初三數(shù)學(xué)中考專題-對稱最短距離

1、說明：1. 試題左側(cè)二維碼為該題目對應(yīng)解析；2. 請同學(xué)們在獨(dú)立解答無法完成題目后再掃描二維碼查看解析，杜絕抄襲；3. 查看解析還是無法掌握題目的，可按下方“向老師求助”按鈕；4. 組卷老師可在試卷下載頁面查看學(xué)生掃描二維碼查看解析情況統(tǒng)計(jì)，了解班級整體學(xué)習(xí)情況，確定講解重點(diǎn)；5. 公測期間二維碼查看解析免扣優(yōu)點(diǎn)，對試卷的使用方面的意見和建議，歡迎通過“意見反饋”告之。初三數(shù)學(xué)中考專題-對稱最短距離一選擇題（共5小題）1（2002鄂州）如圖，掛著“慶祝鳳凰廣場竣工”條幅的氫氣球升在廣場上空，已知?dú)馇虻闹睆綖?m，在地面A點(diǎn)測得氣球中心O的仰角OAD=60°，測得氣球的視角BAC=2&

2、#176;（AB、AC為O的切線，B、C為切點(diǎn)）則氣球中心O離地面的高度OD為（）（精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin1°=0.0175，=1.732）A94mB95mC99mD105m2（2014貴港）如圖，在RtABC中，ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是BAC的平分線若P，Q分別是AD和AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是（）AB4CD53（2014安順）如圖，MN是半徑為1的O的直徑，點(diǎn)A在O上，AMN=30°，點(diǎn)B為劣弧AN的中點(diǎn)P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為（）AB1C2D24（2012臺州）如圖，菱形ABCD中，AB=2，A=120&

3、#176;，點(diǎn)P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為（）A1BC2D+15（2011本溪）如圖，正方形ABCD的邊長是4，DAC的平分線交DC于點(diǎn)E，若點(diǎn)P、Q分別是AD和AE上的動(dòng)點(diǎn)，則DQ+PQ的最小值（）A2B4C2D4二填空題（共17小題）6（2013泰安）如圖，某海監(jiān)船向正西方向航行，在A處望見一艘正在作業(yè)漁船D在南偏西45°方向，海監(jiān)船航行到B處時(shí)望見漁船D在南偏東45°方向，又航行了半小時(shí)到達(dá)C處，望見漁船D在南偏東60°方向，若海監(jiān)船的速度為50海里/小時(shí)，則A，B之間的距離為_海里（取，結(jié)果精確到0.1海里）7（

4、2011莆田）如圖，一束光線從點(diǎn)A（3，3）出發(fā)，經(jīng)過y軸上點(diǎn)C反射后經(jīng)過點(diǎn)B（1，0），則光線從點(diǎn)A到點(diǎn)B經(jīng)過的路徑長為_8（2014龍東地區(qū)）如圖，菱形ABCD中，對角線AC=6，BD=8，M、N分別是BC、CD的中點(diǎn)，P是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PM+PN的最小值是_9（2014無錫）如圖，菱形ABCD中，A=60°，AB=3，A、B的半徑分別為2和1，P、E、F分別是邊CD、A和B上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF的最小值是_10（2014東營）在O中，AB是O的直徑，AB=8cm，=，M是AB上一動(dòng)點(diǎn)，CM+DM的最小值是_cm11（2014莆田）如圖，菱形ABCD的邊長為4，BAD=

5、120°，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，則EF+BF的最小值是_12（2014青島）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD=2，BCD=60°，對角線AC平分BCD，E，F(xiàn)分別是底邊AD，BC的中點(diǎn)，連接EF點(diǎn)P是EF上的任意一點(diǎn)，連接PA，PB，則PA+PB的最小值為_13（2014錦州）菱形ABCD的邊長為2，ABC=60°，E是AD邊中點(diǎn)，點(diǎn)P是對角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AP+PE的值最小時(shí)，PC的長是_14（2014黔東南州）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P是直線y=x上的動(dòng)點(diǎn)，A（1，0），B（2，0）是x軸上的兩點(diǎn)，則PA+PB的最小值為_15（20

6、13資陽）如圖，在RtABC中，C=90°，B=60°，點(diǎn)D是BC邊上的點(diǎn)，CD=1，將ABC沿直線AD翻折，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)P是直線AD上的動(dòng)點(diǎn)，則PEB的周長的最小值是_16（2013內(nèi)江）已知菱形ABCD的兩條對角線分別為6和8，M、N分別是邊BC、CD的中點(diǎn)，P是對角線BD上一點(diǎn)，則PM+PN的最小值=_17（2013遼陽）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)P在BC邊上，且BP=1，Q為對角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則BPQ周長的最小值為_18（2013達(dá)州）如圖，折疊矩形紙片ABCD，使B點(diǎn)落在AD上一點(diǎn)E處，折痕的兩端點(diǎn)分別在AB、BC上（含端點(diǎn)）

7、，且AB=6，BC=10設(shè)AE=x，則x的取值范圍是_19（2012鄂州）在銳角三角形ABC中，BC=，ABC=45°，BD平分ABC，M、N分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是_20（2010濱州）如圖，等邊ABC的邊長為6，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，若AE=2，EM+CM的最小值為_21（2008廣安）如圖，菱形ABCD中，BAD=60°，M是AB的中點(diǎn)，P是對角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若PM+PB的最小值是3，則AB長為_22（2001海南）如圖，在邊長為6的菱形ABCD中，DAB=60°，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC上的

8、一動(dòng)點(diǎn)，則EF+BF的最小值為_三解答題（共2小題）23（2013遂寧）釣魚島自古以來就是我國的神圣領(lǐng)土，為維護(hù)國家主權(quán)和海洋權(quán)利，我國海監(jiān)和漁政部門對釣魚島 海域?qū)崿F(xiàn)了常態(tài)化巡航管理如圖，某日在我國釣魚島附近海域有兩艘自西向東航行的海監(jiān)船A、B，B船在A船的正東方向，且兩船保持20海里的距離，某一時(shí)刻兩海監(jiān)船同時(shí)測得在A的東北方向，B的北偏東15°方向有一我國漁政執(zhí)法船C，求此時(shí)船C與船B的距離是多少（結(jié)果保留根號）24（2013南充）如圖，公路AB為東西走向，在點(diǎn)A北偏東36.5°方向上，距離5千米處是村莊M；在點(diǎn)A北偏東53.5°方向上，距離10千米處是村莊

9、N（參考數(shù)據(jù)；sin36.5°=0.6，cos36.5°=0.8，tan36.5°=0.75）（1）求M，N兩村之間的距離；（2）要在公路AB旁修建一個(gè)土特產(chǎn)收購站P，使得M，N兩村到P的距離之和最短，求這個(gè)最短距離初三數(shù)學(xué)中考專題-對稱最短距離參考答案與試題解析一選擇題（共5小題）1（2002鄂州）如圖，掛著“慶祝鳳凰廣場竣工”條幅的氫氣球升在廣場上空，已知?dú)馇虻闹睆綖?m，在地面A點(diǎn)測得氣球中心O的仰角OAD=60°，測得氣球的視角BAC=2°（AB、AC為O的切線，B、C為切點(diǎn)）則氣球中心O離地面的高度OD為（）（精確到1m，參考數(shù)據(jù)：s

10、in1°=0.0175，=1.732）A94mB95mC99mD105m考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題分析：連接圓心和切點(diǎn)，利用構(gòu)造的直角三角形求得OA長，進(jìn)而求得所求線段長解答：解：連接OC在RtOAC中，OC=2，OAC=1°AO=114.2在RtOAD中，有OD=OA×sin60°99故選C點(diǎn)評：本題考查仰角的定義，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形，建立數(shù)學(xué)模型并解直角三角形2（2014貴港）如圖，在RtABC中，ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是BAC的平分線若P，Q分別是AD和AC上的動(dòng)點(diǎn)，則

11、PC+PQ的最小值是（）AB4CD5考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：過點(diǎn)C作CMAB交AB于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQAC于點(diǎn)Q，由AD是BAC的平分線得出PQ=PM，這時(shí)PC+PQ有最小值，即CM的長度，運(yùn)用勾股定理求出AB，再運(yùn)用SABC=ABCM=ACBC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值解答：解：如圖，過點(diǎn)C作CMAB交AB于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQAC于點(diǎn)Q，AD是BAC的平分線PQ=PM，這時(shí)PC+PQ有最小值，即CM的長度，AC=6，BC=8，ACB=90°，AB=10SABC=ABCM=ACBC，CM=，即PC+PQ的最小值為故選：C點(diǎn)評

12、：本題主要考查了軸對稱問題，解題的關(guān)鍵是找出滿足PC+PQ有最小值時(shí)點(diǎn)P和Q的位置3（2014安順）如圖，MN是半徑為1的O的直徑，點(diǎn)A在O上，AMN=30°，點(diǎn)B為劣弧AN的中點(diǎn)P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為（）AB1C2D2考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題；勾股定理；垂徑定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：作點(diǎn)B關(guān)于MN的對稱點(diǎn)B，連接OA、OB、OB、AB，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題可得AB與MN的交點(diǎn)即為PA+PB的最小時(shí)的點(diǎn)，根據(jù)在同圓或等圓中，同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍求出AON=60°，然后求出BON=30°，再根據(jù)對稱性可得BON=BON=30&

13、#176;，然后求出AOB=90°，從而判斷出AOB是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AB=OA，即為PA+PB的最小值解答：解：作點(diǎn)B關(guān)于MN的對稱點(diǎn)B，連接OA、OB、OB、AB，則AB與MN的交點(diǎn)即為PA+PB的最小時(shí)的點(diǎn)，PA+PB的最小值=AB，AMN=30°，AON=2AMN=2×30°=60°，點(diǎn)B為劣弧AN的中點(diǎn)，BON=AON=×60°=30°，由對稱性，BON=BON=30°，AOB=AON+BON=60°+30°=90°，AOB是等腰直角三

14、角形，AB=OA=×1=，即PA+PB的最小值=故選：A點(diǎn)評：本題考查了軸對稱確定最短路線問題，在同圓或等圓中，同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍的性質(zhì)，作輔助線并得到AOB是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵4（2012臺州）如圖，菱形ABCD中，AB=2，A=120°，點(diǎn)P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為（）A1BC2D+1考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題；菱形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題；探究型分析：先根據(jù)四邊形ABCD是菱形可知，ADBC，由A=120°可知B=60°，作點(diǎn)P關(guān)于直線BD的對稱點(diǎn)P，連接PQ，PC，則PQ

15、的長即為PK+QK的最小值，由圖可知，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，CPAB時(shí)PK+QK的值最小，再在RtBCP中利用銳角三角函數(shù)的定義求出PC的長即可解答：解：四邊形ABCD是菱形，ADBC，A=120°，B=180°A=180°120°=60°，作點(diǎn)P關(guān)于直線BD的對稱點(diǎn)P，連接PQ，PC，則PQ的長即為PK+QK的最小值，由圖可知，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，CPAB時(shí)PK+QK的值最小，在RtBCP中，BC=AB=2，B=60°，PQ=CP=BCsinB=2×=故選：B點(diǎn)評：本題考查的是軸對稱最短路線問題及菱形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，

16、構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵5（2011本溪）如圖，正方形ABCD的邊長是4，DAC的平分線交DC于點(diǎn)E，若點(diǎn)P、Q分別是AD和AE上的動(dòng)點(diǎn)，則DQ+PQ的最小值（）A2B4C2D4考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題；正方形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題；探究型分析：過D作AE的垂線交AE于F，交AC于D，再過D作DPAD，由角平分線的性質(zhì)可得出D是D關(guān)于AE的對稱點(diǎn)，進(jìn)而可知DP即為DQ+PQ的最小值解答：解：作D關(guān)于AE的對稱點(diǎn)D，再過D作DPAD于P，DDAE，AFD=AFD，AF=AF，DAE=CAE，DAFDAF，D是D關(guān)于AE的對稱點(diǎn)，AD=AD=4，DP即為DQ+PQ的最小值，四邊

17、形ABCD是正方形，DAD=45°，AP=PD，在RtAPD中，PD2+AP2=AD2，AD2=16，AP=PD'，2PD2=AD2，即2PD2=16，PD=2，即DQ+PQ的最小值為2故選：C點(diǎn)評：本題考查的是軸對稱最短路線問題，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵二填空題（共17小題）6（2013泰安）如圖，某海監(jiān)船向正西方向航行，在A處望見一艘正在作業(yè)漁船D在南偏西45°方向，海監(jiān)船航行到B處時(shí)望見漁船D在南偏東45°方向，又航行了半小時(shí)到達(dá)C處，望見漁船D在南偏東60°方向，若海監(jiān)船的速度為50海里/小時(shí)，則A，B之間的距離為67.5海里（

18、取，結(jié)果精確到0.1海里）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：應(yīng)用題；壓軸題分析：過點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E，設(shè)DE=x，在RtCDE中表示出CE，在RtBDE中表示出BE，再由CB=25海里，可得出關(guān)于x的方程，解出后即可計(jì)算AB的長度解答：解：DBA=DAB=45°，DAB是等腰直角三角形，過點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E，則DE=AB，設(shè)DE=x，則AB=2x，在RtCDE中，DCE=30°，則CE=DE=x，在RtBDE中，DAE=45°，則DE=BE=x，由題意得，CB=CEBE=xx=25，解得：x=，故AB=25（+1）=67.5（海里）故答案

19、為：67.5點(diǎn)評：本題考查了解直角三角形的知識，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識求解相關(guān)線段的長度，難度一般7（2011莆田）如圖，一束光線從點(diǎn)A（3，3）出發(fā)，經(jīng)過y軸上點(diǎn)C反射后經(jīng)過點(diǎn)B（1，0），則光線從點(diǎn)A到點(diǎn)B經(jīng)過的路徑長為5考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題；壓軸題分析：延長AC交x軸于B根據(jù)光的反射原理，點(diǎn)B、B關(guān)于y軸對稱，CB=CB路徑長就是AB的長度結(jié)合A點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用勾股定理求解解答：解：如圖所示，延長AC交x軸于B則點(diǎn)B、B關(guān)于y軸對稱，CB=CB作ADx軸于D點(diǎn)則AD=3，DB=3+1=4AB=AC+CB=AC+CB=5即光線從點(diǎn)A到點(diǎn)

20、B經(jīng)過的路徑長為5點(diǎn)評：本題考查了直角三角形的有關(guān)知識，同時(shí)滲透光學(xué)中反射原理，構(gòu)造直角三角形是解決本題關(guān)鍵8（2014龍東地區(qū)）如圖，菱形ABCD中，對角線AC=6，BD=8，M、N分別是BC、CD的中點(diǎn)，P是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PM+PN的最小值是5考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題；勾股定理的應(yīng)用；平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：幾何圖形問題分析：作M關(guān)于BD的對稱點(diǎn)Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時(shí)MP+NP的值最小，連接AC，求出CP、PB，根據(jù)勾股定理求出BC長，證出MP+NP=QN=BC，即可得出答案解答：解：作M關(guān)于BD的對稱點(diǎn)Q，連接NQ，交BD于P，

21、連接MP，此時(shí)MP+NP的值最小，連接AC，四邊形ABCD是菱形，ACBD，QBP=MBP，即Q在AB上，MQBD，ACMQ，M為BC中點(diǎn)，Q為AB中點(diǎn)，N為CD中點(diǎn)，四邊形ABCD是菱形，BQCD，BQ=CN，四邊形BQNC是平行四邊形，NQ=BC，四邊形ABCD是菱形，CP=AC=3，BP=BD=4，在RtBPC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，MP+NP=QP+NP=QN=5，故答案為：5點(diǎn)評：本題考查了軸對稱最短路線問題，平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)軸對稱找出P的位置9（2014無錫）如圖，菱形ABCD中，A=60°，AB=3

22、，A、B的半徑分別為2和1，P、E、F分別是邊CD、A和B上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF的最小值是3考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題；菱形的性質(zhì)；相切兩圓的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：幾何圖形問題；壓軸題分析：利用菱形的性質(zhì)以及相切兩圓的性質(zhì)得出P與D重合時(shí)PE+PF的最小值，進(jìn)而求出即可解答：解：由題意可得出：當(dāng)P與D重合時(shí)，E點(diǎn)在AD上，F(xiàn)在BD上，此時(shí)PE+PF最小，連接BD，菱形ABCD中，A=60°，AB=AD，則ABD是等邊三角形，BD=AB=AD=3，A、B的半徑分別為2和1，PE=1，DF=2，PE+PF的最小值是3故答案為：3點(diǎn)評：此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及相切兩圓的性質(zhì)等知識，根

23、據(jù)題意得出P點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵10（2014東營）在O中，AB是O的直徑，AB=8cm，=，M是AB上一動(dòng)點(diǎn)，CM+DM的最小值是8cm考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題；勾股定理；垂徑定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：作點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)C，連接CD與AB相交于點(diǎn)M，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，點(diǎn)M為CM+DM的最小值時(shí)的位置，根據(jù)垂徑定理可得=，然后求出CD為直徑，從而得解解答：解：如圖，作點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)C，連接CD與AB相交于點(diǎn)M，此時(shí)，點(diǎn)M為CM+DM的最小值時(shí)的位置，由垂徑定理，=，=，=，AB為直徑，CD為直徑，CM+DM的最小值是8cm故答案為：8點(diǎn)評：本題考查了軸對稱確定最短路線問題，垂徑

24、定理，熟記定理并作出圖形，判斷出CM+DM的最小值等于圓的直徑的長度是解題的關(guān)鍵11（2014莆田）如圖，菱形ABCD的邊長為4，BAD=120°，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，則EF+BF的最小值是2考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題；菱形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：首先連接DB，DE，設(shè)DE交AC于M，連接MB，DF證明只有點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M時(shí)，EF+BF取最小值，再根據(jù)菱形的性質(zhì)、勾股定理求得最小值解答：解：連接DB，DE，設(shè)DE交AC于M，連接MB，DF，延長BA，DHBA于H，四邊形ABCD是菱形，AC，BD互相垂直平分，點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)為D，F(xiàn)D=FB，F(xiàn)E+FB=FE+

25、FDDE只有當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M時(shí)，取等號（兩點(diǎn)之間線段最短），ABD中，AD=AB，DAB=120°，HAD=60°，DHAB，AH=AD，DH=AD，菱形ABCD的邊長為4，E為AB的中點(diǎn)，AE=2，AH=2，EH=4，DH=2，在RtEHD中，DE=2，EF+BF的最小值為2故答案為：2點(diǎn)評：此題主要考查菱形是軸對稱圖形的性質(zhì)，知道什么時(shí)候會使EF+BF成為最小值是解本題的關(guān)鍵12（2014青島）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD=2，BCD=60°，對角線AC平分BCD，E，F(xiàn)分別是底邊AD，BC的中點(diǎn)，連接EF點(diǎn)P是EF上的任意一點(diǎn)，連接PA，PB，則PA+P

26、B的最小值為2考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題；等腰梯形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：幾何動(dòng)點(diǎn)問題分析：要求PA+PB的最小值，PA、PB不能直接求，可考慮轉(zhuǎn)化PA、PB的值，從而找出其最小值求解解答：解：E，F(xiàn)分別是底邊AD，BC的中點(diǎn)，四邊形ABCD是等腰梯形，B點(diǎn)關(guān)于EF的對稱點(diǎn)C點(diǎn)，AC即為PA+PB的最小值，BCD=60°，對角線AC平分BCD，ABC=60°，BCA=30°，BAC=90°，AD=2，PA+PB的最小值=ABtan60°=故答案為：2點(diǎn)評：考查等腰梯形的性質(zhì)和軸對稱等知識的綜合應(yīng)用綜合運(yùn)用這些知識是解決本題的關(guān)鍵13（2014

27、錦州）菱形ABCD的邊長為2，ABC=60°，E是AD邊中點(diǎn)，點(diǎn)P是對角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AP+PE的值最小時(shí)，PC的長是考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題；菱形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：幾何綜合題分析：作點(diǎn)E關(guān)于直線BD的對稱點(diǎn)E，連接AE，則線段AE的長即為AP+PE的最小值，再由軸對稱的性質(zhì)可知DE=DE=1，故可得出AED是直角三角形，由菱形的性質(zhì)可知PDE=ADC=30°，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出PE的長，進(jìn)而可得出PC的長解答：解：如圖所示，作點(diǎn)E關(guān)于直線BD的對稱點(diǎn)E，連接AE，則線段AE的長即為AP+PE的最小值，菱形ABCD的邊長為2，E是AD邊中點(diǎn)，DE=DE

28、=AD=1，AED是直角三角形，ABC=60°，PDE=ADC=30°，PE=DEtan30°=，PC=故答案為：點(diǎn)評：本題考查的是軸對稱最短路線問題，熟知菱形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵14（2014黔東南州）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P是直線y=x上的動(dòng)點(diǎn)，A（1，0），B（2，0）是x軸上的兩點(diǎn)，則PA+PB的最小值為考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)得出OA=1，進(jìn)而利用勾股定理得出即可解答：解：如圖所示：作A點(diǎn)關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)A，連接AB，交直線y=x于點(diǎn)P，

29、此時(shí)PA+PB最小，由題意可得出：OA=1，BO=2，PA=PA，PA+PB=AB=故答案為：點(diǎn)評：此題主要考查了利用軸對稱求最短路線以及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征等知識，得出P點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵15（2013資陽）如圖，在RtABC中，C=90°，B=60°，點(diǎn)D是BC邊上的點(diǎn)，CD=1，將ABC沿直線AD翻折，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)P是直線AD上的動(dòng)點(diǎn)，則PEB的周長的最小值是1+考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題；含30度角的直角三角形；翻折變換（折疊問題）菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：幾何動(dòng)點(diǎn)問題分析：連接CE，交AD于M，根據(jù)折疊和等腰三角形性質(zhì)得出當(dāng)P和D重合時(shí)，PE+BP的

30、值最小，即可此時(shí)BPE的周長最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，先求出BC和BE長，代入求出即可解答：解：連接CE，交AD于M，沿AD折疊C和E重合，ACD=AED=90°，AC=AE，CAD=EAD，AD垂直平分CE，即C和E關(guān)于AD對稱，CD=DE=1，當(dāng)P和D重合時(shí)，PE+BP的值最小，即此時(shí)BPE的周長最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，DEA=90°，DEB=90°，B=60°，DE=1，BE=，BD=，即BC=1+，PEB的周長的最小值是BC+BE=1+=1+，故答案為：1+點(diǎn)評：本題考查了

31、折疊性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，軸對稱最短路線問題，勾股定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出P點(diǎn)的位置，題目比較好，難度適中16（2013內(nèi)江）已知菱形ABCD的兩條對角線分別為6和8，M、N分別是邊BC、CD的中點(diǎn)，P是對角線BD上一點(diǎn)，則PM+PN的最小值=5考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題；菱形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題分析：作M關(guān)于BD的對稱點(diǎn)Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時(shí)MP+NP的值最小，連接AC，求出CP、PB，根據(jù)勾股定理求出BC長，證出MP+NP=QN=BC，即可得出答案解答：解：作M關(guān)于BD的對稱點(diǎn)Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時(shí)MP+NP的值最小

32、，連接AC，四邊形ABCD是菱形，ACBD，QBP=MBP，即Q在AB上，MQBD，ACMQ，M為BC中點(diǎn)，Q為AB中點(diǎn)，N為CD中點(diǎn)，四邊形ABCD是菱形，BQCD，BQ=CN，四邊形BQNC是平行四邊形，NQ=BC，四邊形ABCD是菱形，CP=AC=3，BP=BD=4，在RtBPC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，MP+NP=QP+NP=QN=5，故答案為：5點(diǎn)評：本題考查了軸對稱最短路線問題，平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)軸對稱找出P的位置17（2013遼陽）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)P在BC邊上，且BP=1，Q為對角線AC上的

33、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則BPQ周長的最小值為6考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題；正方形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)，點(diǎn)B、D關(guān)于AC對稱，連接PD與AC相交于點(diǎn)Q，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，點(diǎn)Q即為所求的使BPQ周長的最小值的點(diǎn)，求出PC，再利用勾股定理列式求出PD，然后根據(jù)BPQ周長=PD+BP計(jì)算即可得解解答：解：如圖，連接PD與AC相交于點(diǎn)Q，此時(shí)BPQ周長的最小，正方形ABCD的邊長為4，BP=1，PC=41=3，由勾股定理得，PD=5，BPQ周長=BQ+PQ+BP=DQ+PQ+BP=PD+BP=5+1=6故答案為：6點(diǎn)評：本題考查了軸對稱確定最短路線問題，正方形的性質(zhì)，熟記正方形的性質(zhì)

34、并確定出點(diǎn)Q的位置是解題的關(guān)鍵18（2013達(dá)州）如圖，折疊矩形紙片ABCD，使B點(diǎn)落在AD上一點(diǎn)E處，折痕的兩端點(diǎn)分別在AB、BC上（含端點(diǎn)），且AB=6，BC=10設(shè)AE=x，則x的取值范圍是2x6考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題分析：設(shè)折痕為PQ，點(diǎn)P在AB邊上，點(diǎn)Q在BC邊上分別利用當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，以及當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，求出AE的極值進(jìn)而得出答案解答：解：設(shè)折痕為PQ，點(diǎn)P在AB邊上，點(diǎn)Q在BC邊上如圖1，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，根據(jù)翻折對稱性可得EC=BC=10，在RtCDE中，CE2=CD2+ED2，即102=（10AE）2+62，解得：AE=2，即x=2如圖

35、2，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，根據(jù)翻折對稱性可得AE=AB=6，即x=6；所以，x的取值范圍是2x6故答案是：2x6點(diǎn)評：本題考查的是翻折變換（折疊問題）、勾股定理注意利用翻折變換的性質(zhì)得出對應(yīng)線段之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵19（2012鄂州）在銳角三角形ABC中，BC=，ABC=45°，BD平分ABC，M、N分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是4考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題；探究型分析：過點(diǎn)C作CEAB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MNBC，則CE即為CM+MN的最小值，再根據(jù)BC=，ABC=45°，BD平分ABC可知BCE是等腰直角三角形，由銳角

36、三角函數(shù)的定義即可求出CE的長解答：解：過點(diǎn)C作CEAB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MNBC，則CE即為CM+MN的最小值，BC=，ABC=45°，BD平分ABC，BCE是等腰直角三角形，CE=BCcos45°=4×=4故答案為：4點(diǎn)評：本題考查的是軸對稱最短路線問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出等腰直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義求解是解答此題的關(guān)鍵20（2010濱州）如圖，等邊ABC的邊長為6，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，若AE=2，EM+CM的最小值為考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題；勾股定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型分析：

37、要求EM+CM的最小值，需考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化EM，CM的值，從而找出其最小值求解解答：解：連接BE，與AD交于點(diǎn)M則BE就是EM+CM的最小值取CE中點(diǎn)F，連接DF等邊ABC的邊長為6，AE=2，CE=ACAE=62=4，CF=EF=AE=2，又AD是BC邊上的中線，DF是BCE的中位線，BE=2DF，BEDF，又E為AF的中點(diǎn)，M為AD的中點(diǎn)，ME是ADF的中位線，DF=2ME，BE=2DF=4ME，BM=BEME=4MEME=3ME，BE=BM在直角BDM中，BD=BC=3，DM=AD=，BM=，BE=EM+CM=BEEM+CM的最小值為點(diǎn)評：考查等邊三角形的性質(zhì)和軸對稱及勾股定理等知識

38、的綜合應(yīng)用21（2008廣安）如圖，菱形ABCD中，BAD=60°，M是AB的中點(diǎn)，P是對角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若PM+PB的最小值是3，則AB長為2考點(diǎn)：軸對稱的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型分析：先根據(jù)軸對稱性質(zhì)和兩點(diǎn)間線段最短，確定MD是PM+PB的最小值的情況，再利用特殊角60°的三角函數(shù)值求解解答：解：連接PD，BD，PB=PD，PM+PB=PM+PD，連接MD，交AC的點(diǎn)就是P點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)間直線最短，這個(gè)P點(diǎn)就是要的P點(diǎn)，又BAD=60°，AB=AD，ABD是等邊三角形，M為AB的中點(diǎn)，MDAB，MD=3，AD=MD÷

39、;sin60°=3÷=2，AB=2點(diǎn)評：本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值，屬中等難度22（2001海南）如圖，在邊長為6的菱形ABCD中，DAB=60°，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，則EF+BF的最小值為3考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題；菱形的性質(zhì)；特殊角的三角函數(shù)值菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型分析：根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分，點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)是點(diǎn)D，連接ED，EF+BF最小值=ED，然后解直角三角形即可求解解答：解：在菱形ABCD中，AC與BD互相垂直平分，點(diǎn)B、D關(guān)于AC對稱，連接ED，則ED就是所求的EF+BF的最小值的線段，E為AB的中點(diǎn)，DAB=60°，DEAB，ED=3，EF+BF的最小值為3故答案為：3點(diǎn)評：本題主要考查了三角形中位線定理和解直角