初二數(shù)學一次函數(shù)知識點總結(jié)

1、 一次函數(shù)知識點總結(jié)基本概念1、變量：在一個變化過程中可以取不同數(shù)值的量。常量：在一個變化過程中只能取同一數(shù)值的量。例題：在勻速運動公式中,表示速度,表示時間,表示在時間內(nèi)所走的路程,則變量是_,常量是_。在圓的周長公式C=2r中，變量是_，常量是_.2、函數(shù)：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數(shù)。 *判斷Y是否為X的函數(shù)，只要看X取值確定的時候，Y是否有唯一確定的值與之對應例題：下列函數(shù)（1）y=x (2)y=2x-1 (3)y= (4)y=2-1-3x (5)y=x2-

2、1中，是一次函數(shù)的有（ ）（A）4個 （B）3個 （C）2個 （D）1個3、定義域：一般的，一個函數(shù)的自變量允許取值的范圍，叫做這個函數(shù)的定義域。4、確定函數(shù)定義域的方法： （1）關(guān)系式為整式時，函數(shù)定義域為全體實數(shù)；（2）關(guān)系式含有分式時，分式的分母不等于零； （3）關(guān)系式含有二次根式時，被開放方數(shù)大于等于零；（4）關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時，底數(shù)不等于零； （5）實際問題中，函數(shù)定義域還要和實際情況相符合，使之有意義。例題：下列函數(shù)中，自變量x的取值范圍是x2的是（ ）Ay= By= Cy= Dy=·函數(shù)中自變量x的取值范圍是_.已知函數(shù)，當時，y的取值范圍是 （ ）A. B.

3、 C. D.5、函數(shù)的圖像一般來說，對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內(nèi)由這些點組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象6、函數(shù)解析式：用含有表示自變量的字母的代數(shù)式表示因變量的式子叫做解析式。7、描點法畫函數(shù)圖形的一般步驟第一步：列表（表中給出一些自變量的值及其對應的函數(shù)值）；第二步：描點（在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應的函數(shù)值為縱坐標，描出表格中數(shù)值對應的各點）；第三步：連線（按照橫坐標由小到大的順序把所描出的各點用平滑曲線連接起來）。8、函數(shù)的表示方法列表法：一目了然，使用起來方便，但列出的對應值是有限的，不易看出自變量與函數(shù)之間的對應規(guī)律

4、。解析式法：簡單明了，能夠準確地反映整個變化過程中自變量與函數(shù)之間的相依關(guān)系，但有些實際問題中的函數(shù)關(guān)系，不能用解析式表示。圖象法：形象直觀，但只能近似地表達兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系。9、正比例函數(shù)及性質(zhì)一般地，形如y=kx(k是常數(shù)，k0)的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù).注：正比例函數(shù)一般形式 y=kx (k不為零) k不為零 x指數(shù)為1 b取零當k>0時，直線y=kx經(jīng)過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；當k<0時，直線y=kx經(jīng)過二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小(1) 解析式：y=kx（k是常數(shù)，k0）(2) 必過點：（0，0）、（1，k）

5、(3) 走向：k>0時，圖像經(jīng)過一、三象限；k<0時，圖像經(jīng)過二、四象限(4) 增減性：k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小(5) 傾斜度：|k|越大，越接近y軸；|k|越小，越接近x軸例題：.正比例函數(shù)，當m 時，y隨x的增大而增大.若是正比例函數(shù)，則b的值是 （ ） A.0 B. C. D.函數(shù)y=(k-1)x，y隨x增大而減小，則k的范圍是 ( )A. B. C. D.東方超市鮮雞蛋每個0.4元，那么所付款y元與買鮮雞蛋個數(shù)x（個）之間的函數(shù)關(guān)系式是_平行四邊形相鄰的兩邊長為x、y，周長是30，則y與x的函數(shù)關(guān)系式是_10、一次函數(shù)及性質(zhì)一般地，形

6、如y=kxb(k,b是常數(shù)，k0)，那么y叫做x的一次函數(shù).當b=0時，y=kxb即y=kx，所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).注：一次函數(shù)一般形式 y=kx+b (k不為零) k不為零 x指數(shù)為1 b取任意實數(shù)一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過（0，b）和（-，0）兩點的一條直線，我們稱它為直線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個單位長度得到.（當b>0時，向上平移；當b<0時，向下平移）（1）解析式：y=kx+b(k、b是常數(shù)，k0)（2）必過點：（0，b）和（-，0） （3）走向： k>0，圖象經(jīng)過第一、三象限；k<0，圖象經(jīng)過第二、四象限 b&g

7、t;0，圖象經(jīng)過第一、二象限；b<0，圖象經(jīng)過第三、四象限直線經(jīng)過第一、二、三象限 直線經(jīng)過第一、三、四象限直線經(jīng)過第一、二、四象限 直線經(jīng)過第二、三、四象限（4）增減性： k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小.（5）傾斜度：|k|越大，圖象越接近于y軸；|k|越小，圖象越接近于x軸.（6）圖像的平移： 當b>0時，將直線y=kx的圖象向上平移b個單位；當b<0時，將直線y=kx的圖象向下平移b個單位.例題：若關(guān)于x的函數(shù)是一次函數(shù)，則m= ，n .函數(shù)y=ax+b與y=bx+a的圖象在同一坐標系內(nèi)的大致位置正確的是（ ）將直線y3x向下平移5個單

8、位，得到直線 ；將直線y-x-5向上平移5個單位，得到直線 .若直線和直線的交點坐標為(),則_.已知函數(shù)y3x+1，當自變量增加m時，相應的函數(shù)值增加（ ）3m+1 3m m 3m111、一次函數(shù)y=kxb的圖象的畫法.根據(jù)幾何知識：經(jīng)過兩點能畫出一條直線，并且只能畫出一條直線，即兩點確定一條直線，所以畫一次函數(shù)的圖象時，只要先描出兩點，再連成直線即可.一般情況下：是先選取它與兩坐標軸的交點：（0，b），.即橫坐標或縱坐標為0的點.b>0b<0b=0k>0經(jīng)過第一、二、三象限經(jīng)過第一、三、四象限經(jīng)過第一、三象限圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大k<0經(jīng)過第一、二、四

9、象限經(jīng)過第二、三、四象限經(jīng)過第二、四象限圖象從左到右下降，y隨x的增大而減小若m0, n0, 則一次函數(shù)y=mx+n的圖象不經(jīng)過 （ ）A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限12、正比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象之間的關(guān)系一次函數(shù)y=kxb的圖象是一條直線，它可以看作是由直線y=kx平移|b|個單位長度而得到（當b>0時，向上平移；當b<0時，向下平移）.13、直線y=k1x+b1與y=k2x+b2的位置關(guān)系（1）兩直線平行：k1=k2且b1 b2（2）兩直線相交：k1k2（3）兩直線重合：k1=k2且b1=b214、用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的一般步驟：（1）根據(jù)已知條

10、件寫出含有待定系數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；（2）將x、y的幾對值或圖象上的幾個點的坐標代入上述函數(shù)關(guān)系式中得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程；（3）解方程得出未知系數(shù)的值；（4）將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)關(guān)系式中得出所求函數(shù)的解析式.15、一元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系任何一元一次方程到可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0（a，b為常數(shù)，a0）的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當某個一次函數(shù)的值為0時，求相應的自變量的值. 從圖象上看，相當于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點的橫坐標的值.16、一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系任何一個一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax+b>0或ax+b<0（a，b為常數(shù)，a

11、0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當一次函數(shù)值大（?。┯?時，求自變量的取值范圍.17、一次函數(shù)與二元一次方程組 （1）以二元一次方程ax+by=c的解為坐標的點組成的圖象與一次函數(shù)y=的圖象相同.（2）二元一次方程組的解可以看作是兩個一次函數(shù)y=和y=的圖象交點.一 次 函 數(shù)自變量x和因變量y有如下關(guān)系： y=kx+b （k為任意不為零實數(shù)，b為任意實數(shù)） 則此時稱y是x的一次函數(shù)。 特別的，當b=0時，y是x的正比例函數(shù)。 即：y=kx （k為任意不為零實數(shù)） 定義域：自變量的取值范圍，自變量的取值應使函數(shù)有意義；要與實際有意義。 一次函數(shù)的圖象特征和性質(zhì)：b>0b<

12、0b=0k>0經(jīng)過第一、二、三象限經(jīng)過第一、三、四象限經(jīng)過第一、三象限 圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大k<0經(jīng)過第一、二、四象限經(jīng)過第二、三、四象限經(jīng)過第二、四象限 圖象從左到右下降，y隨x的增大而減小一次函數(shù)的性質(zhì) 1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k 即：y=kx+b（k0) （k為任意不為零的實數(shù) b取任何實數(shù)） 2.當x=0時，b為函數(shù)在y軸上的截距。 3.k為一次函數(shù)y=kx+b的斜率,k=tg角1(角1為一次函數(shù)圖象與x軸正方向夾角) 形。取。象。交。減 一次函數(shù)的圖像及性質(zhì) 1作法與圖形：通過如下3個步驟 （1）列表一般取兩個點,根據(jù)兩點確定一條直

13、線； （2）描點； （3）連線，可以作出一次函數(shù)的圖像一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖像只需知道2點，并連成直線即可。（通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點） 2性質(zhì)：（1）在一次函數(shù)上的任意一點P（x，y），都滿足等式：y=kx+b(k0)。（2）一次函數(shù)與y軸交點的坐標總是（0，b)，與x軸總是交于（-b/k，0）正比例函數(shù)的圖像總是過原點。 3函數(shù)不是數(shù)，它是指某一變量過程中兩個變量之間的關(guān)系。 4k，b與函數(shù)圖像所在象限： y=kx時 當k0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大； 當k0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。 y=kx+b時： 當 k>0,b>0,

14、 這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過一，二，三象限。 當 k>0,b<0, 這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過一，三，四象限。 當 k<0,b<0, 這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過二，三，四象限。 當 k<0,b>0, 這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過一，二，四象限。 當b0時，直線必通過一、二象限； 當b0時，直線必通過三、四象限。 特別地，當b=0時，直線通過原點O（0，0）表示的是正比例函數(shù)的圖像。 這時，當k0時，直線只通過一、三象限；當k0時，直線只通過二、四象限。 4、特殊位置關(guān)系 當平面直角坐標系中兩直線平行時，其函數(shù)解析式中K值（即一次項系數(shù)）相等 當平面直角坐標系中兩直線垂直時，其函數(shù)解析

15、式中K值互為負倒數(shù)（即兩個K值的乘積為-1） 確定一次函數(shù)的表達式 已知點A（x1，y1）；B（x2，y2），請確定過點A、B的一次函數(shù)的表達式。 （1）設(shè)一次函數(shù)的表達式（也叫解析式）為y=kx+b。 （2）因為在一次函數(shù)上的任意一點P（x，y），都滿足等式y(tǒng)=kx+b。所以可以列出2個方程：y1=kx1+b 和 y2=kx2+b （3）解這個二元一次方程，得到k，b的值。 （4）最后得到一次函數(shù)的表達式。 一次函數(shù)在生活中的應用 1.當時間t一定，距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt。 2.當水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量S。g=S-ft。 常用公式

16、（不全，希望有人補充） 1.求函數(shù)圖像的k值：（y1-y2)/(x1-x2) 2.求與x軸平行線段的中點：|x1-x2|/2 3.求與y軸平行線段的中點：|y1-y2|/2 4.求任意線段的長：(x1-x2)2+(y1-y2)2 （注：根號下（x1-x2)與（y1-y2)的平方和） 5.求兩一次函數(shù)式圖像交點坐標：解兩函數(shù)式 兩個一次函數(shù) y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 將解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 兩式任一式 得到y(tǒng)=y0 則(x0,y0)即為 y1=k1x+b1 與 y2=k2x+b2 交點坐標 6.求任意

17、2點所連線段的中點坐標：（x1+x2）/2，（y1+y2）/2 7.求任意2點的連線的一次函數(shù)解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2) (其中分母為0，則分子為0) k b + + 在一、二、三象限 + - 在一、三、四象限 - + 在一、二、四象限 - - 在二、三、四象限 8.若兩條直線y1=k1x+b1y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1b2 9.如兩條直線y1=k1x+b1y2=k2x+b2，那么k1×k2=-1 應用 一次函數(shù)y=kx+b的性質(zhì)是：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大；（2）當k<0時，y隨x的增大而減小。利用一次函

18、數(shù)的性質(zhì)可解決下列問題。 一、確定字母系數(shù)的取值范圍 例1. 已知正比例函數(shù) ，則當m=_時，y隨x的增大而減小。 解：根據(jù)正比例函數(shù)的定義和性質(zhì)，得 且m<0，即 且 ，所以 。 二、比較x值或y值的大小 例2. 已知點P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函數(shù)y=3x+4的圖象上的兩個點，且y1>y2，則x1與x2的大小關(guān)系是（ ） A. x1>x2 B. x1<x2 C. x1=x2 D.無法確定 解：根據(jù)題意，知k=3>0，且y1>y2。根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)“當k>0時，y隨x的增大而增大”，得x1>x2。故選A。 三、判斷函數(shù)圖象的

19、位置 例3. 一次函數(shù)y=kx+b滿足kb>0，且y隨x的增大而減小，則此函數(shù)的圖象不經(jīng)過（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解：由kb>0，知k、b同號。因為y隨x的增大而減小，所以k<0。所以b<0。故一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，不經(jīng)過第一象限。故選A . 典型例題: 例1. 一個彈簧，不掛物體時長12cm,掛上物體后會伸長，伸長的長度與所掛物體的質(zhì)量成正比例.如果掛上3kg物體后，彈簧總長是13.5cm，求彈簧總長是y(cm)與所掛物體質(zhì)量x(kg)之間的函數(shù)關(guān)系式.如果彈簧最大總長為23cm，求自變量x的取

20、值范圍. 分析：此題由物理的定性問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學的定量問題，同時也是實際問題，其核心是彈簧的總長是空載長度與負載后伸長的長度之和，而自變量的取值范圍則可由最大總長最大伸長最大質(zhì)量及實際的思路來處理. 解：由題意設(shè)所求函數(shù)為y=kx+12 則13.5=3k+12，得k=0.5 所求函數(shù)解析式為y=0.5x+12 由23=0.5x+12得：x=22 自變量x的取值范圍是0x22 【考點指要】 一次函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)在中考說明中是C級知識點，特別是根據(jù)問題中的條件求函數(shù)解析式和用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式在中考說明中是D級知識點.它常與反比例函數(shù)、二次函數(shù)及方程、方程組、不等式綜合在一起，以選擇題、填

21、空題、解答題等題型出現(xiàn)在中考題中，大約占有8分左右.解決這類問題常用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法. 例2.如果一次函數(shù)y=kx+b中x的取值范圍是-2x6，相應的函數(shù)值的范圍是-11y9.求此函數(shù)的的解析式。 解：（1）若k0，則可以列方程組 -2k+b=-11 6k+b=9 解得k=2.5 b=-6 ，則此時的函數(shù)關(guān)系式為y=2.5x6 （2）若k0，則可以列方程組 -2k+b=9 6k+b=-11 解得k=-2.5 b=4，則此時的函數(shù)解析式為y=-2.5x+4 【考點指要】 此題主要考察了學生對函數(shù)性質(zhì)的理解，若k0，則y隨x的增大而增大；若k0，則y隨x的增大而減小。

22、 一次函數(shù)解析式的幾種類型 ax+by+c=0一般式 y=kx+b斜截式 （k為直線斜率，b為直線縱截距，正比例函數(shù)b=0） y-y1=k(x-x1)點斜式 （k為直線斜率,(x1,y1)為該直線所過的一個點） （y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)兩點式 （x1,y1）與（x2,y2）為直線上的兩點） x/a-y/b=0截距式 （a、b分別為直線在x、y軸上的截距） 解析式表達局限性： 所需條件較多（3個）； 、不能表達沒有斜率的直線（平行于x軸的直線）； 參數(shù)較多，計算過于煩瑣； 不能表達平行于坐標軸的直線和過圓點的直線。 傾斜角：x軸到直線的角（直線與x軸正方向所成的角）稱為直線的傾斜 角。設(shè)一直線的傾斜角為a，則該直線的斜率k=tg(a) 形如y=kx(k為常數(shù)，且k不等于0），y就叫做x的正比例函數(shù). 正比例函數(shù)屬于一次函數(shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特殊形式. 即當一次函數(shù) y=kx+b 若b=0，則此為正比例函數(shù). 圖像做法 1.列表 2.描點 3.連線(一定要經(jīng)過坐標軸的原點) 其次，正比例函數(shù)的圖像是經(jīng)過原點和（1，k）或(2,2k),(3,3k)等兩點的一條直線。 其他:當k>0時,它的圖像（除原點外）在第一、三象限，y隨x的增大而增