國際大學(xué)生數(shù)學(xué)建模ICM題及解答

1、 2010年國際大學(xué)生數(shù)學(xué)建模ICM題 今年來，對于太平洋巨大垃圾漂浮帶有著廣泛的報道。參見如下網(wǎng)站：根據(jù)近年來科學(xué)家對太平洋垃圾回旋區(qū)（也就是海洋上垃圾的不斷積累的匯集區(qū)）的研究，出現(xiàn)了與此垃圾帶相關(guān)的多種的技術(shù)的和科學(xué)的問題。然而向海洋中傾倒垃圾不是一個新問題，但是科學(xué)家最近才發(fā)現(xiàn)，在太平洋上的大部分垃圾（尤其是塑料）分布越來越廣，密度越來越高，而且垃圾對海洋生態(tài)和人類和人類的福祉造成了潛在的威脅。業(yè)內(nèi)人士經(jīng)常把這種積累描述為塑料湯(plastic soup)或者confetti. 參見：今年的icm問題時一個跨學(xué)科的建模，用來研究當(dāng)前海洋垃圾積累所帶來的復(fù)雜的問題，目的是幫助研究者以及最

2、終的政府政策的制定者來理解問題的嚴(yán)重性、范圍和潛在的全球性影響。作為數(shù)學(xué)模型的設(shè)計者，你的任務(wù)是關(guān)注垃圾問題的一個方面，建立模型并分析他的行為，并且決定他對海洋生態(tài)、政府政策以及實施的潛在影響，以幫助政府政策的制定者來改善它的負(fù)面影響。務(wù)必要考慮未來科學(xué)研究的需要以及這個問題的經(jīng)濟(jì)因素，然后寫一篇報告，對你的發(fā)現(xiàn)和問題的建議、需要的政策以及實施方法進(jìn)行總結(jié)。建模中可能需要調(diào)查的問題包括：1.對于海洋環(huán)境中塑料物的潛在的長期和短期的影響是什么？怎樣來監(jiān)控他對海洋生態(tài)環(huán)境的影響？務(wù)必要考慮到時間和空間的變量。相關(guān)的資源要求是什么？2.如何才能最好的理解和描述垃圾回旋區(qū)中的塑料的廣度(extent)

3、、密度和分布？需要什么樣的監(jiān)控計劃來追蹤塑料的增長/腐爛/運(yùn)動,需要什么樣的資源(resourcing)來執(zhí)行這個計劃？3.當(dāng)他進(jìn)入海洋并且在回旋帶匯集，塑料光降解的性質(zhì)和機(jī)制是什么，其構(gòu)成是什么？（例如我們很驚奇的發(fā)現(xiàn)降解后的塑料的粒子一般會達(dá)到類似的大?。?.這些塑料來自于什么地方？對于這種情況應(yīng)該采取什么措施來控制和減少這種情況所帶來的風(fēng)險？控制和終止這種情況，會有什么樣的經(jīng)濟(jì)成本和收益？二者之間的比較效益是什么？塑料的生產(chǎn)量是多少？拋棄的有多少？回收再利用的有多少？可能進(jìn)入海洋的有多少？有可能漂浮的有多少？5.類似的情況會在海洋的其它地方出現(xiàn)嗎？我們應(yīng)該監(jiān)控什么？如何監(jiān)控？在北大西洋

4、回旋區(qū)和阿拉斯加回旋區(qū)又會發(fā)生什么？用你的模型來對評估一下未來在南大洋（ 南大西洋和南太平洋）的塑料的密度。6.如果禁止使用聚苯乙烯包裝盒，會有什么樣的直接影響？參見。 。 在未來10到50年的影響是什么？7.建模中也可以涉及到其它的科學(xué)和技術(shù)問題，只要此模型是你的調(diào)查和研究中的重要組成部分。為了使你的表述更加清晰，請關(guān)注此問題的一個重要方面，并對一些重要現(xiàn)象中的行為進(jìn)行建模。確定其中最具當(dāng)下和長遠(yuǎn)意義的部分進(jìn)行建模和分析。你的icm報告應(yīng)該是一份10頁的團(tuán)隊報告。 2010年國際大學(xué)生數(shù)學(xué)建模ICM題解答太平洋垃圾帶的形成與治理 摘要近年來，由于海洋塑料垃圾的堆積，美國西海岸附近形成了一個以

5、塑料為主的“太 平洋大垃圾帶”，隨著其面積的逐年增大，其帶來的危害也越發(fā)令人擔(dān)憂。本文對其來源、形成原因、對生態(tài)系統(tǒng)的危害，以及改善措施這幾個方面進(jìn)行了深入的分析討論，并給出相應(yīng)的兩個模型，給科學(xué)探險家們提供了有價值的方案。 針對塑料垃圾來源，本文進(jìn)行了深入分析，對環(huán)太平洋國家的塑料產(chǎn)業(yè)情況做了調(diào)查，得出中國排放出的塑料垃圾所占比例最大，應(yīng)著重控制其排放量。對于漩渦的形成原因，我們給出了太平洋環(huán)流的分布，并分析了垃圾的移動過程。 針對塑料垃圾帶來的風(fēng)險，我們主要考慮了對生態(tài)系統(tǒng)的危害。我們把塑料顆?？醋魍鈦砬秩胛锓N，建立了微塑料顆粒威脅模型，給出了塑料顆粒的豐度與浮游生物生存之間的關(guān)系。以便科

6、學(xué)家定量地評估該海域的微塑料顆粒的污染程度。 為了降低塑料垃圾對太平洋生態(tài)的破壞，本文參考了荷蘭 WHIM 公司提出的“再生島”計劃，在原垃圾帶水域，利用廢舊塑料的浮力，就地建立一個懸浮的再生島。我們建立模型論證了建造再生島的厚度與出水高度的關(guān)系，再生島和太平洋垃圾的消化能力。并分析了本計劃的成本與收益。 本文通過地理學(xué)科、生物學(xué)科、物理學(xué)科，以及經(jīng)濟(jì)學(xué)科，對“太平洋垃圾帶”問題做了全面的分析，提出了就地建立再生島的模型，給科學(xué)家提 供了解決海洋垃圾問題的一個參考方案. 關(guān)鍵詞：太平洋垃圾帶 再生島 塑料顆粒一問題重述最近的一項深入太平洋渦旋（垃圾碎片不斷累積的匯流地帶）進(jìn)行的科學(xué)探險， 揭露

7、出大量與處理這些垃圾碎片相關(guān)的科技問題。傾倒廢棄物流入海洋不是新鮮事，但 是科學(xué)界卻首次發(fā)現(xiàn)這些垃圾碎片（尤其是塑料制品）在太平洋*領(lǐng)域中密集出現(xiàn)?？?學(xué)界同時也發(fā)現(xiàn)這些垃圾碎片對海洋生態(tài)，對人類的福祉都帶來了許多潛在威脅。研究 者把這些塑料垃圾描述成塑料湯或是塑料彩屑。 今年 ICM 的問題是利用跨學(xué)科建模，來解決由于海洋中垃圾存在與累積所帶來的各 種復(fù)雜問題，借此幫助研究者，最終幫助政府政策制定者來了解該問題的程度、范圍和 對全球潛在的影響。 作為科學(xué)探險的建模顧問，你的任務(wù)是要關(guān)注垃圾問題中的某一個因素，建立模型并分析它的性質(zhì)，確定其對影響海洋生態(tài)、政府政策的潛在影響，以及改善它的負(fù)面影

8、響的具體措施。一定要考慮未來科研的需求和這一問題的經(jīng)濟(jì)因素，然后給科學(xué)探險的領(lǐng)隊寫一份報告，總結(jié)你的研究發(fā)現(xiàn)，提出解決建議、需要制定的政策和采取的措施。 選擇的問題如下： 問題四：這些塑料從何處來？可以采取什么步驟來控制或減少與這一情況相關(guān)的各種風(fēng)險？經(jīng)濟(jì)成本如何？控制或結(jié)束這種狀態(tài)會帶來什么經(jīng)濟(jì)效益？如何比較成本與效益？有多少塑料被生產(chǎn)，丟棄與回收？有多少有可能被排入海洋？進(jìn)入海洋的又有多少可能會到處漂??？ 為了明確你的任務(wù)，重點應(yīng)該集中在問題的某個重要方面，對重要的問題和現(xiàn)象的表現(xiàn)進(jìn)行建模分析，對你選擇進(jìn)行建模和分析的那個方面當(dāng)中對當(dāng)前和未來影響最顯 著的因素進(jìn)行定量分析。你的 ICM 報

9、告應(yīng)以如下形式提交：它將是篇幅為 10 頁的小組 報告，提交給一位調(diào)查負(fù)責(zé)人，目的在于幫助她找出所探討問題或現(xiàn)象的相關(guān)表現(xiàn)， 主 要分析這些問題或者現(xiàn)象的后果，并針對在問題進(jìn)一步惡化之前政府能夠采取哪些措施 來遏制該問題向她提出可行性建議。 二模型假設(shè)1垃圾來源僅為太平洋沿海國家，不考慮內(nèi)陸國家排污情況。2垃圾帶水域的塑料顆粒不分種類，形狀質(zhì)量均看作一致。 3垃圾帶被污染水域各處的浮游生物數(shù)量密度、塑料顆粒數(shù)量密度均視為一致。 4再生島所處的位置是平穩(wěn)的，材料均勻且所處海域海水密度一致；。三模型分析與建立3.1垃圾的來源根據(jù)聯(lián)合國的統(tǒng)計，每年世界會產(chǎn)出超過2.6億噸的塑料垃圾，它們當(dāng)中大多數(shù)是

10、一次性的，其中90%95%都沒有得到回收，大部分都被人類隨意丟棄了有的被掩埋在土地里，有的散布在郊外的垃圾場，有的掛在鐵路沿線的樹梢枝頭，有的被直接傾倒入海它們散布在地球的每個角落，但是最后它們會被雨水或大風(fēng)吹刷，然后悄無聲息地流走“最后的終點，是海洋”。經(jīng)調(diào)查，塑料垃圾在所有海洋垃圾中占據(jù)相當(dāng)大的比例。這些塑料垃圾10來自漁民捕魚過程中的漁網(wǎng)，10是海上航行的貨船丟棄的，其余80的塑料垃圾則來自陸地的人類活動及颶風(fēng)等沖刷陸地帶來垃圾。以下三個因素則為垃圾帶的主要來源。 l 人類活動帶來的塑料垃圾 資料顯示，每年，僅塑料，全世界大約就會制造出近億噸，其中僅有一小部分能夠得到循環(huán)再利用。自從塑料

11、產(chǎn)品問世以來，世界范圍內(nèi)生產(chǎn)的塑料制品大約有5已進(jìn)入海洋，其數(shù)量超過1億噸。不僅如此，在人類與海洋直接接觸的同時，也會產(chǎn)生垃圾。比如，人們在海邊旅游的過程中，有意無意地把已使用過的物品棄置于在海里和海岸，或是人類在捕魚時丟棄的廢舊漁具。這些都是塑料垃圾漩渦的來源。 太平洋大垃圾帶中，有80%是塑料垃圾，而這些垃圾又有80%來自人類活動，來自大陸塑料排污。因此，這里查詢環(huán)太平洋各國塑料生產(chǎn)量、回收量，以及排入海洋量各是多少。根據(jù)資料顯示，全球塑料消費(fèi)量如下圖。由圖1可以看出，全球塑料的消費(fèi)總量逐年遞增，也就意味著廢舊塑料的數(shù)目逐年增多，排入海洋的塑料數(shù)目同樣也會逐漸增大。 根據(jù)2009年資料統(tǒng)計

12、29，可得如下統(tǒng)計表1:環(huán)太平洋國家的塑料數(shù)據(jù)統(tǒng)計國家 年產(chǎn)量（萬噸） 回收率 拋棄率 被拋向海洋的比率 美國 4700 40.0% 47.0% 12.7% 中國 4479 22.0% 65.0% 31.8% 日本 1425 69.7% 21.5% 11.4% 韓國 1200 23.5% 48.8% 13.4% 加拿大 810 36.0% 42.0% 16.9% 我們可以看出，中國向海中排放廢舊塑料是最多的，因此，在源頭減少塑料排污量方面上，中國更應(yīng)加大回收廢舊塑料的力度，同時，其他各國也要盡量控制其排污量，并努力提高回收率。 l 自然災(zāi)害帶來的垃圾 環(huán)北太平洋地區(qū)的海灘垃圾，街邊見到的某個塑

13、料瓶、工廠排放出來的工業(yè)廢物這些都可能是海洋垃圾的間接來源。每當(dāng)下雨，尤其是在暴雨沖刷后，各種各樣的垃圾從四處進(jìn)入雨水排水道或者內(nèi)陸河流中，最終抵達(dá)海洋。l 行駛船只排污 據(jù)統(tǒng)計，每天有大約800 萬件垃圾進(jìn)入海洋，其中大約400 多萬件來自于過往船只，重達(dá)560多萬噸。而“國際海運(yùn)聯(lián)合會”曾經(jīng)公布說，每年都有數(shù)千只集裝箱掉到海里，里面的物品會散落出來成為海上“流浪者”。垃圾進(jìn)入海洋后，大約有70%沉降至海底，15%漂浮在海面，15%駐留于海灘。3.2 垃圾漩渦的形成北太平洋環(huán)流系統(tǒng)( 英語：North Pacific Gyre )The Great Pacific Garbage Patch

14、, also described as the Pacific Trash Vortex, is a gyre of marine litter in the central North Pacific Ocean located roughly between 135° to 155°W and 35° to 42°N. The patch extends over a very wide area, with estimates ranging from an area the size of the state of Texas to one la

15、rger than the continental United States; however, the exact size is unknown.在太平洋上，北太平洋環(huán)流系統(tǒng)是相對靜止的區(qū)域，此區(qū)主要為副熱帶高壓帶，水流旋轉(zhuǎn)的方向?qū)⒅車膹U物帶進(jìn)來，導(dǎo)致漂浮物和其破碎物的累積，這些像是漂浮的“云狀”廢物被稱為太平洋垃圾帶（塊），東方垃圾塊或是太平洋垃圾旋渦。這片垃圾帶的位置恰恰是被北太平洋中一個巨大的環(huán)流北太平洋環(huán)流環(huán)繞在中央。這個環(huán)流是一個由北赤道暖流、黑潮、北太平洋暖流、加利福尼亞寒流構(gòu)成的順時針環(huán)形系統(tǒng)。當(dāng)整個太平洋的洋流以順時針方向運(yùn)轉(zhuǎn)時，垃圾途經(jīng)這里并被卷入這塊平靜區(qū)域，便不再

16、繼續(xù)隨洋流漂移，并在此聚集。根據(jù)這個環(huán)流的走向，我們可以復(fù)原這些漂浮著的塑料垃圾是如何來到這里的比如，一支在舊金山海岸被廢棄的牙刷，一開始它會隨著加利福尼亞寒流一路向南，到了墨西哥一帶再借著北赤道暖流流向亞洲，一直到達(dá)日本海域，然后它會遇上黑潮，轉(zhuǎn)而向東匯入北太平洋暖流，經(jīng)過夏威夷最終到達(dá)“垃圾大陸”，整個旅程大概需要耗時幾年。當(dāng)然，如果它是在亞洲沿海一帶被丟棄的話，那么旅程的時間將會大大縮短，抵達(dá)“新大陸”的時間只用1年就夠了。3.3 垃圾對生態(tài)系統(tǒng)的影響（微塑料顆粒威脅模型）太平洋垃圾帶的垃圾總量估計已經(jīng)超過700萬噸，每平方公里的海面上有330萬件大大小小的塑料片。最嚴(yán)重的地方，海底堆積

17、的垃圾厚度已經(jīng)達(dá)到30米。這些垃圾給海洋生物，甚至人類帶來了巨大的危害： (1)動物誤食塑料垃圾,可能會導(dǎo)致動物食管刺穿，攝食的塑料垃圾在胃內(nèi)不被消化導(dǎo)致動物營養(yǎng)缺乏；被塑料(特別是魚網(wǎng)、塑料袋)纏繞而受到傷害，甚至致死。 (2)漂浮在海洋中的塑料微粒還可能成為有毒物質(zhì)進(jìn)入生物體內(nèi)的媒介。它們可能聚集在一起，并吸附來自其他源頭的有毒化學(xué)物質(zhì)，再通過較大的魚、鳥類和海洋哺乳動物向食物鏈的上層移動，同時，其毒性會不斷被濃縮，最終很可能危及到人類健康。 (3) 塑料碎片的數(shù)量是浮游生物的6倍，塑料層擋住了太陽光，使得淺水層中需要太陽光的海洋生物的生存環(huán)境被限制和破壞。 在這里，本文對該問題做了進(jìn)一步

18、的建模和分析。l 相關(guān)概念本模型中我們首先引入了一些相關(guān)生物學(xué)概念：現(xiàn)存量(Standing crops)是指單位面積或體積中所存在生物體的數(shù)量或重量，現(xiàn)存量若以個體數(shù)表示則可稱為豐度(abundance)或（數(shù)量）密度（Density），本文記之為p，單位為ind/L；若以重量表示則可稱為生物量（Biomass），單位為mg/L。在大自然中，每個生物種群都有其最適宜的生存空間。一旦該生存空間遭破壞，被縮小或毀滅，必定使該種生物數(shù)量減少甚至消失。本題中，塑料顆粒作為太平洋海域的外來入侵物體，擠占原來水域浮游生物的生存空間，破壞其原來保持的平衡，導(dǎo)致該水域浮游生物數(shù)量和種類的減少。為描述這一過程

19、，本文定義如下幾個概念：浮游生物生存空間：浮游生物均勻分布的水中，平均每個浮游生物個體所占有的生存空間體積，記為 vf。 浮游生物最小生存空間：一個浮游生物個體正常生存所需的最小空間容量，記為 vf0 。 塑料顆粒活動空間：塑料顆粒均勻分布的水中，平均每個塑料顆粒個體所占有的空間體積，記為vp 。 浮游生物豐度（數(shù)量密度）：單位體積的水中浮游生物的數(shù)量，記為pf。 塑料顆粒豐度（數(shù)量密度）：單位體積的水中塑料顆粒的數(shù)量，記為pp。塑料顆粒的活動勢必影響著浮游生物的生存空間，可以將塑料顆粒視為與浮游生物競爭的元素，前者的增加必將引起后者的減少，從而使得以浮游生物為食的其他生物也在減少，整個塑料漩

20、渦范圍內(nèi)的生態(tài)系統(tǒng)由此而遭到破壞。 我們希望解決兩個問題：1、塑料顆粒豐度達(dá)到什么值的時候會威脅浮游生物的生存？2、塑料顆粒豐度與浮游生物豐度有什么具體關(guān)系？l 具體模型當(dāng)垃圾塑料顆粒分解達(dá)到與浮游生物競爭生存空間的程度時，本文建立“塑料顆粒威脅模型”。 在單位體積為v0的水中，浮游生物的豐度pf與塑料顆粒的豐度pp之間滿足如下關(guān)系：該關(guān)系式表明了浮游生物與塑料顆粒之間的關(guān)系，其中vf 、vp是本文定義的浮游生物生存空間和塑料顆粒活動空間。正常的生態(tài)系統(tǒng)下，浮游生物的豐度pf是一個常值pf0，而一個浮游生物個體正常生存所需也存在一個最小生存空間vf0。因此，該水域?qū)λ芰项w粒有一個臨界容量：當(dāng)塑

21、料顆粒豐度未達(dá)到臨界值pp0時，浮游生物的生存尚未受到威脅，該水域生態(tài)系統(tǒng)對外來入侵的塑料顆粒仍可容納。由于塑料顆粒是可以不斷增多的，因此其很有可能超越該臨界值。一旦超過這個臨界值，浮游生物就會受到排擠。浮游生物必然是以減少自身數(shù)量，為余下的浮游生物換取足夠的生存空間，關(guān)系式如下：該關(guān)系式表明了塑料顆粒與浮游生物之間的競爭關(guān)系，面對不具生命特征的塑料顆粒，浮游生物是沒有競爭力的。隨著該水域污染的加劇，即塑料顆粒的豐度pp的增大，相應(yīng)地，浮游生物的豐度pf就會減少，兩者的關(guān)系圖大致如下圖6：由此可見，微塑料顆粒單純從物理意義上講就對該水域的浮游生物造成嚴(yán)重威脅，一旦微塑料在海水中的豐度值達(dá)到一定

22、程度，該水域的浮游生物將全部滅亡。l 應(yīng)用：海域污染監(jiān)控本模型給出了水域中浮游生物豐度與微塑料顆粒豐度之間的關(guān)系，在實踐活動中，可以知道塑料顆粒豐度的臨界值pp0，以及浮游生物生存空間和塑料顆粒活動空間vf、vp。環(huán)衛(wèi)人員在提取樣本得到相關(guān)數(shù)據(jù)（浮游生物的豐度pf與微塑料顆粒的豐度pp）之后，可以定量地評估該海域的微塑料顆粒的污染程度。3.4垃圾處理控制、減少太平洋垃圾帶所帶來的風(fēng)險，可以從兩方面著手：從塑料的源頭減少塑料污染；就地處理垃圾。 陸上處理目前，全球已采取了很多措施減少塑料污染，一方面多數(shù)國家有效地提高了塑料垃圾的回收率，另一方面，很多國家對塑料制品（塑料袋）進(jìn)行了限制或收稅，取得

23、了較好的效果。因此本文不再討論如何減少源頭的污染。 海上處理（再生島模型）對于已經(jīng)在海上的塑料垃圾，徹底清除是很困難的，因此主要研究方向變成了對垃圾的轉(zhuǎn)化。目前一個令人矚目的項目正在進(jìn)行：環(huán)保組織的“海星計劃”(Project Kaisei)，希望能把垃圾轉(zhuǎn)化能源?！昂Ｐ怯媱潯庇媱澰?8個月處理40萬噸塑料垃圾，耗資200萬美元。我們還可以從另一角度處理這些垃圾，將其“變廢為寶” ，便是就地建造一個適宜人類居住的小島，其原料不是泥土，而是這些塑料垃圾。 我們參考了荷蘭WHIM 公司提出的“再生島”計劃，并根據(jù)該計劃建立相關(guān)模型分析建設(shè)該項目涉及到的物理性質(zhì)。假如再生島計劃付諸實施，將有力聚集太

24、平洋漩渦的塑料垃圾，使之為人類重新利用，再生島效果圖如圖。l 再生島的厚度標(biāo)準(zhǔn)我們在其原有概念構(gòu)想的基礎(chǔ)上，分析再生島的面積、出水高度、承載物體質(zhì)量與厚度 之間的關(guān)系。 為了方便建筑方根據(jù)所給的出水高度標(biāo)準(zhǔn)而確定所建再生島的厚度，本文根據(jù)浮力 知識分析如下： 建筑方得到的出水高度標(biāo)準(zhǔn)為（即所建的再生島要高出海平面），所建再生島要承載的物體質(zhì)量為m，以及已測得所在海域的海水密度為，則由阿基米德原理有關(guān)系式如下：于是有這便是從建設(shè)再生島的標(biāo)準(zhǔn)中得到所需建造再生島的厚度。在實際建造中，所有的標(biāo)準(zhǔn)是一個范圍，故也可以根據(jù)本模型求出厚度的范圍。l 再生島的擴(kuò)建速率再生島應(yīng)以多大的擴(kuò)建速率，才能保持太平洋塑料污染范圍不再擴(kuò)大？我們根據(jù)荷