圓與相似_解直角三角形綜合題精選有答案

1、解直1. （2012江蘇鎮(zhèn)江6分）如圖，AB是O的直徑，DFAB于點D，交弦AC于點E，F(xiàn)C=FE。 （1）求證：FC是O的切線；（2）若O的半徑為5，求弦AC的長。2 （2012四川巴中10分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以AB為直徑的O經(jīng)過點D，E是O上一點，且AED=45°。（1）判斷CD與O的位置關系，并說明理由；（2）若O的半徑為6cm，AE=10cm，求ADE的正弦值。3（2012福建福州12分）如圖，AB為O的直徑，C為O上一點，AD和過C點的切線互相垂直，垂足為D，AD交O于點E(1) 求證：AC平分DAB；(2) 若B60º，CD2，求AE的長相似與

2、圓1 （2012廣西北海10分）如圖，AB是O的直徑，AE交O于點E，且與O的切線CD互相垂直，垂足為D。（1）求證：EACCAB；（2）若CD4，AD8：求O的半徑；求tanBAE的值。2（2012山東聊城10分）如圖，O是ABC的外接圓，AB=AC=10，BC=12，P是上的一個動點，過點P作BC的平行線交AB的延長線于點D（1）當點P在什么位置時，DP是O的切線？請說明理由；（2）當DP為O的切線時，求線段DP的長3 . （2012湖北恩施12分）如圖，AB是O的弦，D為OA半徑的中點，過D作CDOA交弦AB于點E，交O于點F，且CE=CB（1）求證：BC是O的切線；（2）連接AF，BF

3、，求ABF的度數(shù)；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求O的半徑4 （2012江蘇泰州12分）如圖，已知直線l與O相離，OAl于點A，OA=5，OA與O相交于點P，AB與O相切于點B，BP的延長線交直線l于點C（1）試判斷線段AB與AC的數(shù)量關系，并說明理由；（2）若PC=，求O的半徑和線段PB的長；15. （2012湖北黃岡8分）如圖，在ABC 中，BA=BC，以AB 為直徑作半圓O，交AC 于點D.連結DB，過點D 作DEBC，垂足為點E.（1）求證：DE 為O 的切線；（2）求證：DB2=AB·BE.【答案】解：（1）連接OC， FC=FE，F(xiàn)CE=FEC（等邊對等角

4、）。 OA=OC，OAC=OCA（等邊對等角）。 又FEC=AED（對項角相等）， FCE=AED（等量代換）。又DFAB，OACAED=900（直角三角形兩銳角互余）。OCAFCE =900（等量代換），即OCF =900。OCCF（垂直定義）。又OC是O的半徑，F(xiàn)C是O的切線（切線的定義）。（2）連接BC。 AB是O的直徑，ACB=900（直徑所對圓周角是直角）。 OB=OC。OBC=OCB（等邊對等角）。 OCB=ACBACO=900ACO=OCFACO=FCE， OBC=FCE。 又，。 又O的半徑為5，AB=10。 在RtABC中， ?！究键c】等腰三角形的性質(zhì)，對項角的性質(zhì)，直角三角

5、形兩銳角的關系，切線的判定，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理?！痉治觥浚?）要證FC是O的切線，只要FC垂直于過C點的半徑，所以作輔助線OC。由已知條件，根據(jù)等腰三角形的等邊對等角性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的關系，經(jīng)過等量代換即可得到。 （2）構造直角三角形ABC，由等量代換得到OBC=FCE，從而得到，應用銳角三角函數(shù)知識和勾股定理即可求得弦AC的長?！敬鸢浮拷猓海?）連接BD，OD，AB是直徑，ADB=90°。ABD=E=45°，DAB=45°，則AD=BD。ABD是等腰直角三角形。ODAB。又DCAB，ODDC， CD與O相切。（2）過點O作OFAE，

6、連接OE，則AF=AE=×10=5。OA=OE，AOF=AOE。ADE=AOE，ADE=AOF。在RtAOF中，sinAOF=，sinADE= sinAOF =?！敬鸢浮拷猓?1) 證明：如圖，連接OC， CD為O的切線， OCCD。 OCD90°。 ADCD， ADC90°。 OCDADC180°。 ADOC。 CADACO。 OAOC， ACOCAO。 CADCAO，即AC平分DAB。(2) AB為O的直徑， ACB90°又 B60°，CADCAB30°。在RtACD中，CD2， AC2CD4。在RtABC中，AC4，

7、AB8。連接OE， EAO2CAB60°，OAOE， AOE是等邊三角形。 AEOAAB4。【考點】切線的性質(zhì)，平行的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，等邊三角形的判定和性質(zhì)。【分析】(1) 連接OC，由CD為O的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC垂直于CD，由AD垂直于CD，可得出OC平行于AD，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等可得出CADACO，再由OAOC，利用等邊對等角得到ACOCAO，等量代換可得出CADCAO，即AC為角平分線。(2)由AB為圓O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角可得出ACB為直角，

8、在RtABC中，由B的度數(shù)求出CAB的度數(shù)為30°，可得出CAD的度數(shù)為30°。在RtACD中，根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，由CD的長求出AC的長，在RtABC中，根據(jù)cos30°及AC的長，利用銳角三角函數(shù)定義求出AB的長，從而得出半徑OE的長，由EAO為60°，及OEOA，得到AEO為等邊三角形，可得出AEOAOE，即可確定出AE的長?！敬鸢浮浚?）證明：連接OC。CD是O的切線，CDOC。又CDAE，OCAE。13。OCOA，23。12，即EACCAB。（2）解：連接BC。AB是O的直徑，CDAE于點D，ACBADC90

9、76;。12，ACDABC。AC2AD2CD2428280，AB10。O的半徑為10÷25。連接CF與BF。四邊形ABCF是O的內(nèi)接四邊形，ABCAFC180°。DFCAFC180°，DFCABC。2ABC90°， DFCDCF90°，2DCF。12，1DCF。CDFCDF，DCFDAC。DF2。AFADDF826。AB是O的直徑，BFA90°。BF8。tanBAD?！究键c】切線的性質(zhì)，平行的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義?！痉治觥浚?）連接OC，由CD是O的切線，CDOC

10、，又由CDAE，即可判定OCAE，根據(jù)平行線的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)，即可證得EAC=CAB。（2）連接BC，易證得ACDABC，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，即可求得AB的長，從而可得O的半徑長。 連接CF與BF由四邊形ABCF是O的內(nèi)接四邊形，易證得DCFDAC，然后根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，求得AF的長，又由AB是O的直徑，即可得BFA是直角，利用勾股定理求得BF的長，即可求得tanBAE的值。【答案】解：（1）當點P是的中點時，DP是O的切線。理由如下：連接AP。AB=AC，。又，。PA是O的直徑。，1=2。又AB=AC，PABC。又DPBC，DPPA。DP是O的切線。（2）連接O

11、B，設PA交BC于點E。由垂徑定理，得BE=BC=6。在RtABE中，由勾股定理，得：AE=。設O的半徑為r，則OE=8r，在RtOBE中，由勾股定理，得：r2=62+（8r）2，解得r=。DPBC，ABE=D。又1=1，ABEADP，即，解得：?！究键c】圓心角、弧、弦的關系，圓周角定理，切線的判定，勾股定理，垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)。【分析】（1）根據(jù)當點P是的中點時，得出，得出PA是O的直徑，再利用DPBC，得出DPPA，問題得證。（2）利用切線的性質(zhì)，由勾股定理得出半徑長，進而得出ABEADP，即可得出DP的長?！敬鸢浮拷猓海?）證明：連接OB，OB=OA，CE=CB，A=OBA

12、，CEB=ABC。又CDOA，A+AED=A+CEB=90°。OBA+ABC=90°。OBBC。BC是O的切線。（2）連接OF，AF，BF，DA=DO，CDOA，OAF是等邊三角形。AOF=60°。ABF=AOF=30°。（3）過點C作CGBE于點G，由CE=CB，EG=BE=5。易證RtADERtCGE，sinECG=sinA=，。又CD=15，CE=13，DE=2，由RtADERtCGE得，即，解得。O的半徑為2AD=。【考點】等腰（邊）三角形的性質(zhì)，直角三角形兩銳角的關系，切線的判定，圓周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義。

13、【分析】（1）連接OB，有圓的半徑相等和已知條件證明OBC=90°即可證明BC是O的切線。（2）連接OF，AF，BF，首先證明OAF是等邊三角形，再利用圓周角定理：同弧所對的圓周角是所對圓心角的一半即可求出ABF的度數(shù)。（3）過點C作CGBE于點G，由CE=CB，可求出EG=BE=5，由RtADERtCGE和勾股定理求出DE=2，由RtADERtCGE求出AD的長，從而求出O的半徑?！敬鸢浮拷猓海?）AB=AC。理由如下：連接OB。AB切O于B，OAAC，OBA=OAC=90°。OBP+ABP=90°，ACP+CPB=90°。OP=OB，OBP=OPB。

14、OPB=APC，ACP=ABC。AB=AC。（2）延長AP交O于D，連接BD，設圓半徑為r，則由OA=5得，OP=OB=r，PA=5r。又PC=， 。由（1）AB=AC得，解得：r=3。AB=AC=4。PD是直徑，PBD=90°=PAC。DPB=CPA，DPBCPA。，即，解得?！究键c】切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直線與圓的位置關系，相似三角形的判定和性質(zhì)。【分析】（1）連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)和垂直得出OBA=OAC=90°，推出OBP+ABP=90°，ACP+CPB=90°，求出ACP=ABC，根據(jù)等腰三角形的判定推出即可。（2）延長AP交O于D，連接BD，設圓半徑為r，則OP=OB=r，PA=5r，根據(jù)AB=AC推出，求出r，證DPBCPA，得出 ，代入求出PB即可。（3）根據(jù)已知得出Q在AC的垂直平分線上，作出線段AC的垂直平分線MN，作OEMN，求出OEr，求出r范圍，再根據(jù)相離得出r5，即可得出答案。【答案】證明：（1）連接OD、BD，則ADB=90°（圓周角定理），BA=BC，CD=AD（三線合一）。又AO=BO，OD是ABC的中位線。ODBC。DEB=90°，ODE=90°，即ODDE。DE為O的切線。（2）B