公式法1名師教案人教版八年級上冊數(shù)學

1、第十四章 整式的乘法與因式分解14.3 因式分解（第二課時）14.3.2 公式法（1）（袁 梅）一、教學目標（一）學習目標1.掌握平方差公式的特點.2.會運用平方差公式因式分解.3.能熟練運用平方差公式和提公因式法分解因式.（二）學習重點 掌握平方差公式的特點，運用平方差公式進行因式分解.（三）學習難點 熟練運用平方差公式進行因式分解.二、教學設(shè)計（一）課前設(shè)計1.預(yù)習任務(wù)（1）因式分解中的平方差公式：文字語言：兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的 和 與這兩個數(shù)的 差 的積.符號語言： . 其中a、b既可以是具體的數(shù)，也可以是 單項式、多項式 .（2）平方差公式的特點：從多項式的項來看，它只有 兩

2、 項，都能寫成兩個數(shù)（或整式）的平方 的形式，且這兩項的符號 相反 ，因式分解后寫成這兩個數(shù)（或整式）的和乘以這兩個數(shù)的差.如：= .2. 預(yù)習自測（1）下列多項式中不能用平方差公式分解因式的是（ ）A B C D 【知識點】平方差公式【思路點撥】判斷一個多項式是否能用平方差公式因式分解的關(guān)鍵是：該多項式能否寫成兩個數(shù)（或整式）的平方差的形式.【解題過程】A能寫成 ，可以用平方差公式因式分解；B能寫成，可以用平方差公式因式分解；C交換位置可得，能寫成，可以用平方差公式因式分解；D是平方和的形式，不能用平方差公式因式分解.故選D.【答案】D（2）下列因式分解正確的是（ ）A B C D 【知識點

3、】用平方差公式分解因式【思路點撥】用平方差公式分解因式時，關(guān)鍵是識別該多項式是否符合平方差公式的特點，并能寫出該多項式能寫成哪兩個數(shù)（或整式）的平方的形式，最后寫成這兩個數(shù)（或整式）的和乘以這兩個數(shù)（或整式）的差.【解題過程】選項A的錯誤是 應(yīng)表示 ；選項B不能進行因式分解，注意若無特殊說明，因式分解時應(yīng)在有理數(shù)范圍類進行；選項D應(yīng)該為，注意辨析公式中的a，b；選項C正確.【答案】C（3）因式分解： = .【知識點】用平方差公式分解因式【數(shù)學思想】整體思想【思路點撥】將中的看成一個整體，相當于公式中的a，4寫成，所以公式中的b即為2，直接用平方差公式分解即可.【解題過程】【答案】（4）因式分解

4、： = .【知識點】平方差公式和提公因式法分解因式【思路點撥】觀察此多項式發(fā)現(xiàn)有公因式x，所以應(yīng)先提公因式，得，此時還可以用平方差公式進行因式分解，注意將因式分解進行到底.【解題過程】【答案】(二)課堂設(shè)計1.知識回顧把下列各式因式分解： （1） ； （2）.學生回答：（1） ；（2）.2.問題探究 探究一 探索因式分解的方法平方差公式.活動 比一比，算一算與老師比一比，看誰算得又對又快！（1） ；（2）； （3） .教師一口答出各題答案（1）49；（2）10；（3） .此時學生可能會產(chǎn)生懷疑，教師應(yīng)立即讓學生現(xiàn)場出類似的計算題，教師再回答，激發(fā)學生求知欲.【設(shè)計意圖】對于這類計算題，學生已在

5、七年級就會解決，學生一般按先平方再算減法的順序進行，還不能簡便計算，而教師利用平方差公式先因式分解再計算，速度較快，這樣會激發(fā)學生的求知欲，調(diào)動學習積極性.為本節(jié)課的學習創(chuàng)造積極氛圍，同時也為學習平方差公式的特點提供感性認識.活動 探索平方差公式. 教師：通過前面的學習我們已知道因式分解與整式的乘法是互逆變形的關(guān)系，請大家計算下列各題：（1） ；（2） 學生獨立完成：（1） ；（2） 追問：逆向思維，你能將（1） ；（2） 因式分解嗎？學生思考后回答：（1）；（2）.教師：我們將整式乘法中的平方差公式 等號兩邊互換位置，就得到：，即兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積.這樣我可利

6、用此平方差公式對某些特殊的多項式進行因式分解.【設(shè)計意圖】通過具體問題的解決，讓學生在觀察、思考過程中，發(fā)現(xiàn)將整式乘法中的平方差公式 等號兩邊互換位置，就得到：，利用平方差公式可以把某些特殊形式的多項式分解因式，從而自然得到因式分解的又一種方法運用公式法.活動 剖析平方差公式討論：平方差公式有什么特點？學生獨立思考后，分小組討論，再歸納總結(jié).平方差公式的特點：等號左邊，從多項式的項來看，它只有兩項，都能寫成兩個數(shù)（或整式）的平方的形式，且這兩項的符號相反，等號右邊，因式分解后寫成這兩個數(shù)（或整式）的和乘以這兩個數(shù)的差.特別提醒：公式中的a、b可以代表多項式.【設(shè)計意圖】運用平方差公式因式分解，

7、則該多項式必須滿足平方差公式的條件，因此掌握平方差公式因式分解的先決條件是先判斷該多項式是否能運用平方差公式.通過對平方差公式的剖析，使學生掌握公式的特點，為正確運用公式進行因式分解奠定基礎(chǔ).探究二 直接運用平方差公式因式分解 活動 鋪路之石你能將下列多項式變形為的形式嗎？（1） ；（2） ；（3） ；（4） .學生獨立思考后小組討論，再集體訂正.答案：（1）；（2）；（3）不能；（4）【設(shè)計意圖】讓學生將多項式變形為平方差公式的形式，進一步掌握平方差公式的特點，為順利進行因式分解鋪路. 活動 公式中的a、b代表單項式的因式分解 例1 分解因式：（1） ；（2） .學生嘗試后回答，教師巡視幫助

8、,特別關(guān)注學生是否能正確變形，將原多項式寫成的形式，尤其是第（2）題，需正確辨析公式中的a、b.【知識點】運用平方差公式分解因式【解題過程】解：（1）；（2）【思路點撥】（1）先將原多項式變形為，認清誰是公式中的a、b，再進行因式分解 ；（2）可將多項式的兩項交換位置，變形為，再因式分解. 【答案】 （1）（2）.練習：因式分解（1） ；（2） 【知識點】運用平方差公式分解因式【解題過程】解：（1）；（2）【思路點撥】（1）先將原多項式變形為，認清誰是公式中的a、b，再進行因式分解 ；（2）可將多項式的兩項交換位置，變形為，再因式分解. 【答案】 （1）（2）.活動 公式中的a、b代表多項式的

9、因式分解 例2 分解因式：（1） ；（2） .【知識點】運用平方差公式分解因式【數(shù)學思想】整體思想【解題過程】（1） ；（2） 【思路點撥】在（1）中，把x+p和x+q各看成一個整體，相當于x+p=a，x+q=b，則原式可化利用平方差公式進行因式分解；在（2）中將化成，把看成一個整體，相當于公式中的a，再因式分解. 【答案】 （1）（2）.練習：分解因式（1） ；（2） 【知識點】運用平方差公式分解因式【數(shù)學思想】整體思想【解題過程】（1） ；（2）【思路點撥】在（1）中，把a-b看成一個整體，則原式可化利用平方差公式進行因式分解；在（2）中將化成，把看成一個整體，相當于公式中的a， 5(a-

10、b)看成一個整體，相當于公式中的b，再因式分解. 注意：分解成的兩個因式要進行去括號化簡，若有同類項，要合并同類項，直至分解到不能再分解為止.【答案】 （1）（2）.探究三 綜合應(yīng)用 活動 例3 分解因式：（1） ；（2） .【知識點】運用提公因式法、平方差公式分解因式【解題過程】解：（1）；（2）.【思路點撥】對于（1），可以寫成的形式，這樣就可以運用平方差公式進行因式分解了，注意繼續(xù)將分解因式；對于（2），有公因式ab，應(yīng)先提公因式，再進一步分解. 【答案】（1）；（2）.練習：把下列各式分解因式：（1） ；（2）；【知識點】運用提公因式法、平方差公式分解因式【解題過程】解：（1）；（2）

11、.【思路點撥】對于（1），可以寫成的形式，這樣就可以運用平方差公式進行因式分解了，注意繼續(xù)將分解因式；對于（2），有公因式2a，應(yīng)先提公因式，再進一步分解. 【答案】（1）；（2）活動 比一比，算一算 教師：大家現(xiàn)在知道剛才“比一比，算一算”環(huán)節(jié)中，老師為什么能較快計算結(jié)果了嗎？計算：（1） ；（2） 【答案】（1）4.76；（2）5600【設(shè)計意圖】此環(huán)節(jié)與引入環(huán)節(jié)相呼應(yīng)，學習了運用平方差公式進行因式分解后，可利用因式分解將某些特殊的計算題進行簡化運算.滲透學生的數(shù)學運用意識.3. 課堂總結(jié)知識梳理（1）因式分解中的平方差公式：兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積.符號語言：

12、.其中a、b既可以是具體的數(shù)，也可以是單項式、多項式 .（2）平方差公式的特點：從多項式的項來看，它只有兩項，都能寫成兩個數(shù)（或整式）的平方的形式，且這兩項的符號相反，因式分解后寫成這兩個數(shù)（或整式）的和乘以這兩個數(shù)的差.重難點歸納（1）平方差公式使用的條件是：此多項式是兩項的差的形式，而且這兩項都可以寫成一個數(shù)或整式的平方的形式. .其中a、b既可以是具體的數(shù)，也可以是單項式、多項式 .（2）當多項式的兩項是兩個多項式的平方時，分解成的兩個因式要進行去括號化簡，若有同類項，要合并同類項，直至分解到不能再分解為止.（3）因式分解時應(yīng)先觀察是否有公因式，若有，應(yīng)先提公因式，再運用平方差公式分解因

13、式.(三)課后作業(yè)基礎(chǔ)型 自主突破1.下列多項式中能用平方差公式分解因式的是（ ）A B C D 【知識點】平方差公式因式分解【思路點撥】判斷一個多項式是否能用平方差公式因式分解的關(guān)鍵是：該多項式能否寫成兩個數(shù)（或整式）的平方差的形式.【解題過程】A兩項的符號相同，不能分解；B兩項的符號相同，不能分解； C交換位置可得，能寫成，可以用平方差公式因式分解；D第二項不是平方項，不能用平方差公式因式分解.故選C.【答案】C2.將多項式分解因式，結(jié)果正確的是（ ）A B C D 【知識點】平方差公式因式分解【思路點撥】觀察該多項式能寫成兩項的平方差的形式，即 ，可用平方差公式進行因式分解，注意分解徹底

14、.【解題過程】，故選D【答案】D3. 計算 ，結(jié)果正確的是（ ）A70 B700 C7000 D4900 【知識點】平方差公式因式分解【思路點撥】直接利用平方差公式可使計算簡化.【解題過程】， C正確.【答案】C4.若a+b=3，ab=5，則 的值為（ ）A15 B15 C8 D8【知識點】平方差公式因式分解【思路點撥】根據(jù)平方差公式可將分解因式，再將已知條件代入求值即可，注意ab與ba的關(guān)系.【解題過程】，a+b=3，ab=5， 故選B【答案】B5. 把下列各式進行因式分解： （1）= ； （2）= ；（3）=_ ；【知識點】平方差公式因式分解【思路點撥】注意將多項式寫成兩個數(shù)的平方的形式，

15、找準公式中的a、b進行因式分解.【解題過程】（1）；（2）；（3）【答案】（1）；（2）；（3）.6. 已知 ，則的值為_.【知識點】平方差公式，非負性的運用【思路點撥】由任何數(shù)的平方具有非負性，且可得x+y=5，xy=-2，再將多項式分解因式，代入計算即可.【解題過程】解：，且，x+y=5，xy=-2，.【答案】10.能力型 師生共研7. 若a是整數(shù)，則 一定能（ ）.A被6整除 B被5整除 C被4整除 D被3整除【知識點】平方差公式因式分解【思路點撥】先將多項式進行因式分解，再觀察該多項式能寫成哪些數(shù)的積的形式，即可判斷能被誰整除.【解題過程】，故該多項式能被4整除，選C.【答案】C8.

16、將下列各式因式分解：（1）； （2）； (3) ；（4） ；【知識點】平方差公式因式分解【思路點撥】注意將多項式寫成兩個數(shù)的平方的形式，找準公式中的a、b進行因式分解,多項式中有公因式時，要先提公因式再分解，還需注意分解徹底.【解題過程】（1）.（2）；（3）(4) 【答案】（1）；（2）；（3）；(4) 探究型 多維突破9.已知a、b、c為ABC的三邊長，且滿足，則ABC的形狀是 .【知識點】平方差公式因式分解，三角形的分類【思路點撥】已知三角形的三邊滿足，判斷三角形的形狀，顯然是將三角形按邊分類，則應(yīng)得到邊的具體關(guān)系，所以應(yīng)將等式 變形解決.【解題過程】解：， ，即，則，又>0，且a

17、、b均為正數(shù)，所以a=b.故三角形為等腰三角形.【答案】等腰三角形.10.閱讀題：對于式子 ，我們可以寫成 ，由平方差公式可知：，我們把這種變形方法稱為對在實數(shù)范圍內(nèi)進行因式分解.根據(jù)此介紹，請將下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)進行因式分解：（1） ；（2） ；（3） 【知識點】運用平方差公式因式分解【思路點撥】在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解的關(guān)鍵是將有理數(shù)正確地寫成一個數(shù)的平方的形式，在利用平方差公式分解因式.【解題過程】解：（1） ；（2） ；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）.自助餐1. 下列各式能用平方差公式分解因式的有（ ）A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個 【知識點】平方差公式【思路點撥

18、】判斷一個多項式是否能用平方差公式因式分解的關(guān)鍵是：該多項式能否寫成兩個數(shù)（或整式）的平方差的形式.【解題過程】中兩項的符號相同，不能分解；交換位置可得，可以用平方差公式因式分解；中兩項的符號相同，不能分解； 可寫成，能用平方差公式因式分解.故選B.【答案】B2. 將多項式分解因式，結(jié)果正確的是（ ）A B C D【知識點】平方差公式分解因式【思路點撥】觀察多項式，先確定是否有公因式可提，再考慮用平方差公式進行因式分解.【解題過程】，故選C【答案】C3. 已知 ，則的值為（ ）.A0 B1 C3 D4【知識點】平方差公式分解因式【解題過程】解：，原式=1. 【思路點撥】先將多項式的前兩項分解因式，再將代入計算，又可變出，從而解決問題.【答案】B.4.運用因式分解計算.【知識點】平方差公式因式分解的運用【思路點撥】已知式子可先想是否能用平方差公式進行因式分解，即能否直接寫出