天津文科數(shù)學(xué)試題及答案

1、2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（文科）一選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1. 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（ ）A. B. C. D. 2. 設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 53. 已知命題（ ）A. B. C. D.4. 設(shè)則（ ）A. B. C. D.5. 設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，若成等比數(shù)列，則=（ ）A.2 B.-2 C. D .6. 已知雙曲線的一條漸近線平行于直線雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線上，則雙曲線的方程為（ ）A. B. C. D.7.

2、 如圖，是圓的內(nèi)接三角行，的平分線交圓于點(diǎn)D，交BC于E，過點(diǎn)B的圓的切線與AD的延長線交于點(diǎn)F，在上述條件下，給出下列四個(gè)結(jié)論：BD平分；.則所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）A. B. C. D. 8. 已知函數(shù)在曲線與直線的交點(diǎn)中，若相鄰交點(diǎn)距離的最小值為，則的最小正周期為（ ）A. B. C. D.二.填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.9. 某大學(xué)為了解在校本科生對(duì)參加某項(xiàng)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的意向，擬采用分層抽樣的方法，從該校四個(gè)年級(jí)的本科生中抽取一個(gè)容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查.已知該校一年級(jí)、二年級(jí)、三年級(jí)、四年級(jí)的本科生人數(shù)之比為，則應(yīng)從一年級(jí)本科生中抽取 名學(xué)生.10. 一個(gè)幾何體

3、的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積為 .11.閱讀右邊的框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的值為_.12. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是_.13. 已知菱形的邊長為，點(diǎn)，分別在邊、上，.若，則的值為_.14. 已知函數(shù)若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_3 解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟（15） （本小題滿分13分）某校夏令營有3名男同學(xué)和3名女同學(xué)，其年級(jí)情況如下表：一年級(jí)二年級(jí)三年級(jí)男同學(xué)ABC女同學(xué)XYZ現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識(shí)競賽（每人被選到的可能性相同）（1） 用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果（2） 設(shè)為事件“選出的2人來自不同年級(jí)且

4、恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”，求事件發(fā)生的概率.16、（本小題滿分13分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，（1） 求的值；（2） 求的值.17、（本小題滿分13分）如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，,分別是棱的中點(diǎn). （1） 證明平面；（2） 若二面角P-AD-B為， 證明：平面PBC平面ABCD 求直線EF與平面PBC所成角的正弦值.18、（本小題滿分13分）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B.已知=.（1） 求橢圓的離心率；（2） 設(shè)P為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線與該圓相切與點(diǎn)M，=.求橢圓的方程.19. （本小題滿分14分）已知函數(shù)（1

5、）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若對(duì)于任意的，都存在，使得，求的取值范圍20.（本小題滿分14分）已知和均為給定的大于1的自然數(shù)，設(shè)集合，集合，（1） 當(dāng)時(shí)，用列舉法表示集合A；（2）設(shè)其中證明：若則.參考答案一、選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算。每小題5分，滿分40分。1. A2.B3.B4.C5.D6.A7.D8.C二、填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算。每小題5分，滿分30分。9. 6010. 11. -412. 13. 214. （1，2）三、解答題：15.本小題主要考查用列舉法計(jì)算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)?？疾檫\(yùn)用概率只是解決簡單實(shí)際問題的能力。滿分

6、13分。解：（）從6名同學(xué)匯總隨機(jī)選出2人參加只是競賽的所有可能結(jié)果為,，共15種。（）選出的2人來自不同年紀(jì)且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的所有可能結(jié)果為，共6種。因此，事件發(fā)生的概率16.本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦與余弦公式、兩角差的余弦公式以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算求解能力，滿分13分。解：（）在中，由，及，可得，又由，有所以，（）在中，由，可得，于是所以，17.本小題主要考查直線與平面平行、平面與平面垂直、直線與平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)。考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力。滿分13分。（）證明：如圖，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，故

7、且，由已知有，又由于為中點(diǎn)，因而且，故四邊形為平行四邊形，所以，又平面，而平面，所以平面（）（）證明：連接，因?yàn)?，而為中點(diǎn)，故，所以為二面角的平面角。在中，由，可解得，在中，由，可解得，在中，由，由余弦定理，可解得，從而，即，又，從而，因此平面。又平面，所以，平面平面（）解：連接，由（）知，平面，所以為直線與平面所成的角，由及已知，得為直角，而，可得，故，又，故在直角三角形中，。所以，直線與平面所成角的正弦值為18.本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)?？疾橛么鷶?shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)。考查運(yùn)算求解能力，以及用方程思想解決問題的能力。滿分13分。（）解：設(shè)橢圓

8、右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，可得，又，則所以，橢圓的離心率（）解：由（）知，故橢圓的方程為設(shè)，由，有由已知，有，即，又，故有因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，故由和可得，而點(diǎn)捕食橢圓的頂點(diǎn)，故，代入得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為設(shè)圓的圓心為，則，進(jìn)而圓的半徑由已知，有，又，故有解得所以，所求橢圓的方程為19.本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查化歸思想、分類討論思想、函數(shù)思想?？疾榫C合分析問題和解決問題的能力。滿分14分。（）解：由已知，有令，解得或當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：0-0+0-0所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，有極小值，且極小值；當(dāng)時(shí)，有極大值，且極大值（）解：由及（）知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，設(shè)集合，集合，則“對(duì)于任意的，都存在，使得”等價(jià)于，顯然，.下面分三種情況討論：（1）當(dāng)，即時(shí)，由可知，而，所以不是的子集。（2）當(dāng)，即時(shí)，有，且此時(shí)在上單調(diào)遞減，故，因而；由，有在上的取值范圍包含，則所以，（3）當(dāng)，