六年級(jí)奧數(shù)精講課堂工程問(wèn)題

1、六年級(jí)奧數(shù)精講課堂：工程問(wèn)題在日常生活中，做某一件事，制造某種產(chǎn)品，完成某項(xiàng)任務(wù)，完成某項(xiàng)工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作時(shí)間這三個(gè)量，它們之間的基本數(shù)量關(guān)系是工作量=工作效率×時(shí)間.在小學(xué)數(shù)學(xué)中，探討這三個(gè)數(shù)量之間關(guān)系的應(yīng)用題，我們都叫做“工程問(wèn)題”.舉一個(gè)簡(jiǎn)單例子.一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.問(wèn)兩人合作幾天可以完成？一件工作看成1個(gè)整體，因此可以把工作量算作1.所謂工作效率，就是單位時(shí)間內(nèi)完成的工作量，我們用的時(shí)間單位是“天”，1天就是一個(gè)單位，再根據(jù)基本數(shù)量關(guān)系式，得到所需時(shí)間=工作量÷工作效率=6（天）?兩人合作需要6天.這是工程問(wèn)題中最

2、基本的問(wèn)題，這一講介紹的許多例子都是從這一問(wèn)題發(fā)展產(chǎn)生的.為了計(jì)算整數(shù)化（盡可能用整數(shù)進(jìn)行計(jì)算），如第三講例3和例8所用方法，把工作量多設(shè)份額.還是上題，10與15的最小公倍數(shù)是30.設(shè)全部工作量為30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.兩人合作所需天數(shù)是30÷（3+ 2）= 6（天） 數(shù)計(jì)算，就方便些.2.或者說(shuō)“工作量固定，工作效率與時(shí)間成反比例”.甲、乙工作效率的比是1510=32.當(dāng)知道了兩者工作效率之比，從比例角度考慮問(wèn)題，也需時(shí)間是 因此，在下面例題的講述中，不完全采用通常教科書(shū)中“把工作量設(shè)為整體1”的做法，而偏重于“整數(shù)化”或“從比例角度出發(fā)”

3、，也許會(huì)使我們的解題思路更靈活一些.一、兩個(gè)人的問(wèn)題標(biāo)題上說(shuō)的“兩個(gè)人”，也可以是兩個(gè)組、兩個(gè)隊(duì)等等的兩個(gè)集體.例1 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.現(xiàn)在甲先做了3天，余下的工作由乙繼續(xù)完成.乙需要做幾天可以完成全部工作？答：乙需要做4天可完成全部工作.解二：9與6的最小公倍數(shù)是18.設(shè)全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需時(shí)間是（18- 2 × 3）÷ 3= 4（天）.解三：甲與乙的工作效率之比是6 9= 2 3.甲做了3天，相當(dāng)于乙做了2天.乙完成余下工作所需時(shí)間是6-2=4（天）.例2 一件工作，甲、乙兩人合作30天可以完

4、成，共同做了6天后，甲離開(kāi)了，由乙繼續(xù)做了40天才完成.如果這件工作由甲或乙單獨(dú)完成各需要多少天？解：共做了6天后，原來(lái)，甲做 24天，乙做 24天，現(xiàn)在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.這說(shuō)明原來(lái)甲24天做的工作，可由乙做16天來(lái)代替.因此甲的工作效率如果乙獨(dú)做，所需時(shí)間是如果甲獨(dú)做，所需時(shí)間是答：甲或乙獨(dú)做所需時(shí)間分別是75天和50天.例3 某工程先由甲獨(dú)做63天，再由乙單獨(dú)做28天即可完成；如果由甲、乙兩人合作，需48天完成.現(xiàn)在甲先單獨(dú)做42天，然后再由乙來(lái)單獨(dú)完成，那么乙還需要做多少天？解：先對(duì)比如下：甲做63天，乙做28天；甲做48天，乙做48天.就知道甲少做63-48=15

5、（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的甲先單獨(dú)做42天，比63天少做了63-42=21（天），相當(dāng)于乙要做因此，乙還要做28+28= 56 （天）.答：乙還需要做 56天.例4 一件工程，甲隊(duì)單獨(dú)做10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做30天完成.現(xiàn)在兩隊(duì)合作，其間甲隊(duì)休息了2天，乙隊(duì)休息了8天（不存在兩隊(duì)同一天休息）.問(wèn)開(kāi)始到完工共用了多少天時(shí)間？解一：甲隊(duì)單獨(dú)做8天，乙隊(duì)單獨(dú)做2天，共完成工作量余下的工作量是兩隊(duì)共同合作的，需要的天數(shù)是 2+8+ 1= 11（天）.答：從開(kāi)始到完工共用了11天.解二：設(shè)全部工作量為30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲隊(duì)單獨(dú)做8天，乙隊(duì)單獨(dú)做

6、2天之后，還需兩隊(duì)合作（30- 3 × 8- 1× 2）÷（3+1）= 1（天）.解三：甲隊(duì)做1天相當(dāng)于乙隊(duì)做3天.在甲隊(duì)單獨(dú)做 8天后，還余下（甲隊(duì)） 10-8= 2（天）工作量.相當(dāng)于乙隊(duì)要做2×3=6（天）.乙隊(duì)單獨(dú)做2天后，還余下（乙隊(duì)）6-2=4（天）工作量.4=3+1，其中3天可由甲隊(duì)1天完成，因此兩隊(duì)只需再合作1天.例5 一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做20天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做30天完成.現(xiàn)在他們兩隊(duì)一起做，其間甲隊(duì)休息了3天，乙隊(duì)休息了若干天.從開(kāi)始到完成共用了16天.問(wèn)乙隊(duì)休息了多少天？解一：如果16天兩隊(duì)都不休息，可以完成的工作量是 由于

7、兩隊(duì)休息期間未做的工作量是乙隊(duì)休息期間未做的工作量是 乙隊(duì)休息的天數(shù)是 答：乙隊(duì)休息了5天半.解二：設(shè)全部工作量為60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份.兩隊(duì)休息期間未做的工作量是（3+2）×16- 60= 20（份）.因此乙休息天數(shù)是（20- 3 × 3）÷ 2= 5.5（天）.解三：甲隊(duì)做2天，相當(dāng)于乙隊(duì)做3天.甲隊(duì)休息3天，相當(dāng)于乙隊(duì)休息4.5天.如果甲隊(duì)16天都不休息，只余下甲隊(duì)4天工作量，相當(dāng)于乙隊(duì)6天工作量，乙休息天數(shù)是16-6-4.5=5.5（天）.例6 有甲、乙兩項(xiàng)工作，張單獨(dú)完成甲工作要10天，單獨(dú)完成乙工作要15天；李單獨(dú)完

8、成甲工作要 8天，單獨(dú)完成乙工作要20天.如果每項(xiàng)工作都可以由兩人合作，那么這兩項(xiàng)工作都完成最少需要多少天？解：很明顯，李做甲工作的工作效率高，張做乙工作的工作效率高.因此讓李先做甲，張先做乙.設(shè)乙的工作量為60份（15與20的最小公倍數(shù)），張每天完成4份，李每天完成3份.8天，李就能完成甲工作.此時(shí)張還余下乙工作（60-4×8）份.由張、李合作需要（60-4×8）÷（4+3）=4（天）.8+4=12（天）.答：這兩項(xiàng)工作都完成最少需要12天.例7 一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做需10天，乙獨(dú)做需15天，如果兩人合作，他要8天完成這項(xiàng)工程，兩人合作天數(shù)盡可能少，那么兩人要合作多

9、少天？解：設(shè)這項(xiàng)工程的工作量為30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份.兩人合作，共完成3× 0.8 + 2 × 0.9= 4.2（份）.因?yàn)閮扇撕献魈鞌?shù)要盡可能少，獨(dú)做的應(yīng)是工作效率較高的甲.因?yàn)橐?天內(nèi)完成，所以?xún)扇撕献鞯奶鞌?shù)是（30-3×8）÷（4.2-3）=5（天）.很明顯，最后轉(zhuǎn)化成“雞兔同籠”型問(wèn)題.例8 甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比單獨(dú)做時(shí)如果這件工作始終由甲一人單獨(dú)來(lái)做，需要多少小時(shí)？解：乙6小時(shí)單獨(dú)工作完成的工作量是 乙每小時(shí)完成的工作量是兩人合作6小時(shí)，甲完成的工作量是 甲單獨(dú)做時(shí)每小時(shí)完成的工

10、作量甲單獨(dú)做這件工作需要的時(shí)間是答：甲單獨(dú)完成這件工作需要33小時(shí).這一節(jié)的多數(shù)例題都進(jìn)行了“整數(shù)化”的處理.但是，“整數(shù)化”并不能使所有工程問(wèn)題的計(jì)算簡(jiǎn)便.例8就是如此.例8也可以整數(shù)化，當(dāng)求出乙每有一點(diǎn)方便，但好處不大.不必多此一舉.二、多人的工程問(wèn)題我們說(shuō)的多人，至少有3個(gè)人，當(dāng)然多人問(wèn)題要比2人問(wèn)題復(fù)雜一些，但是解題的基本思路還是差不多.例9 一件工作，甲、乙兩人合作36天完成，乙、丙兩人合作45天完成，甲、丙兩人合作要60天完成.問(wèn)甲一人獨(dú)做需要多少天完成？解：設(shè)這件工作的工作量是1.甲、乙、丙三人合作每天完成 減去乙、丙兩人每天完成的工作量，甲每天完成答：甲一人獨(dú)做需要9

11、0天完成.例9也可以整數(shù)化，設(shè)全部工作量為180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份.請(qǐng)?jiān)囈辉?，?jì)算是否會(huì)方便些？例10 一件工作，甲獨(dú)做要12天，乙獨(dú)做要18天，丙獨(dú)做要24天.這件工作由甲先做了若干天，然后由乙接著做，乙做的天數(shù)是甲做的天數(shù)的3倍，再由丙接著做，丙做的天數(shù)是乙做的天數(shù)的2倍，終于做完了這件工作.問(wèn)總共用了多少天？解：甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天）.說(shuō)明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做2×6=12(天），三人一共做了2+6+12=20（天）.答：完成這項(xiàng)工作用了20天.本題整數(shù)化會(huì)帶來(lái)計(jì)

12、算上的方便.12，18，24這三數(shù)有一個(gè)易求出的最小公倍數(shù)72.可設(shè)全部工作量為72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.總共用了例11 一項(xiàng)工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙兩人合作1天.問(wèn)這項(xiàng)工程由甲獨(dú)做需要多少天？解：丙2天的工作量，相當(dāng)乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，與乙做4天一樣.也就是甲做1天，相當(dāng)于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.他們共同做13天的工作量，由甲單獨(dú)完成，甲需要 答：甲獨(dú)做需要26天.事實(shí)上，當(dāng)我們算出甲、乙、丙三人工作效率之比是32

13、1，就知甲做1天，相當(dāng)于乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙兩人完成的工作量，可轉(zhuǎn)化為甲再做13天來(lái)完成.例12 某項(xiàng)工作，甲組3人8天能完成工作，乙組4人7天也能完成工作.問(wèn)甲組2人和乙組7人合作多少時(shí)間能完成這項(xiàng)工作？解一：設(shè)這項(xiàng)工作的工作量是1.甲組每人每天能完成 乙組每人每天能完成 甲組2人和乙組7人每天能完成答：合作3天能完成這項(xiàng)工作.解二：甲組3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙組4人7天能完成，因此7人4天能完成.現(xiàn)在已不需顧及人數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：甲組獨(dú)做12天，乙組獨(dú)做4天，問(wèn)合作幾天完成？小學(xué)算術(shù)要充分利用給出數(shù)據(jù)的特殊性.解二是比例靈活運(yùn)用的典

14、型，如果你心算較好，很快就能得出答數(shù).例13 制作一批零件，甲車(chē)間要10天完成，如果甲車(chē)間與乙車(chē)間一起做只要6天就能完成.乙車(chē)間與丙車(chē)間一起做，需要8天才能完成.現(xiàn)在三個(gè)車(chē)間一起做，完成后發(fā)現(xiàn)甲車(chē)間比乙車(chē)間多制作零件2400個(gè).問(wèn)丙車(chē)間制作了多少個(gè)零件？解一：仍設(shè)總工作量為1.甲每天比乙多完成 因此這批零件的總數(shù)是丙車(chē)間制作的零件數(shù)目是答：丙車(chē)間制作了4200個(gè)零件.解二：10與6最小公倍數(shù)是30.設(shè)制作零件全部工作量為30份.甲每天完成 3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份.乙、丙一起，8天完成.乙完成8×2=16（份），丙完成30-16=14（份），就知

15、乙、丙工作效率之比是1614=87.已知甲、乙工作效率之比是 32= 128.綜合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是1287.當(dāng)三個(gè)車(chē)間一起做時(shí)，丙制作的零件個(gè)數(shù)是2400÷（12- 8） × 7= 4200（個(gè)）.例14 搬運(yùn)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨物，甲需要10小時(shí)，乙需要12小時(shí)，丙需要15小時(shí).有同樣的倉(cāng)庫(kù)A和B，甲在A倉(cāng)庫(kù)、乙在B倉(cāng)庫(kù)同時(shí)開(kāi)始搬運(yùn)貨物，丙開(kāi)始幫助甲搬運(yùn)，中途又轉(zhuǎn)向幫助乙搬運(yùn).最后兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)貨物同時(shí)搬完.問(wèn)丙幫助甲、乙各多少時(shí)間？解：設(shè)搬運(yùn)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨物的工作量是1.現(xiàn)在相當(dāng)于三人共同完成工作量2，所需時(shí)間是答：丙幫助甲搬運(yùn)3小時(shí)，幫助乙搬運(yùn)5小時(shí).解本題的關(guān)鍵，

16、是先算出三人共同搬運(yùn)兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的時(shí)間.本題計(jì)算當(dāng)然也可以整數(shù)化，設(shè)搬運(yùn)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)全部工作量為 60.甲每小時(shí)搬運(yùn) 6，乙每小時(shí)搬運(yùn) 5，丙每小時(shí)搬運(yùn)4.三人共同搬完，需要60 × 2÷ （6+ 5+ 4）= 8（小時(shí)）.甲需丙幫助搬運(yùn)（60- 6× 8）÷ 4= 3（小時(shí)）.乙需丙幫助搬運(yùn)（60- 5× 8）÷4= 5（小時(shí)）.三、水管問(wèn)題從數(shù)學(xué)的內(nèi)容來(lái)看，水管問(wèn)題與工程問(wèn)題是一樣的.水池的注水或排水相當(dāng)于一項(xiàng)工程，注水量或排水量就是工作量.單位時(shí)間里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的問(wèn)題，不過(guò)是工作量有加有減罷了.因此

17、，水管問(wèn)題與工程問(wèn)題的解題思路基本相同.例15 甲、乙兩管同時(shí)打開(kāi)，9分鐘能注滿水池.現(xiàn)在，先打開(kāi)甲管，10分鐘后打開(kāi)乙管，經(jīng)過(guò)3分鐘就注滿了水池.已知甲管比乙管每分鐘多注入0.6立方米水，這個(gè)水池的容積是多少立方米？甲每分鐘注入水量是 乙每分鐘注入水量是因此水池容積是 答：水池容積是27立方米.例16 有一些水管，它們每分鐘注水量都相等.現(xiàn)在按預(yù)定時(shí)間注滿水池，如果開(kāi)始時(shí)就打開(kāi)10根水管，中途不增開(kāi)水管，也能按預(yù)定時(shí)間注滿水池.問(wèn)開(kāi)始時(shí)打開(kāi)了幾根水管？答：開(kāi)始時(shí)打開(kāi)6根水管.例17 蓄水池有甲、丙兩條進(jìn)水管，和乙、丁兩條排水管.要灌滿一池水，單開(kāi)甲管需3小時(shí)，單開(kāi)丙管需要

18、5小時(shí).要排光一池水，單開(kāi)乙管需要、乙、的順序輪流打開(kāi)1小時(shí)，問(wèn)多少時(shí)間后水開(kāi)始溢出水池？，否則開(kāi)甲管的過(guò)程中水池里的水就會(huì)溢出.以后（20小時(shí)），池中的水已有 此題與廣為流傳的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉進(jìn)了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能到達(dá)井口，每小時(shí)它總是爬3尺，又滑下2尺.問(wèn)這只青蛙需要多少小時(shí)才能爬到井口？看起來(lái)它每小時(shí)只往上爬3- 2= 1（尺），但爬了27小時(shí)后，它再爬1小時(shí)，往上爬了3尺已到達(dá)井口.因此，答案是28小時(shí)，而不是30小時(shí).例18 一個(gè)蓄水池，每分鐘流入4立方米水.如果打開(kāi)5個(gè)水龍頭，2小時(shí)半就把水池水放空，如果打開(kāi)8個(gè)水龍頭，1小時(shí)半就把水池水放空.現(xiàn)

19、在打開(kāi)13個(gè)水龍頭，問(wèn)要多少時(shí)間才能把水放空？解：先計(jì)算1個(gè)水龍頭每分鐘放出水量.2小時(shí)半比1小時(shí)半多60分鐘，多流入水4 × 60= 240（立方米）.時(shí)間都用分鐘作單位，1個(gè)水龍頭每分鐘放水量是240 ÷ （ 5× 150- 8 × 90）= 8（立方米），8個(gè)水龍頭1個(gè)半小時(shí)放出的水量是8 × 8 × 90，其中 90分鐘內(nèi)流入水量是 4 × 90，因此原來(lái)水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）.打開(kāi)13個(gè)水龍頭每分鐘可以放出水8×13，除去每分鐘

20、流入4，其余將放出原存的水，放空原存的5400，需要5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分鐘）.答：打開(kāi)13個(gè)龍頭，放空水池要54分鐘.水池中的水，有兩部分，原存有水與新流入的水，就需要分開(kāi)考慮，解本題的關(guān)鍵是先求出池中原存有的水.這在題目中卻是隱含著的.例19 一個(gè)水池，地下水從四壁滲入池中，每小時(shí)滲入水量是固定的.打開(kāi)A管，8小時(shí)可將滿池水排空，打開(kāi)C管，12小時(shí)可將滿池水排空.如果打開(kāi)A，B兩管，4小時(shí)可將水排空.問(wèn)打開(kāi)B，C兩管，要幾小時(shí)才能將滿池水排空？解：設(shè)滿水池的水量為1.A管每小時(shí)排出 A管4小時(shí)排出因此，B，C兩管齊開(kāi)，每小時(shí)排水量是

21、60;B，C兩管齊開(kāi)，排光滿水池的水，所需時(shí)間是 答： B， C兩管齊開(kāi)要 4 小時(shí) 48分才將滿池水排完.本題也要分開(kāi)考慮，水池原有水（滿池）和滲入水量.由于不知具體數(shù)量，像工程問(wèn)題不知工作量的具體數(shù)量一樣.這里把兩種水量分別設(shè)成“1”.但這兩種量要避免混淆.事實(shí)上，也可以整數(shù)化，把原有水設(shè)為8與12的最小公倍數(shù) 24.17世紀(jì)英國(guó)偉大的科學(xué)家牛頓寫(xiě)過(guò)一本普遍算術(shù)一書(shū)，書(shū)中提出了一個(gè)“牛吃草”問(wèn)題，這是一道饒有趣味的算術(shù)題.從本質(zhì)上講，與例18和例19是類(lèi)同的.題目涉及三種數(shù)量：原有草、新長(zhǎng)出的草、牛吃掉的草.這與原有水量、滲入水量、水管排出的水量，是完全類(lèi)同的.例20 有三片牧場(chǎng)

22、，場(chǎng)上草長(zhǎng)得一樣密，而且長(zhǎng)得一草；21頭牛9星期吃完第二片牧場(chǎng)的草.問(wèn)多少頭牛18星期才能吃完第三片牧場(chǎng)的草？解：吃草總量=一頭牛每星期吃草量×牛頭數(shù)×星期數(shù).根據(jù)這一計(jì)算公式，可以設(shè)定“一頭牛每星期吃草量”作為草的計(jì)量單位.原有草+4星期新長(zhǎng)的草=12×4.原有草+9星期新長(zhǎng)的草=7×9.由此可得出，每星期新長(zhǎng)的草是（7×9-12×4）÷（9-4）=3.那么原有草是7×9-3×9=36（或者12×4-3×4）.對(duì)第三片牧場(chǎng)來(lái)說(shuō)，原有草和18星期新長(zhǎng)出草的總量是這些草能讓90×

23、;7.2÷18=36（頭）牛吃18個(gè)星期.答：36頭牛18個(gè)星期能吃完第三片牧場(chǎng)的草.例20與例19的解法稍有一點(diǎn)不一樣.例20把“新長(zhǎng)的”具體地求出來(lái)，把“原有的”與“新長(zhǎng)的”兩種量統(tǒng)一起來(lái)計(jì)算.事實(shí)上，如果例19再有一個(gè)條件，例如：“打開(kāi)B管，10小時(shí)可以將滿池水排空.”也就可以求出“新長(zhǎng)的”與“原有的”之間數(shù)量關(guān)系.但僅僅是例19所求，是不需要加這一條件.好好想一想，你能明白其中的道理嗎？“牛吃草”這一類(lèi)型問(wèn)題可以以各種各樣的面目出現(xiàn).限于篇幅，我們只再舉一個(gè)例子.例21 畫(huà)展9點(diǎn)開(kāi)門(mén)，但早有人排隊(duì)等候入場(chǎng).從第一個(gè)觀眾來(lái)到時(shí)起，每分鐘來(lái)的觀眾人數(shù)一樣多.如果開(kāi)3個(gè)入場(chǎng)口，9點(diǎn)

24、9分就不再有人排隊(duì)，如果開(kāi)5個(gè)入場(chǎng)口，9點(diǎn)5分就沒(méi)有人排隊(duì).問(wèn)第一個(gè)觀眾到達(dá)時(shí)間是8點(diǎn)幾分？解：設(shè)一個(gè)入場(chǎng)口每分鐘能進(jìn)入的觀眾為1個(gè)計(jì)算單位.從9點(diǎn)至9點(diǎn)9分進(jìn)入觀眾是3×9，從9點(diǎn)至9點(diǎn)5分進(jìn)入觀眾是5×5.因?yàn)橛^眾多來(lái)了9-5=4（分鐘），所以每分鐘來(lái)的觀眾是（3×9-5×5）÷（9-5）=0.5.9點(diǎn)前來(lái)的觀眾是5×5-0.5×5=22.5.這些觀眾來(lái)到需要22.5÷0.5=45（分鐘）.答：第一個(gè)觀眾到達(dá)時(shí)間是8點(diǎn)15分.從例20和例21中，我們也注意到，設(shè)置計(jì)算單位的重要性.選擇適當(dāng)?shù)牧孔鳛橛?jì)算單位，往往

25、使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單且易于表達(dá).本書(shū)中多次提到設(shè)單位問(wèn)題，請(qǐng)同學(xué)們注意學(xué)習(xí).應(yīng)用題：奧數(shù)中的“工程問(wèn)題”例題解析工程問(wèn)題，究其本質(zhì)是運(yùn)用分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的量率對(duì)應(yīng)關(guān)系，即用對(duì)應(yīng)分率表示工作總量與工作效率，這種方法可以稱(chēng)作是一種“工程習(xí)慣”，這一類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)之為“工程問(wèn)題”。解題關(guān)鍵是把“一項(xiàng)工程”看成一個(gè)單位，運(yùn)用公式：工作效率×工作時(shí)間=工作總量，表示出各個(gè)工程隊(duì)（人員）或其組合在統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)和單位下的工作效率。利用常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法，如代換法、比例法、列表法、方程法等。拋開(kāi)“工作總量”，和“時(shí)間”，抓住題目給出的工作效率之間的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化出與所求相關(guān)的工作效率，最后利用先前的假設(shè)“把整個(gè)工程看成一

26、個(gè)單位”，求得問(wèn)題答案，一般情況下，工程問(wèn)題求的是時(shí)間。有的情況下，工程問(wèn)題并不表現(xiàn)為兩個(gè)工程隊(duì)在“修路筑橋、開(kāi)挖河渠”，甚至?xí)憩F(xiàn)為“行程問(wèn)題”、“經(jīng)濟(jì)價(jià)格問(wèn)題”等等，工程問(wèn)題不僅指一種題型，更是一種解題方法。奧數(shù)中的“列方程解應(yīng)用題”一、等式的基本性質(zhì)1.等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，結(jié)果還是等式.2.等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果還是等式.二、列方程解應(yīng)用題是用字母來(lái)代替未知數(shù)，根據(jù)等量關(guān)系列出含有未知數(shù)的等式，然后解出未知數(shù)的值這個(gè)含有未知數(shù)的等式就是方程列方程解應(yīng)用題的優(yōu)點(diǎn)在于可以使未知數(shù)直接參加運(yùn)算解這類(lèi)應(yīng)用題的關(guān)鍵在于能夠正確地設(shè)立未知數(shù)，找出等量關(guān)系從而建立方程三、列方程解應(yīng)用題的主要步驟是：1.仔細(xì)審題找出題目中涉及到的各個(gè)量中的關(guān)鍵量，這個(gè)量最好能和題目中的其他量有著緊密的數(shù)量關(guān)系；2.設(shè)這個(gè)量為，用含的代數(shù)式來(lái)表示題目中的其他量；3.找到題目中的等量關(guān)系，建立方程；4.運(yùn)用加減法、乘除法的互逆關(guān)系解方程；5.通過(guò)求到的關(guān)鍵量求得題目答案解工程問(wèn)題必備公式【工程問(wèn)題公式】（1）一般公式：工效×工時(shí)=工作