在。定理四 區(qū)間套定理 設an,bn是一個區(qū)間套,則必有唯一的實數(shù)r,使得r包含在所有的區(qū)間套里,即ran ,bn 。n呂定理五Borel有限覆蓋定理 實數(shù)閉區(qū)間a,b的任一個覆蓋 E,必存在有限的子覆蓋。定理六Bol
2、zano-Weierstrass緊致性定理有界數(shù)列必有收斂子數(shù)列。定理七 Cauchy收斂原理 在實數(shù)系中,數(shù)列xn有極限存在的充分必要條件是:任給;>0,存在N,當n>N,m>N時,有 焉xm| £名。定理一 一三是對實數(shù)連續(xù)性的描述, 定理四 一定理六是對實數(shù)閉區(qū)間的緊致性的描述,定理七是對實數(shù)完備性的描述。上述七個定理都描述了實數(shù)的連續(xù)性(或稱完備性),它們都是等價的。下面給出其等價性的證明: 定理一=定理二:設數(shù)列Xn單調(diào)上升有上界。令 B是Xn全體上界組成的集合,即B=b| Xn豈b, -n,而A=RB,則A|B是實數(shù)的一個分劃。事實上,由 Xn有上界知B
3、不 空。又 Xn單調(diào)上升,故X- - A,即A不空。由A=RB知A、B不漏。又a - A,b二B , 則n。,使a : Xn° < b,即A、B不亂。故A|B是實數(shù)的一個分劃。根據(jù)實數(shù)基本定理,存在唯一的rR使得對任意a A,任意b B,有a乞r乞b。下證lim xn = r。事實上,n對一; 0,由于r - ; A,知N,使得r - ; : Xn。又Xn單調(diào)上升。故當n>N時,有r - ; : xN - xn。注意到rB,便有xn - rr ;。故當n>N時有2 2rg£xn £r + e,于是 xn r £ g。這就證明了nmxn
4、汀若Xn單調(diào)下降有下界,r,則則令yn = "Xn,則Yn就單調(diào)上升有上界,從而有極限。設極限為lim xn =lim(-yn) = -lim yn = -r。定理二證完。 nnn_定理二=定理三:只需證明在實數(shù)系 R內(nèi),非空的有上界的數(shù)集必有上確界存在。設數(shù)集X非空,且有上界。則 b R,使得對-xX,有x_b。又幕R是全序集,.對- x,y R,x乞y與x y有且只有一個成立。故-r R, X。 X ,有X。豈r與x° . r有且只有一個成立。故r是X的上界與r不是X的上界有且只有一個成立。 X有上界,. 實數(shù)是X的 上界。若不存在實數(shù)不是 X的上界,則由上知,-實數(shù)都
5、是X的上界,這顯然與 X非空矛盾。故ai,d R,使得ai不是X的上界,bi是X的上界。貝UX。 X使得a,:x。乞b。用a, ,bi的中點色一bl二等分ai,bi,如果引b1是X的上界,則取2 2a2 = a4,b2 = a1 £ b1 ;如果_-不是X的上界,則取a2 = 1 ? ,b2 = b,。繼續(xù)用生皂二等分a2,b2,如果a皂是X的上界,則取as =a2,b32 b2 ;如果a2b222不是x的上界,則取22 2 2a2b2a3,匕3 = b?。如此繼續(xù)下去,便得到兩串序列2an,bn。其中an都不是X的上界且單調(diào)上升有上界(例如 b), bn都是X的上界且單調(diào)下降有下界
6、(例如 a-)。并且bn - an = bl :ai T 0 (當nT旳時)。由a.單調(diào)上升2有上界知有:存在,使得- -lim an。下證1 = supX。事實上;lim a. - -, 對 nJfXiV& >0,2N $>0,當nA N名時有P - & <an。又丁 an都不是X上界二對每一個,x ; X,使得 aN. 1 : x ;。故對 一 ; 0,X,使得 - -:aN / : x ;。若x0 X ,使得 x:,則由 bn = an b12;1知 lim._bn = im._an'嘰篤: 二:。故n0 0 ,使得x0bn0。又bn都是X的上界
7、,故對x X有x遼bn°< x0。而x0 X ,故x° : x°,這是不可能的。故對 -x X,有x°豈:。綜上、即有,=supX。即X 有上確界存在。定理三二定理四:由條件知集合 A=an| n= 1,2,非空,且有上界(例如 b,)。故由確界定理知A有上確界,記為:。則對-an A,有an乞:。同理可知集合B 二bn |n =1,2,有下確界,記為 1。則對-bn B,有 bn _ 一:。又;im (g - a.) =0,由上可知bn - a* 一。兩邊取極限,令n有0 _ - -。又顯然_ 。否則由于a是A的上確界,則2ani A,使得a
8、169; a 0 ;同理mb% B,使得bn2 ,則有 bn <a < P < an。又由區(qū)間套的構(gòu)造可知,對寸n,N+,記k=max (n,m),則有an蘭ak蘭bk <bm。故有a蘭bn2,矛盾。故必有P o故P =a,記為r。則對Pn迂N+, 有an乞r空bn。下證具有這一性質(zhì)的點是唯一的。用反證法,如果還有另一r- r,使得QOru Can,bn。由于 an Er,rYbn對一切 n成立,故 r r 蘭bn an,n= 1,2,,令 n £n t血,得r r = 0 ,與r學r矛盾。故這樣的r是唯一的,即存在唯一的實數(shù)r,使得r包含在所有的區(qū)間里,即r
9、an ,bn 。n=1定理四二定理五:用反證法。設e是區(qū)間a,b的一個覆蓋,但a,b沒有E的有限子覆蓋。 記a,bi =a,b,二等分a,b,則必有一區(qū)間沒有 E的有限子覆蓋(否則把兩區(qū)間的E的有限子覆蓋的元素合起來構(gòu)成一新的集合E',則E'是a,b的E的有限子覆蓋,即 a,b有E的有限子覆蓋與反證假設矛盾),記其為a2,b2。二等分a2,b2,則必有一區(qū)間沒有 E的有限子覆蓋,記為a3,b3。如此繼續(xù)下去,得到一組實數(shù)的閉區(qū)間序列an,bn, n=1,2,滿足(i)時&©, n = 1,2,;d a1(叫冋-和哄二=0。故an,bn構(gòu)成一個區(qū)間套,且每個an
10、 ,bn都沒有E的有限子覆蓋。則由區(qū)間套定理有存在唯一的實數(shù)r,使得nan,bn。又 n a,bn ¥由覆蓋的定義有G , ) E,使得(,:),即r ::。又由上區(qū)間套定理的證明可知 r = supA = inf B,其中 A =an |n = 1,2, , B =bn | n = 1,2, 。故 an A ,使得:-:an - r , -ibn - B,使得 r < bn < -。設 k 二 maxri| ,n2,貝U:-<ani - ak _r _bk _bn2 : 一:,即有 G , )覆蓋ak,bk。這與an,bn( n=1,2,)沒有E的有限子覆蓋的構(gòu)造
11、矛盾,故a,b必有E的有限子覆蓋。定理五=定理六:設數(shù)列xn有界,即實數(shù)-la,b,且a<b,有xn a,b,n =1,2,。用反證法,如果xn無收斂子數(shù)列,則對-x :二a,b, TC x, : x), x := (: x, : x),使得只有有限個 Xn C x, :x)。(如果不然,即-t a,b,對-(二,:),c (二,:),有(,:)中有無限1i個xn。選定xn (c -1, c 1),再選n2 n,使xn- (c ,c)。這是辦得到的,因1 2 21111為(c - ,c )包含數(shù)列的無限多項。再取 n3 n2,使Xn3 (c - ,c )。如此繼續(xù)下22331 1去,便得
12、到xn的一子數(shù)列Xnk。令kT旳,則有匚)蘭四乂入蘭Fm(C+)。1 1又何(一1)問2匸),kimxnc與反證假設矛盾)。又以這樣的Cx,7nk作為元素組成的集合顯然是a,b的一覆蓋,記為 E。則由Borel有限覆蓋定理知a,b有E 的有限子覆蓋。而E中的每個元素都只包含xn的有限項,有限個有限的數(shù)相加仍為有限數(shù),故a,b只包含xn的有限項。這與xn a,b, n=1,2,矛盾,故xn必有收斂子數(shù)列,即有界數(shù)列必有收斂子數(shù)列。定理六=定理七:必要性:設在實數(shù)系中,數(shù)列xn有極限存在,則 一 ; 0, N 0,使得只要n > N,有xn - a v % (記”墜乂“ = a)。因此只要n
13、 > N , m > N,就有 Xn Xm蘭Xn a' +|xm -玄£靂十% = E。必要性得證。充分性:設在實數(shù)系中,數(shù)列 Xn滿足:一;0, N 0,當 n A N,m A N時,有Xn -Xm| V E,即Xn是基本列。先證焉是有界的。事實上,取 % =1,則 mN A0,使得當 n A N ,m A N 時,有 x. - Xm v % =1。取定一 n> N,則 有 Xn.= Xn-Xn。+Xn°| 蘭 Xn-+ X.。< +|Xn°|。取 M=|XJ, XJ"' , Xn| +|Xn0 ,則有Xn M(
14、 n =1,2,)。這就證明了 Xn是有界的。再證明Xn有極限存在。由Bolzano-Weierstrass緊致性定理可知xn有子數(shù)列xnk,使得lim xnk存在,記為a。下證lim Xn =a。事實上,寸名>0,由題設知三Ni > 0,當n > Ni, Ni時,有Xn - Xm £ %。又丁 kmxnk =a,二 Hko,只要 nk >nko,就有 Xnk -a<% 。取 N = max(Ni, n),則只要n a N,選取nk > N,就有Xn a蘭Xn Xnk + Xnk - a £ % + % = g。這就證明了 nimXn &
15、quot;。即Xn有極限存在。充分性得證。綜上,定理七證完。定理七=定理一:對任意給定的實數(shù) R的分劃A|B , ; A、B非空,.可任取點aAQ B。又;分劃滿足不亂,.a-i:b1。用a1, b|的中點 空b1二等分a1,b| ,2如果 aibB,則取a2二 aib =aibl;如果 ai bl. a。則取2 2 2ai bia丁,5 5。分劃滿足不漏對任意實數(shù),或者屬于A,或者屬于B。故叭A或吩壬B。繼續(xù)用屮二等分&,如果貯H B,則取a3二a?:二也 b2 ;如果生 如 A,則取a如4二b?。如此繼續(xù)下去,2 2 2便得到兩串序列an,bn。其中an A單調(diào)上升有上界(例如 b
16、i), bn B單調(diào)下降有b a下界(例如ai),并且bn -an1 n丄一;0 (當n;心時)。下面用柯西收斂原理來證明2lim an存在。事實上如果不然,則日名0 >0,VN,三nN > N,mN > N,有anN -amN蘭5。不妨設n” -mN,由an單調(diào)上升有anN -aN - anN - amN - ;o。;對一 N上式都成立(N), 取N =i, nn比,N',并把所得的不等式相加得 anN. -印k;o。其中 k為不等式的個數(shù)。故 anN. =ai +k%T十吃,當kT血時。而由N的取法可知對每一個 k都有相應的N '與之對應,即有相應的 nN.與之對應。故對 _m 0, n0 0 ,使得an0>an>M。即an無界,與有界矛盾。故liman存在,記為r。下證對00 a n n-a A,b B,有a空r空b。這等價于證明對 -a ::: r,b . r,有a A,b B。事實上,b - ai一a : r,由lit an 二 r 知-n,使 a : a 二 A。故 a A。而對一 b . r,由 bn 二 an - 一 n12 n知lim bn = r。故 n2,使b bnB
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