81橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（3）

1、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中 間 變 量 法佛山 三水中學(xué)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 中間變量法中間變量法橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中 間 變 量 法佛山 三水中學(xué)一、復(fù)習(xí)提問一、復(fù)習(xí)提問1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？x2a2+y2b2=1 (ab0)表示焦點(diǎn)在表示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓軸上的橢圓y2a2+x2b2=1 (ab0)表示焦點(diǎn)在表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓軸上的橢圓2、求曲線方程的基本方法有哪些？、求曲線方程的基本方法有哪些？直接法直接法 定義法定義法 待定系數(shù)法參數(shù)法待定系數(shù)法參數(shù)法橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中 間 變 量 法佛山 三水中學(xué)例：已知一個圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為例：已知一個圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2，

2、從這個圓從這個圓 上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn) P 向向 x 軸作垂線段軸作垂線段 PP1，求線段，求線段PP1中點(diǎn)中點(diǎn)M 的軌跡。的軌跡。動點(diǎn)動點(diǎn)M與動點(diǎn)與動點(diǎn)P是一一是一一對應(yīng)的，而題中給出了對應(yīng)的，而題中給出了P點(diǎn)的運(yùn)動軌跡。點(diǎn)的運(yùn)動軌跡。因此，可先找到因此，可先找到M與與P坐標(biāo)間坐標(biāo)間的關(guān)系，將的關(guān)系，將M的軌跡通過點(diǎn)的軌跡通過點(diǎn)P的的“橋梁橋梁”作用加以解得。作用加以解得。0 xPMy橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中 間 變 量 法佛山 三水中學(xué)例：已知一個圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為例：已知一個圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為 2， 從從這個圓上任意一點(diǎn)這個圓上任意一點(diǎn) P 向向 x 軸作垂線段軸作垂線段 PP1，

3、求線段，求線段PP1中點(diǎn)中點(diǎn)M的軌跡。的軌跡。解：設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(x，y)， P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)則：x0，y0/2 x02 +y02 =4將x0 x，y02代入上式，得 x2 +42 =4即：x24+ y2=1點(diǎn)M的軌跡是一個橢圓y0 xPM橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中 間 變 量 法佛山 三水中學(xué)根據(jù)橢圓的參數(shù)方程，圓上的點(diǎn)可設(shè)為根據(jù)橢圓的參數(shù)方程，圓上的點(diǎn)可設(shè)為（2cos2cos, sinsin），得到另一解法：），得到另一解法：設(shè)設(shè)（2cos2cos, sinsin），），(x(x，y)y)，則則P P1 1 （2cos2cos ，），） 為為 PPPP1 1的中點(diǎn)的中點(diǎn) x=2cos x=2co

4、s y=sin y=sin ( (為參數(shù)）為參數(shù)）消去參數(shù)消去參數(shù)，得，得x24+ y2=10 xyPM橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中 間 變 量 法佛山 三水中學(xué) 本題要求點(diǎn)的軌跡，但題中并未直接給出點(diǎn)所滿本題要求點(diǎn)的軌跡，但題中并未直接給出點(diǎn)所滿足的條件，而是給出了相關(guān)點(diǎn)的條件，由點(diǎn)的運(yùn)動足的條件，而是給出了相關(guān)點(diǎn)的條件，由點(diǎn)的運(yùn)動來確定點(diǎn)的運(yùn)動。來確定點(diǎn)的運(yùn)動。求這類軌跡方程的基本思路是求這類軌跡方程的基本思路是設(shè)設(shè)P(x0,y0), M(x,y)，建立，建立x，y與與x0，y0的關(guān)系，的關(guān)系，將（將（x0，y0）代入）代入P點(diǎn)所滿足的等式即可。點(diǎn)所滿足的等式即可。這種方法叫這種方法叫“中間變量法中間變

5、量法”。變式：變式： 若點(diǎn)若點(diǎn)M分分PP1之比為之比為1/2，求點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡。的軌跡。答案：x24+9y216=1仍是一個橢圓仍是一個橢圓橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中 間 變 量 法佛山 三水中學(xué)橢圓橢圓x24+ y2=1可由圓可由圓x2+y2=4上的點(diǎn)怎樣變換得到？上的點(diǎn)怎樣變換得到？橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變換為原來的一半橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變換為原來的一半橢圓橢圓x24+9y216=1x2a2+y2b2=1x2a2+y2b2=1x2+a2y2b2=a2x2a2+y2b2=1呢？呢？橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變換為原來的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變換為原來的2/3倍倍橢圓橢圓能不能由圓能不能由圓x2+y2=a2上的點(diǎn)變換得

6、到？上的點(diǎn)變換得到？可化為可化為橢圓橢圓可由圓可由圓x2+y2=a2上各點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，上各點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變換為原來的縱坐標(biāo)變換為原來的b/a倍得到倍得到.三、引伸提高三、引伸提高 思考：思考：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中 間 變 量 法佛山 三水中學(xué)四、練習(xí)：四、練習(xí)：1、長度為、長度為2的線段的線段AB的兩個端點(diǎn)的兩個端點(diǎn)A、B分別在分別在x軸、軸上滑動，點(diǎn)軸、軸上滑動，點(diǎn)M是是AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)的中點(diǎn)，求點(diǎn)M的的軌跡方程。軌跡方程。答案：x2+y2=1、從圓、從圓x x2+y y2=25上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn) P P 向向 x x 軸作垂線段軸作垂線段 PPPP1， 且線段且線段PPPP1上一點(diǎn)上一點(diǎn)M M滿足關(guān)系式滿足關(guān)系式|PP|PP1|MP|MP1|=53|=53， 求點(diǎn)求點(diǎn)M M的的軌跡。軌跡。答案：x225+y29=1橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中 間 變 量 法佛山 三水中學(xué)五、小結(jié)：五、小結(jié)：一種方法：中間變量法中間變量法一種思想：變換的思想變換的思想其它求曲線方程方法：其它求曲線方程方法：直接法直接法 定義法定義法 待定系數(shù)法待定系數(shù)法參數(shù)法參數(shù)法六、作業(yè)：六、作